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7. 如图4,在$△ ABC$中,D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,$AC// DG// EF$,H为AF与DG的交点。若$AC=12$,则DH的长为 ()
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.3
A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合三等分点的性质与平行线的条件，先通过相似三角形求出EF的长度，再判断DH为△AEF的中位线，利用中位线性质即可求出DH的长。首先，由EF//AC可证△BEF∽△BAC，结合三等分点的比例关系求出EF；再根据DG//EF且D是AE中点，得到DH是△AEF的中位线，进而求出DH。
【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，即$\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，且D是AE的中点。
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，
又
∵AC=12，
∴$EF=\frac{1}{3}×12=4$。
∵DG//EF，D是AE的中点，H为AF与DG的交点，
∴DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是结合平行线的性质找到相似三角形与中位线关系，考查学生对三角形相似和中位线性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合三等分点的性质与平行线的条件，先通过相似三角形求出EF的长度，再判断DH为△AEF的中位线，利用中位线性质即可求出DH的长。首先，由EF//AC可证△BEF∽△BAC，结合三等分点的比例关系求出EF；再根据DG//EF且D是AE中点，得到DH是△AEF的中位线，进而求出DH。
【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，即$\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，且D是AE的中点。
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3}$，
又
∵AC=12，
∴$EF=\frac{1}{3}×12=4$。
∵DG//EF，D是AE的中点，H为AF与DG的交点，
∴DH是△AEF的中位线，
∴$DH=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是结合平行线的性质找到相似三角形与中位线关系，考查学生对三角形相似和中位线性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图5,在矩形ABCD中(AD＞AB),E是BC上一点,且$DE=DA$,$AF⊥DE$,垂足为F。在下列结论中,不一定正确的是 ()
A.$△ AFD ≌ △ DCE$
B.$2AF=AD$
C.$AB=AF$
D.$BE=AD-DF$
A.$△ AFD ≌ △ DCE$
B.$2AF=AD$
C.$AB=AF$
D.$BE=AD-DF$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质推导角的关系，再利用已知的垂直、边相等的条件证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质逐一验证每个选项是否成立，注意题目要求选择"不一定正确"的结论，判断选项时需确认是否有对应的已知条件支撑。
第一步：回忆矩形的基本性质，得到边平行、角为直角、对边相等的结论，进而得到△AFD和△DCE的两组角对应相等；
第二步：结合DE=DA的条件，用AAS判定两个三角形全等，再利用全等的对应边相等验证A、C、D选项；
第三步：分析B选项，2AF=AD需要∠ADF=30°，但题目未给出该角度条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°=∠C，
在△AFD和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFD=∠ C\\ ∠ ADF=∠ DEC\\ AD=DE\end{array} $
∴△AFD≌△DCE（AAS），故A选项正确，不符合题意；
由全等得：AF=CD，DF=CE，
∵CD=AB，
∴AF=AB，故C选项正确，不符合题意；
∵BE=BC-CE，BC=AD，CE=DF，
∴BE=AD-DF，故D选项正确，不符合题意；
若2AF=AD，则在Rt△AFD中，∠ADF=30°，但题目没有给出∠ADE=30°的相关条件，因此该结论不一定成立，故B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先证明三角形全等，再结合全等性质推导边的关系，做题时要注意题干要求选"不一定正确"的结论，切勿因粗心选错答案。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质推导角的关系，再利用已知的垂直、边相等的条件证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质逐一验证每个选项是否成立，注意题目要求选择"不一定正确"的结论，判断选项时需确认是否有对应的已知条件支撑。
第一步：回忆矩形的基本性质，得到边平行、角为直角、对边相等的结论，进而得到△AFD和△DCE的两组角对应相等；
第二步：结合DE=DA的条件，用AAS判定两个三角形全等，再利用全等的对应边相等验证A、C、D选项；
第三步：分析B选项，2AF=AD需要∠ADF=30°，但题目未给出该角度条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°=∠C，
