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1.（2025·陕西）上马石是古人上、下马的工具，形状如图1①。它可以看作图1②所示的几何体，该几何体的俯视图为（）
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。观察题目给出的组合几何体，其水平方向分为左右两个部分，上下层的高度在俯视图中无法体现，仅需要观察顶部的投影形状：从正上方看，可见两个左右并列的矩形，可见轮廓均为实线，据此匹配对应选项即可。
【解析】
根据三视图的相关规则，俯视图是对几何体做正上方的正投影得到的图形，可见的轮廓线用实线绘制。
观察该组合几何体，从正上方观察时，可得到两个水平排列的相邻矩形，符合这一特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 俯视图的识别
2. 简单组合体的三视图
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查学生对三视图中俯视图的判断能力，解题核心是明确不同视图的观察方向，注意区分三种视图的形状差异，同时掌握实线、虚线的使用规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。观察题目给出的组合几何体，其水平方向分为左右两个部分，上下层的高度在俯视图中无法体现，仅需要观察顶部的投影形状：从正上方看，可见两个左右并列的矩形，可见轮廓均为实线，据此匹配对应选项即可。
【解析】
根据三视图的相关规则，俯视图是对几何体做正上方的正投影得到的图形，可见的轮廓线用实线绘制。
观察该组合几何体，从正上方观察时，可得到两个水平排列的相邻矩形，符合这一特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 俯视图的识别
2. 简单组合体的三视图
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查学生对三视图中俯视图的判断能力，解题核心是明确不同视图的观察方向，注意区分三种视图的形状差异，同时掌握实线、虚线的使用规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图 2,△ABO 缩小后变为△A'B'O,其中A,B 的对应点分别为A',B',点A,B,A',B'均在图中格点上。若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 ()
A.$(\dfrac{m}{2},n)$
B.$(m,n)$
C.$(m,\dfrac{n}{2})$
D.$(\dfrac{m}{2},\dfrac{n}{2})$
A.$(\dfrac{m}{2},n)$
B.$(m,n)$
C.$(m,\dfrac{n}{2})$
D.$(\dfrac{m}{2},\dfrac{n}{2})$
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题首先观察图形特征，△ABO和△A'B'O的公共顶点是原点O，且对应顶点的连线都经过原点，可判断二者是关于原点O的位似图形；接下来通过对比A、B和对应点A'、B'的坐标，能得出位似比为1/2；最后回忆位似中心在原点时的坐标变化规律，结合位似比就能推导出点P对应点P'的坐标。
【解析】
由图可知，△ABO与△A'B'O是位似图形，位似中心为坐标原点O，且△A'B'O是△ABO按位似比1:2缩小得到的。
根据位似变换的坐标规律：当位似中心为坐标原点，两个位似图形在原点同侧时，若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)。
本题中位似比$k=\frac{1}{2}$，已知线段AB上的点P坐标为(m,n)，因此对应点P'的坐标为$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标变化
【点评】
本题主要考查位似变换的坐标应用，解题关键是准确判断位似中心和位似比，属于基础题型，熟练掌握位似的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察图形特征，△ABO和△A'B'O的公共顶点是原点O，且对应顶点的连线都经过原点，可判断二者是关于原点O的位似图形；接下来通过对比A、B和对应点A'、B'的坐标，能得出位似比为1/2；最后回忆位似中心在原点时的坐标变化规律，结合位似比就能推导出点P对应点P'的坐标。
【解析】
由图可知，△ABO与△A'B'O是位似图形，位似中心为坐标原点O，且△A'B'O是△ABO按位似比1:2缩小得到的。
根据位似变换的坐标规律：当位似中心为坐标原点，两个位似图形在原点同侧时，若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)。
本题中位似比$k=\frac{1}{2}$，已知线段AB上的点P坐标为(m,n)，因此对应点P'的坐标为$(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；位似变换的坐标变化
【点评】
本题主要考查位似变换的坐标应用，解题关键是准确判断位似中心和位似比，属于基础题型，熟练掌握位似的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线$y=(x-x_1)(x-x_2)-3(x_1＜x_2)$，抛物线与$x$轴交于$(m,0),(n,0)$两点$(m＜n)$，则$m,n,x_1,x_2$的大小关系是 （）
A.$x_1＜m＜n＜x_2$
B.$m＜x_1＜x_2＜n$
C.$m＜x_1＜n＜x_2$
D.$x_1＜m＜x_2＜n$
A.$x_1＜m＜n＜x_2$
B.$m＜x_1＜x_2＜n$
C.$m＜x_1＜n＜x_2$
D.$x_1＜m＜x_2＜n$
答案
B
解析
【分析】
要判断四个数的大小关系，可采用两种思路：一是特殊值代入法，给x₁、x₂赋符合要求的具体数值，分别求出m、n的值后直接比较大小，这种方法适合选择题，简单直观；二是利用二次函数图象平移的性质，先分析平移前抛物线与x轴的交点，再判断向下平移后新交点的位置，进而得到大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
令x₁=1，x₂=3（满足x₁＜x₂），则抛物线解析式为$y=(x-1)(x-3)-3$，
展开得$y=x^2-4x+3-3=x^2-4x$，
令$y=0$，即$x^2-4x=0$，解得$x=0$或$x=4$，
由题知$m＜n$，因此$m=0$，$n=4$，
比较得$0＜1＜3＜4$，即$m＜x_1＜x_2＜n$。
方法二：图象平移法
