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4. 下面是某数学小组项目式学习活动记录表：
项目主题 风力发电大风车的测量
驱动问题 如何利用测倾器和皮尺测量大风车的高度
项目方案
如图15，同学们在F处测量大风车最高点A的仰角，然后沿FB方向到达G处，测量点A的仰角。
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角∠ACE $30.45°$ $30.67°$ $a$
仰角∠ADE $44.81°$ $45.19°$ $b$
水平距离FG $79.85\ \mathrm{m}$ $80.15\ \mathrm{m}$ $c$
测倾器的高度CF(DG) $1.5\ \mathrm{m}$ $1.5\ \mathrm{m}$ $1.5\ \mathrm{m}$
成果展示 大风车的高度
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：$a=$, $b=$, $c=$;
(2)项目式学习活动记录表中设置“平均值”栏的主要目的是;
(3)根据以上信息，求大风车的高度。(精确到0.1 m。参考数据：$\sin30.56°\approx0.51,\cos30.56°\approx0.86,\tan30.56°\approx0.59$)
项目主题 风力发电大风车的测量
驱动问题 如何利用测倾器和皮尺测量大风车的高度
项目方案
如图15，同学们在F处测量大风车最高点A的仰角，然后沿FB方向到达G处，测量点A的仰角。测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角∠ACE $30.45°$ $30.67°$ $a$
仰角∠ADE $44.81°$ $45.19°$ $b$
水平距离FG $79.85\ \mathrm{m}$ $80.15\ \mathrm{m}$ $c$
测倾器的高度CF(DG) $1.5\ \mathrm{m}$ $1.5\ \mathrm{m}$ $1.5\ \mathrm{m}$
成果展示 大风车的高度
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：$a=$, $b=$, $c=$;
(2)项目式学习活动记录表中设置“平均值”栏的主要目的是;
(3)根据以上信息，求大风车的高度。(精确到0.1 m。参考数据：$\sin30.56°\approx0.51,\cos30.56°\approx0.86,\tan30.56°\approx0.59$)
答案
解：
(1) $a=\frac{30.45°+30.67°}{2}=30.56°$，$b=\frac{44.81°+45.19°}{2}=45°$，$c=\frac{79.85+80.15}{2}=80\ \mathrm{m}$；
(2) 减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 由题意可知，四边形$CDGF$、四边形$DEBG$均为矩形，
$\therefore CD=FG=80\ \mathrm{m}$，$EB=DG=1.5\ \mathrm{m}$，$∠ AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=30.56°$，
$\tan∠ ACE=\frac{AE}{EC}$，又$EC=DE+CD=AE+80$，
代入$\tan30.56°\approx0.59$得：
$0.59=\frac{AE}{AE+80}$
解得$AE\approx115.1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AE+EB\approx115.1+1.5=116.6\ \mathrm{m}$。
答：大风车的高度约为$116.6\ \mathrm{m}$。
(1) $a=\frac{30.45°+30.67°}{2}=30.56°$，$b=\frac{44.81°+45.19°}{2}=45°$，$c=\frac{79.85+80.15}{2}=80\ \mathrm{m}$；
(2) 减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 由题意可知，四边形$CDGF$、四边形$DEBG$均为矩形，
$\therefore CD=FG=80\ \mathrm{m}$，$EB=DG=1.5\ \mathrm{m}$，$∠ AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=30.56°$，
$\tan∠ ACE=\frac{AE}{EC}$，又$EC=DE+CD=AE+80$，
代入$\tan30.56°\approx0.59$得：
$0.59=\frac{AE}{AE+80}$
解得$AE\approx115.1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AE+EB\approx115.1+1.5=116.6\ \mathrm{m}$。
答：大风车的高度约为$116.6\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 平均值的计算方法为两次测量结果之和除以2，分别将三个测量项目的两次数据代入该公式计算，即可得到a、b、c的值；
(2) 实际测量过程中会存在偶然误差，设置平均值栏、多次测量取平均值的核心目的是减小误差，提升最终结果的准确性；
(3) 大风车高度AB可拆分为AE和EB两段，EB等于测倾器的高度1.5m，只需计算AE的长度即可。首先根据矩形的性质可推得CD=FG=80m，EB=1.5m；再观察两个直角三角形，Rt△ADE中∠ADE=45°，可得AE=DE，设AE长为x m，则DE=x m，EC=DE+CD=(x+80)m；最后在Rt△ACE中利用∠ACE的正切值列关于x的方程，解方程求出x后，加上EB的长度就能得到大风车的总高度。
