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13. (2024·甘肃)如图8①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分，如图8②是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$的图象，点B(6,2.68)在图象上。若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4 m，高DE=1.8 m的矩形，则可判定货车(填“能”或“不能”)完全停到车棚内。
答案
能
解析
【分析】
要判断货车能否完全停入车棚，本质是判断是否存在长度不小于4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度均不低于货车高度1.8m。我们可以先令函数值$y=1.8$，求解对应的一元二次方程得到两个水平距离$x$的值，计算两个值的差，若差值$≥4\mathrm{m}$，说明存在足够长的符合高度要求的区域，货车可以停入，反之则不能。
【解析】
解：令棚顶高度$y=1.8$，代入函数解析式$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$，得：
$1.8=-0.02x^2+0.3x+1.6$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-15x+10=0$
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$（$x_1＜x_2$），根据一元二次方程根与系数的关系，两根之差为：
$x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{(-15)^2-4×1×10}}{1}=\sqrt{185}\approx13.6\ \mathrm{m}$
因为$13.6\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，说明存在长度足够的区域，高度不低于$1.8\mathrm{m}$，因此货车能完全停到车棚内。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题结合生活停车场景考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为二次函数的数值计算和区间判断，贴近生活实际，能有效考查知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断货车能否完全停入车棚，本质是判断是否存在长度不小于4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度均不低于货车高度1.8m。我们可以先令函数值$y=1.8$，求解对应的一元二次方程得到两个水平距离$x$的值，计算两个值的差，若差值$≥4\mathrm{m}$，说明存在足够长的符合高度要求的区域，货车可以停入，反之则不能。
【解析】
解：令棚顶高度$y=1.8$，代入函数解析式$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$，得：
$1.8=-0.02x^2+0.3x+1.6$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-15x+10=0$
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$（$x_1＜x_2$），根据一元二次方程根与系数的关系，两根之差为：
$x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{(-15)^2-4×1×10}}{1}=\sqrt{185}\approx13.6\ \mathrm{m}$
因为$13.6\ \mathrm{m}＞4\ \mathrm{m}$，说明存在长度足够的区域，高度不低于$1.8\mathrm{m}$，因此货车能完全停到车棚内。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质
【点评】
本题结合生活停车场景考查二次函数的应用，解题的核心是将实际问题转化为二次函数的数值计算和区间判断，贴近生活实际，能有效考查知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 已知点P在线段AB上，且$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，设$AB=4\ \mathrm{cm}$，则$BP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
$\boldsymbol{6-2\sqrt{5}}$
解析
【分析】
本题可结合比例关系列一元二次方程求解，具体思路如下：1. 观察题干给出的比例式，可知AP是AB与BP的比例中项，由于点P在线段AB上，故BP=AB-AP，可先设AP的长度为未知数，用含未知数的式子表示BP；2. 将AB的长度和表示AP、BP的式子代入比例式，得到关于未知数的一元二次方程；3. 求解方程，根据线段长度为正舍去负根，再计算BP的长度即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=4\ \mathrm{cm}$，点P在线段AB上，
$\therefore BP=AB-AP=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
又$\because \frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$AP^2=AB· BP$，
代入得$x^2=4(4-x)$，
整理为标准一元二次方程：$x^2+4x-16=0$，
由求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$，
$\because$ 线段长度为正数，$\therefore x=-2+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2$（负根舍去），