设$y_1=(x-x_1)(x-x_2)$，该抛物线开口向上，与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，
题目中的抛物线$y=y_1-3$，是将$y_1$的图象向下平移3个单位得到的，平移后开口方向不变，
向下平移后，抛物线与x轴的交点会向左右两侧偏移，因此左侧交点$m＜x_1$，右侧交点$n＞x_2$，
故大小关系为$m＜x_1＜x_2＜n$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数与x轴交点、特殊值法解题
【点评】
本题既可以通过赋值的特殊值法快速得出答案，也可以结合二次函数平移的性质分析交点位置，灵活选择简便方法能大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.6
要判断四个数的大小关系，可采用两种思路：一是特殊值代入法，给x₁、x₂赋符合要求的具体数值，分别求出m、n的值后直接比较大小，这种方法适合选择题，简单直观；二是利用二次函数图象平移的性质，先分析平移前抛物线与x轴的交点，再判断向下平移后新交点的位置，进而得到大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
令x₁=1，x₂=3（满足x₁＜x₂），则抛物线解析式为$y=(x-1)(x-3)-3$，
展开得$y=x^2-4x+3-3=x^2-4x$，
令$y=0$，即$x^2-4x=0$，解得$x=0$或$x=4$，
由题知$m＜n$，因此$m=0$，$n=4$，
比较得$0＜1＜3＜4$，即$m＜x_1＜x_2＜n$。
方法二：图象平移法
设$y_1=(x-x_1)(x-x_2)$，该抛物线开口向上，与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，
题目中的抛物线$y=y_1-3$，是将$y_1$的图象向下平移3个单位得到的，平移后开口方向不变，
向下平移后，抛物线与x轴的交点会向左右两侧偏移，因此左侧交点$m＜x_1$，右侧交点$n＞x_2$，
故大小关系为$m＜x_1＜x_2＜n$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数与x轴交点、特殊值法解题
【点评】
本题既可以通过赋值的特殊值法快速得出答案，也可以结合二次函数平移的性质分析交点位置，灵活选择简便方法能大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.6
4. (2024·宿迁)规定:对于任意实数$a,b,c$,有【$a,b$】★$c=ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【$2,3$】★$1=2×1+3=5$。若关于$x$的方程【$x,x+1$】★$(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为 ()
A.$m＜\dfrac{1}{4}$
B.$m＞\dfrac{1}{4}$
C.$m＞\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
A.$m＜\dfrac{1}{4}$
B.$m＞\dfrac{1}{4}$
C.$m＞\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\dfrac{1}{4}$且$m≠0$
答案
D
解析
【分析】
本题是新定义运算结合一元二次方程性质的题型，解题思路分为三步：第一步先根据题目给出的新运算规则，将含新运算的方程转化为常规整式方程；第二步，由“方程有两个不相等的实数根”可知该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的前提条件；第三步，再利用一元二次方程根的判别式Δ＞0列出不等式，求解后结合二次项系数的限制即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义【a,b】★c=ac+b，代入对应数值可得：
【x,x+1】★(mx) = x·mx + (x+1) = 0
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵该方程有两个不相等的实数根
∴首先方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$
其次，根据一元二次方程根的判别式要求$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，此处$a=m$，$b=1$，$c=1$
代入得：$1^2 - 4× m × 1 ＞ 0$
即$1 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ \dfrac{1}{4}$
综上，m的取值范围为$m ＜ \dfrac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的核心是正确理解新运算规则完成方程转化，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致漏选限制条件。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算结合一元二次方程性质的题型，解题思路分为三步：第一步先根据题目给出的新运算规则，将含新运算的方程转化为常规整式方程；第二步，由“方程有两个不相等的实数根”可知该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的前提条件；第三步，再利用一元二次方程根的判别式Δ＞0列出不等式，求解后结合二次项系数的限制即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义【a,b】★c=ac+b，代入对应数值可得：
【x,x+1】★(mx) = x·mx + (x+1) = 0
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵该方程有两个不相等的实数根
∴首先方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$
其次，根据一元二次方程根的判别式要求$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，此处$a=m$，$b=1$，$c=1$
代入得：$1^2 - 4× m × 1 ＞ 0$
即$1 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ \dfrac{1}{4}$