【解析】
(1) 分别计算三个测量项目的平均值：
$a=\frac{30.45°+30.67°}{2}=30.56°$，
$b=\frac{44.81°+45.19°}{2}=45°$，
$c=\frac{79.85\ \mathrm{m}+80.15\ \mathrm{m}}{2}=80\ \mathrm{m}$；
(2) 多次测量取平均值可抵消部分偶然测量误差，因此设置平均值栏的主要目的是减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 由题意可知，四边形CDGF、四边形DEBG均为矩形，
$\therefore CD=FG=80\ \mathrm{m}$，$EB=DG=1.5\ \mathrm{m}$，$∠ AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=DE$，设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$DE=x\ \mathrm{m}$，$EC=DE+CD=(x+80)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=30.56°$，根据正切的定义：
$\tan∠ ACE=\frac{AE}{EC}$，代入$\tan30.56°\approx0.59$得：
$0.59=\frac{x}{x+80}$
解得$x=\frac{0.59×80}{1-0.59}\approx115.1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AE+EB\approx115.1+1.5=116.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $30.56°$，$45°$，$80\ \mathrm{m}$；
(2) 减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 大风车的高度约为$116.6\ \mathrm{m}$。
【知识点】
平均值的计算，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题结合真实的实践测量场景命题，既考查了基础的测量常识，又考查了利用三角函数解决仰角类实际问题的能力，贴近生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际场景的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 平均值的计算方法为两次测量结果之和除以2，分别将三个测量项目的两次数据代入该公式计算，即可得到a、b、c的值；
(2) 实际测量过程中会存在偶然误差，设置平均值栏、多次测量取平均值的核心目的是减小误差，提升最终结果的准确性；
(3) 大风车高度AB可拆分为AE和EB两段，EB等于测倾器的高度1.5m，只需计算AE的长度即可。首先根据矩形的性质可推得CD=FG=80m，EB=1.5m；再观察两个直角三角形，Rt△ADE中∠ADE=45°，可得AE=DE，设AE长为x m，则DE=x m，EC=DE+CD=(x+80)m；最后在Rt△ACE中利用∠ACE的正切值列关于x的方程，解方程求出x后，加上EB的长度就能得到大风车的总高度。
【解析】
(1) 分别计算三个测量项目的平均值：
$a=\frac{30.45°+30.67°}{2}=30.56°$，
$b=\frac{44.81°+45.19°}{2}=45°$，
$c=\frac{79.85\ \mathrm{m}+80.15\ \mathrm{m}}{2}=80\ \mathrm{m}$；
(2) 多次测量取平均值可抵消部分偶然测量误差，因此设置平均值栏的主要目的是减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 由题意可知，四边形CDGF、四边形DEBG均为矩形，
$\therefore CD=FG=80\ \mathrm{m}$，$EB=DG=1.5\ \mathrm{m}$，$∠ AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，
$\therefore AE=DE$，设$AE=x\ \mathrm{m}$，则$DE=x\ \mathrm{m}$，$EC=DE+CD=(x+80)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE=30.56°$，根据正切的定义：
$\tan∠ ACE=\frac{AE}{EC}$，代入$\tan30.56°\approx0.59$得：
$0.59=\frac{x}{x+80}$
解得$x=\frac{0.59×80}{1-0.59}\approx115.1\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AE+EB\approx115.1+1.5=116.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $30.56°$，$45°$，$80\ \mathrm{m}$；
(2) 减小测量误差，使最终测量结果更准确；
(3) 大风车的高度约为$116.6\ \mathrm{m}$。
【知识点】
平均值的计算，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题结合真实的实践测量场景命题，既考查了基础的测量常识，又考查了利用三角函数解决仰角类实际问题的能力，贴近生活，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际场景的意识。
【难度系数】
0.7