$\therefore BP=4-x=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是利用比例关系建立方程求解，解题时需注意线段长度的实际意义，舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题可结合比例关系列一元二次方程求解，具体思路如下：1. 观察题干给出的比例式，可知AP是AB与BP的比例中项，由于点P在线段AB上，故BP=AB-AP，可先设AP的长度为未知数，用含未知数的式子表示BP；2. 将AB的长度和表示AP、BP的式子代入比例式，得到关于未知数的一元二次方程；3. 求解方程，根据线段长度为正舍去负根，再计算BP的长度即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=4\ \mathrm{cm}$，点P在线段AB上，
$\therefore BP=AB-AP=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
又$\because \frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$AP^2=AB· BP$，
代入得$x^2=4(4-x)$，
整理为标准一元二次方程：$x^2+4x-16=0$，
由求根公式得$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$，
$\because$ 线段长度为正数，$\therefore x=-2+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2$（负根舍去），
$\therefore BP=4-x=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是利用比例关系建立方程求解，解题时需注意线段长度的实际意义，舍去不符合要求的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
15. 如图9，把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上，点F,G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为A'，点D的对称点为D'。若∠FPG=90°，△A'EP的面积为8，△D'PH的面积为2，则AD的长为。
答案
$\boldsymbol{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}$
解析
【分析】
首先利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等、对应边相等，结合矩形的性质推出∠A'=∠D'=90°，A'P=D'P；再根据∠FPG=90°推导角的互余关系，证明△A'EP和△D'PH相似，结合两个三角形的面积比得到相似比，设参数结合三角形面积公式求出参数值，再用勾股定理求出对应斜边长度，最后将AD拆分的各段长度相加即可得到结果。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
$∠ A'=∠ A=90°$，$∠ D'=∠ D=90°$，$A'E=AE$，$D'H=DH$，$A'P=AB$，$D'P=CD$，
∵矩形$ABCD$中$AB=CD$，
∴$A'P=D'P$，
∵$∠ FPG=90°$，
∴$∠ A'PE + ∠ D'PH = 180° - 90° = 90°$，
又
∵$∠ A'PE + ∠ A'EP=90°$，
∴$∠ A'EP=∠ D'PH$，
∴$△ A'EP ∽ △ D'PH$，
∵$S_{△ A'EP}:S_{△ D'PH}=8:2=4:1$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{4}:\sqrt{1}=2:1$，即$\frac{A'P}{D'H}=\frac{A'E}{D'P}=2$，
设$D'P=A'P=a$，则$A'E=2D'P=2a$，$D'H=\frac{A'P}{2}=\frac{a}{2}$，
∵$S_{△ A'EP}=\frac{1}{2}· A'E· A'P=\frac{1}{2}· 2a· a=a^2=8$，
解得$a=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根），
∴$A'E=2a=4\sqrt{2}$，即$AE=4\sqrt{2}$，
$D'H=\frac{a}{2}=\sqrt{2}$，即$DH=\sqrt{2}$，
在$Rt△ A'EP$中，$EP=\sqrt{A'E^2 + A'P^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+8}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
在$Rt△ D'PH$中，$PH=\sqrt{D'P^2 + D'H^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$，
∴$AD=AE + EP + PH + DH=4\sqrt{2} + 2\sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2}=5\sqrt{2}+3\sqrt{10}$。
【答案】
$\boldsymbol{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类综合题，需要灵活运用折叠的性质找到相等的边角关系，结合相似三角形和勾股定理建立量的关系求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等、对应边相等，结合矩形的性质推出∠A'=∠D'=90°，A'P=D'P；再根据∠FPG=90°推导角的互余关系，证明△A'EP和△D'PH相似，结合两个三角形的面积比得到相似比，设参数结合三角形面积公式求出参数值，再用勾股定理求出对应斜边长度，最后将AD拆分的各段长度相加即可得到结果。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
$∠ A'=∠ A=90°$，$∠ D'=∠ D=90°$，$A'E=AE$，$D'H=DH$，$A'P=AB$，$D'P=CD$，
∵矩形$ABCD$中$AB=CD$，
∴$A'P=D'P$，
∵$∠ FPG=90°$，
∴$∠ A'PE + ∠ D'PH = 180° - 90° = 90°$，
又
∵$∠ A'PE + ∠ A'EP=90°$，
∴$∠ A'EP=∠ D'PH$，
∴$△ A'EP ∽ △ D'PH$，
∵$S_{△ A'EP}:S_{△ D'PH}=8:2=4:1$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{4}:\sqrt{1}=2:1$，即$\frac{A'P}{D'H}=\frac{A'E}{D'P}=2$，