在△AFD和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFD=∠ C\\ ∠ ADF=∠ DEC\\ AD=DE\end{array} $
∴△AFD≌△DCE（AAS），故A选项正确，不符合题意；
由全等得：AF=CD，DF=CE，
∵CD=AB，
∴AF=AB，故C选项正确，不符合题意；
∵BE=BC-CE，BC=AD，CE=DF，
∴BE=AD-DF，故D选项正确，不符合题意；
若2AF=AD，则在Rt△AFD中，∠ADF=30°，但题目没有给出∠ADE=30°的相关条件，因此该结论不一定成立，故B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先证明三角形全等，再结合全等性质推导边的关系，做题时要注意题干要求选"不一定正确"的结论，切勿因粗心选错答案。
【难度系数】
0.7
9. (2025·广安)如图6,二次函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数,$a≠0$)的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,有下列结论:①$abc＜0$;②$4a+c＞2b$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1,x_2=n$;④$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$。其中正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题时结合二次函数的基本性质、与一元二次方程的关系逐一判断结论：首先，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，可直接判断结论③；其次，二次函数的对称轴是两个x轴交点横坐标的平均数，也等于公式$- \frac{b}{2a}$，可判断结论④；最后，由于题目未给出抛物线开口方向、与y轴交点位置以及n的取值范围，无法确定a、b、c的符号，也无法判断x=-2时的函数值正负，因此结论①②无法证明成立。
【解析】
逐个分析4个结论：
1. 结论①$abc＜0$：题目仅给出抛物线与x轴的两个交点坐标，未说明开口方向、与y轴交点位置，无法确定a、b、c的符号，因此无法判断$abc$的正负，①错误。
2. 结论②$4a+c＞2b$：将不等式变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时的函数值，题目未给出$x=-2$对应抛物线上点的位置，无法判断该值的正负，②错误。
3. 结论③：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解，已知图象交x轴于$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，③正确。
4. 结论④：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均数，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，④正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数基础性质的应用，解题时要注意只有明确给出图象的前提下，才能判断开口方向、特殊点函数值等信息，不能主观臆断未给出的条件。
【难度系数】
0.65
解题时结合二次函数的基本性质、与一元二次方程的关系逐一判断结论：首先，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，可直接判断结论③；其次，二次函数的对称轴是两个x轴交点横坐标的平均数，也等于公式$- \frac{b}{2a}$，可判断结论④；最后，由于题目未给出抛物线开口方向、与y轴交点位置以及n的取值范围，无法确定a、b、c的符号，也无法判断x=-2时的函数值正负，因此结论①②无法证明成立。
【解析】
逐个分析4个结论：
1. 结论①$abc＜0$：题目仅给出抛物线与x轴的两个交点坐标，未说明开口方向、与y轴交点位置，无法确定a、b、c的符号，因此无法判断$abc$的正负，①错误。
2. 结论②$4a+c＞2b$：将不等式变形为$4a-2b+c＞0$，该式表示$x=-2$时的函数值，题目未给出$x=-2$对应抛物线上点的位置，无法判断该值的正负，②错误。
3. 结论③：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的解，已知图象交x轴于$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程的解为$x_1=-1,x_2=n$，③正确。
4. 结论④：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均数，即$x=\frac{-1+n}{2}=\frac{n-1}{2}$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{n-1}{2}$，④正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数基础性质的应用，解题时要注意只有明确给出图象的前提下，才能判断开口方向、特殊点函数值等信息，不能主观臆断未给出的条件。
【难度系数】
0.65
10. △ABC的边上有D,E,F三点,各点位置如图7所示。若∠B=∠FAC,BD=AC,∠BDE=∠C,BE=7,EF=4,FC=5,则四边形ADEF与△ABC的面积比为 ()
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$2:5$
D.$3:8$
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$2:5$
D.$3:8$
答案
D