综上，m的取值范围为$m ＜ \dfrac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题解题的核心是正确理解新运算规则完成方程转化，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致漏选限制条件。
【难度系数】
0.6
5. 如果以$a,b,c$为三边的三角形和以$4,5,6$为三边的三角形相似，那么$a$与$b$的比值不可能为 $\quad (\quad)$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{5}{6}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应边成比例，且题目未给出三边的对应关系，因此需要分情况讨论所有可能的边长对应组合，计算出a与b比值的所有可能值，再对照选项找出不可能的比值即可。
【解析】
∵ 以a,b,c为三边的三角形和以4,5,6为三边的三角形相似，且未明确对应边关系，
∴ 根据相似三角形对应边成比例，a,b,c的比值与4,5,6的所有排列比值对应，分情况讨论a与b的比值：
1. 当a对应4，b对应6时，$\frac{a}{b}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，故A选项可能；
2. 当a对应4，b对应5时，$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，故C选项可能；
3. 当a对应5，b对应6时，$\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$，故D选项可能；
所有可能的$\frac{a}{b}$的取值为$\frac{2}{3}、\frac{4}{5}、\frac{5}{6}、\frac{3}{2}、\frac{5}{4}、\frac{6}{5}$，不存在$\frac{3}{4}$的情况，因此$\frac{a}{b}$不可能为$\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应边的不确定性，仅考虑单一的对应关系导致错解，解题时需梳理所有可能的对应情况，逐一验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应边成比例，且题目未给出三边的对应关系，因此需要分情况讨论所有可能的边长对应组合，计算出a与b比值的所有可能值，再对照选项找出不可能的比值即可。
【解析】
∵ 以a,b,c为三边的三角形和以4,5,6为三边的三角形相似，且未明确对应边关系，
∴ 根据相似三角形对应边成比例，a,b,c的比值与4,5,6的所有排列比值对应，分情况讨论a与b的比值：
1. 当a对应4，b对应6时，$\frac{a}{b}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，故A选项可能；
2. 当a对应4，b对应5时，$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，故C选项可能；
3. 当a对应5，b对应6时，$\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$，故D选项可能；
所有可能的$\frac{a}{b}$的取值为$\frac{2}{3}、\frac{4}{5}、\frac{5}{6}、\frac{3}{2}、\frac{5}{4}、\frac{6}{5}$，不存在$\frac{3}{4}$的情况，因此$\frac{a}{b}$不可能为$\frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应边的不确定性，仅考虑单一的对应关系导致错解，解题时需梳理所有可能的对应情况，逐一验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
6. 如图3,四边形ABCD是菱形,∠ADC=100°,DH⊥AB交AC于点F,垂足为H,则∠AFH的度数为 ()
A.50°
B.40°
C.10°
D.80°
A.50°
B.40°
C.10°
D.80°
答案
A
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手：首先菱形邻角互补，可先求出∠DAB的度数；其次菱形的对角线平分一组内角，可得到∠BAC的度数；最后结合DH⊥AB得到直角△AHF，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AFH的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线
∴∠DAB + ∠ADC = 180°，且AC平分∠DAB
∵∠ADC=100°
∴∠DAB=180°-100°=80°
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}×80°=40°$
∵DH⊥AB
∴∠AHF=90°
在Rt△AHF中，∠AFH + ∠BAC = 90°
∴∠AFH=90°-40°=50°
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对菱形基本性质的运用，解题的关键是熟练掌握菱形的角相关性质，结合直角三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从菱形的性质入手：首先菱形邻角互补，可先求出∠DAB的度数；其次菱形的对角线平分一组内角，可得到∠BAC的度数；最后结合DH⊥AB得到直角△AHF，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AFH的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线
∴∠DAB + ∠ADC = 180°，且AC平分∠DAB
∵∠ADC=100°
∴∠DAB=180°-100°=80°
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}×80°=40°$
∵DH⊥AB
∴∠AHF=90°
在Rt△AHF中，∠AFH + ∠BAC = 90°
∴∠AFH=90°-40°=50°
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是对菱形基本性质的运用，解题的关键是熟练掌握菱形的角相关性质，结合直角三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