设$D'P=A'P=a$，则$A'E=2D'P=2a$，$D'H=\frac{A'P}{2}=\frac{a}{2}$，
∵$S_{△ A'EP}=\frac{1}{2}· A'E· A'P=\frac{1}{2}· 2a· a=a^2=8$，
解得$a=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根），
∴$A'E=2a=4\sqrt{2}$，即$AE=4\sqrt{2}$，
$D'H=\frac{a}{2}=\sqrt{2}$，即$DH=\sqrt{2}$，
在$Rt△ A'EP$中，$EP=\sqrt{A'E^2 + A'P^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+8}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
在$Rt△ D'PH$中，$PH=\sqrt{D'P^2 + D'H^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$，
∴$AD=AE + EP + PH + DH=4\sqrt{2} + 2\sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2}=5\sqrt{2}+3\sqrt{10}$。
【答案】
$\boldsymbol{5\sqrt{2}+3\sqrt{10}}$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类综合题，需要灵活运用折叠的性质找到相等的边角关系，结合相似三角形和勾股定理建立量的关系求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共75分)
16.(8分)图10是两棵树及它们在同一盏路灯下的影子。
(1)画图确定该路灯灯泡所在的位置O；
(2)如果此时在图中B点处立起一根杆子AB,且B点恰好与这两棵树所在的位置M点和N点共线(三点在一条直线上),请画出图中杆子AB的影子。
16.(8分)图10是两棵树及它们在同一盏路灯下的影子。
(1)画图确定该路灯灯泡所在的位置O；
(2)如果此时在图中B点处立起一根杆子AB,且B点恰好与这两棵树所在的位置M点和N点共线(三点在一条直线上),请画出图中杆子AB的影子。
答案
解：
(1) 分别过左侧大树的顶端及其影子的右端点作直线，过右侧小树的顶端及其影子的右端点作直线，两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) 连接点O与杆顶A，延长该线段与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP即为杆子AB的影子。
(1) 分别过左侧大树的顶端及其影子的右端点作直线，过右侧小树的顶端及其影子的右端点作直线，两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) 连接点O与杆顶A，延长该线段与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP即为杆子AB的影子。
解析
【分析】
本题属于中心投影的作图类题目，解题核心是利用中心投影的光线特征：路灯属于点光源，点光源发出的光线为放射状，任意物体的顶端与其对应影子顶端的连线必然经过点光源。
针对(1)问：我们可以反向利用上述规律，分别作出两棵树顶端和各自影子顶端的连线，两条直线的公共交点就是点光源也就是灯泡的位置。
针对(2)问：已经确定点光源位置后，同样依据光线过点光源和物体顶端的特点，作出过杆子顶端和点光源的光线，该光线与地面的交点到杆子底端B的线段就是杆子的影子。
【解析】
(1) ①连接左侧大树的顶端和它的影子的右端点，画出一条直线；
②连接右侧小树的顶端和它的影子的右端点，画出另一条直线；
③两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) ①连接点O与杆子顶端A，将线段OA向地面方向延长；
②延长线与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP就是杆子AB的影子。
【答案】
(1) 分别过左侧大树的顶端及其影子的右端点作直线，过右侧小树的顶端及其影子的右端点作直线，两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) 连接点O与杆顶A，延长该线段与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP即为杆子AB的影子。
【知识点】
中心投影、点光源确定、投影作图
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的实际应用，解题关键是掌握中心投影下光线均从同一点光源发出的特点，属于基础作图题，结合生活经验很容易理解掌握。
【难度系数】
0.8
本题属于中心投影的作图类题目，解题核心是利用中心投影的光线特征：路灯属于点光源，点光源发出的光线为放射状，任意物体的顶端与其对应影子顶端的连线必然经过点光源。
针对(1)问：我们可以反向利用上述规律，分别作出两棵树顶端和各自影子顶端的连线，两条直线的公共交点就是点光源也就是灯泡的位置。
针对(2)问：已经确定点光源位置后，同样依据光线过点光源和物体顶端的特点，作出过杆子顶端和点光源的光线，该光线与地面的交点到杆子底端B的线段就是杆子的影子。
【解析】
(1) ①连接左侧大树的顶端和它的影子的右端点，画出一条直线；
②连接右侧小树的顶端和它的影子的右端点，画出另一条直线；
③两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) ①连接点O与杆子顶端A，将线段OA向地面方向延长；
②延长线与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP就是杆子AB的影子。
【答案】
(1) 分别过左侧大树的顶端及其影子的右端点作直线，过右侧小树的顶端及其影子的右端点作直线，两条直线的交点即为路灯灯泡所在的位置O。
(2) 连接点O与杆顶A，延长该线段与M、N、B三点所在的水平直线交于点P，线段BP即为杆子AB的影子。
【知识点】
中心投影、点光源确定、投影作图
【点评】
本题结合生活场景考查中心投影的实际应用，解题关键是掌握中心投影下光线均从同一点光源发出的特点，属于基础作图题，结合生活经验很容易理解掌握。
【难度系数】
0.8