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，结合已知的角相等、边相等条件，用ASA判定定理证明△BDE和△ACF全等，得到二者面积相等、对应边相等的结论；第二步，利用公共角和已知角相等证明△AFC和△BAC相似，结合相似三角形面积比等于相似比平方的性质，推导△AFC与△ABC的面积比；第三步，用△ABC的总面积减去两个全等小三角形的面积，得到四边形ADEF的面积，最终求出二者的面积比。
【解析】
1. 证明△BDE≌△ACF：
在△BDE和△ACF中，
$\begin{cases}∠B=∠FAC \\BD=AC \\∠BDE=∠C\end{cases}$
∴△BDE≌△ACF（ASA），可得$S_{△ BDE}=S_{△ ACF}$，且$BE=AF$。
2. 计算边长：
$BC=BE+EF+FC=7+4+5=16$。
3. 证明△AFC∽△BAC：
在△AFC和△BAC中，
$\begin{cases}∠FAC=∠B \\∠C=∠C\end{cases}$
∴△AFC∽△BAC（AA相似判定），根据相似三角形性质可得$\frac{S_{△ AFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2$，且$\frac{FC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即$AC^2=FC· BC=5×16=80$。
代入面积比公式：$\frac{S_{△ AFC}}{S_{△ ABC}}=\frac{FC^2}{AC^2}=\frac{25}{80}=\frac{5}{16}$，因此$S_{△ BDE}=S_{△ AFC}=\frac{5}{16}S_{△ ABC}$。
4. 计算面积比：
$S_{四边形ADEF}=S_{△ ABC}-S_{△ BDE}-S_{△ AFC}=S_{△ ABC}-\frac{5}{16}S_{△ ABC}-\frac{5}{16}S_{△ ABC}=\frac{3}{8}S_{△ ABC}$
即$S_{四边形ADEF}:S_{△ ABC}=3:8$。
【答案】D
【知识点】
全等三角形判定、相似三角形判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与相似三角形结合的典型题型，要求学生熟练掌握全等、相似的判定定理，以及相似三角形面积比和相似比的关系，解题时先通过全等得到等量关系，再借助相似推导面积比例，逻辑连贯性较强。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步，结合已知的角相等、边相等条件，用ASA判定定理证明△BDE和△ACF全等，得到二者面积相等、对应边相等的结论；第二步，利用公共角和已知角相等证明△AFC和△BAC相似，结合相似三角形面积比等于相似比平方的性质，推导△AFC与△ABC的面积比；第三步，用△ABC的总面积减去两个全等小三角形的面积，得到四边形ADEF的面积，最终求出二者的面积比。
【解析】
1. 证明△BDE≌△ACF：
在△BDE和△ACF中，
$\begin{cases}∠B=∠FAC \\BD=AC \\∠BDE=∠C\end{cases}$
∴△BDE≌△ACF（ASA），可得$S_{△ BDE}=S_{△ ACF}$，且$BE=AF$。
2. 计算边长：
$BC=BE+EF+FC=7+4+5=16$。
3. 证明△AFC∽△BAC：
在△AFC和△BAC中，
$\begin{cases}∠FAC=∠B \\∠C=∠C\end{cases}$
∴△AFC∽△BAC（AA相似判定），根据相似三角形性质可得$\frac{S_{△ AFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2$，且$\frac{FC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即$AC^2=FC· BC=5×16=80$。
代入面积比公式：$\frac{S_{△ AFC}}{S_{△ ABC}}=\frac{FC^2}{AC^2}=\frac{25}{80}=\frac{5}{16}$，因此$S_{△ BDE}=S_{△ AFC}=\frac{5}{16}S_{△ ABC}$。
4. 计算面积比：
$S_{四边形ADEF}=S_{△ ABC}-S_{△ BDE}-S_{△ AFC}=S_{△ ABC}-\frac{5}{16}S_{△ ABC}-\frac{5}{16}S_{△ ABC}=\frac{3}{8}S_{△ ABC}$
即$S_{四边形ADEF}:S_{△ ABC}=3:8$。
【答案】D
【知识点】
全等三角形判定、相似三角形判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与相似三角形结合的典型题型，要求学生熟练掌握全等、相似的判定定理，以及相似三角形面积比和相似比的关系，解题时先通过全等得到等量关系，再借助相似推导面积比例，逻辑连贯性较强。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·重庆)甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览,则他们恰好选择同一景区的概率为。
11.(2024·重庆)甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览,则他们恰好选择同一景区的概率为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，先确定所有等可能的结果总数，甲、乙各自都有3种选择，可通过枚举或列表的方式列出所有组合；第二步，找出“两人恰好选择同一景区”的符合条件的结果数；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们可以通过列举法列出所有等可能的情况：
甲选A时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(A,A)、(A,B)、(A,C)
甲选B时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(B,A)、(B,B)、(B,C)
甲选C时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有3×3=9种等可能的结果。
其中两人恰好选择同一景区的结果有3种：(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率计算公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率、概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，难度较低，核心是要做到不重不漏地列举出所有等可能的情况，再准确匹配符合题意的结果代入公式计算。
【难度系数】
0.8
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，先确定所有等可能的结果总数，甲、乙各自都有3种选择，可通过枚举或列表的方式列出所有组合；第二步，找出“两人恰好选择同一景区”的符合条件的结果数；第三步，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们可以通过列举法列出所有等可能的情况：
甲选A时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(A,A)、(A,B)、(A,C)
甲选B时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(B,A)、(B,B)、(B,C)
甲选C时，乙可选A、B、C，对应3种结果：(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有3×3=9种等可能的结果。
其中两人恰好选择同一景区的结果有3种：(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率计算公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
古典概型、列举法求概率、概率计算公式
【点评】
本题是概率基础应用题，难度较低，核心是要做到不重不漏地列举出所有等可能的情况，再准确匹配符合题意的结果代入公式计算。
【难度系数】
0.8
12.(2024·绵阳)超市销售某种礼盒,该礼盒的原价为500元。
因销量持续攀升,商家在3月份提价20%后发现销量锐减,于是经过
核算决定在3月份售价的基础上,4,5月份按照相同的降价率r连续
降价。已知5月份礼盒的售价为486元,则r=。
因销量持续攀升,商家在3月份提价20%后发现销量锐减,于是经过
核算决定在3月份售价的基础上,4,5月份按照相同的降价率r连续
降价。已知5月份礼盒的售价为486元,则r=。
答案
$\boldsymbol{10\%}$
解析
【分析】
解题时先梳理价格的变化流程：首先计算3月份提价20%后的售价，提价后的价格=原价×(1+提价百分比)；其次4、5月份是在3月售价的基础上连续两次同率降价，连续两次降价后的售价=3月售价×(1-降价率)²，结合5月份售价为486元的已知条件列出方程，求解后结合降价率的实际意义（0＜r＜1）舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
第一步：计算3月份提价后的售价
礼盒原价为500元，3月份提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%) = 500×1.2 = 600$（元）
第二步：根据连续降价的关系列方程
4、5月份在600元的基础上连续两次降价，降价率均为r，5月售价为486元，可得方程：
$600(1-r)^2 = 486$
第三步：解方程并取舍根
方程两边同时除以600得：$(1-r)^2 = 0.81$
开平方得：$1-r = \pm0.9$
当$1-r=0.9$时，解得$r=0.1=10\%$，符合降价率的实际范围；
当$1-r=-0.9$时，解得$r=1.9$，不符合$0＜r＜1$的实际意义，舍去。
因此$r=10\%$。
【答案】
$\boldsymbol{10\%}$
【知识点】
1. 降价率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的常规题型，核心是理清价格变化的先后逻辑，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景验证根的合理性，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理价格的变化流程：首先计算3月份提价20%后的售价，提价后的价格=原价×(1+提价百分比)；其次4、5月份是在3月售价的基础上连续两次同率降价，连续两次降价后的售价=3月售价×(1-降价率)²，结合5月份售价为486元的已知条件列出方程，求解后结合降价率的实际意义（0＜r＜1）舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
第一步：计算3月份提价后的售价
礼盒原价为500元，3月份提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%) = 500×1.2 = 600$（元）
第二步：根据连续降价的关系列方程
4、5月份在600元的基础上连续两次降价，降价率均为r，5月售价为486元，可得方程：
$600(1-r)^2 = 486$
第三步：解方程并取舍根
方程两边同时除以600得：$(1-r)^2 = 0.81$
开平方得：$1-r = \pm0.9$
当$1-r=0.9$时，解得$r=0.1=10\%$，符合降价率的实际范围；
当$1-r=-0.9$时，解得$r=1.9$，不符合$0＜r＜1$的实际意义，舍去。
因此$r=10\%$。
【答案】
$\boldsymbol{10\%}$
【知识点】
1. 降价率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的常规题型，核心是理清价格变化的先后逻辑，正确建立等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景验证根的合理性，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
