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22. (10分)某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目,计划用葫芦丝合奏一首乐曲。要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首。
游戏规则如下:在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外,其余都相同),甲从口袋中任意摸出1个小球,小球上的数字记为a。在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的两张卡片(除标号外,其余都相同),乙从口袋里任意摸出1张卡片,卡片上的数字记为b。然后计算这两个数的和,即$a+b$。若$a+b$为奇数,则演奏《月光下的凤尾竹》;否则,演奏《彩云之南》。
(1)用列表法或画树状图法求$(a,b)$所有可能出现的结果总数。
(2)你认为这个游戏公平吗?如果公平,请说明理由;如果不公平,哪一首乐曲更有可能被选中?
游戏规则如下:在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球(除标号外,其余都相同),甲从口袋中任意摸出1个小球,小球上的数字记为a。在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2的两张卡片(除标号外,其余都相同),乙从口袋里任意摸出1张卡片,卡片上的数字记为b。然后计算这两个数的和,即$a+b$。若$a+b$为奇数,则演奏《月光下的凤尾竹》;否则,演奏《彩云之南》。
(1)用列表法或画树状图法求$(a,b)$所有可能出现的结果总数。
(2)你认为这个游戏公平吗?如果公平,请说明理由;如果不公平,哪一首乐曲更有可能被选中?
答案
解：
(1) 列表如下：
| a \ b | 1 | 2 |
|--------|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) |
| 2 | (2,1) | (2,2) |
| 3 | (3,1) | (3,2) |
| 4 | (4,1) | (4,2) |
由表可知，所有等可能的结果共8种，即$(a,b)$所有可能出现的结果总数为8。
(2) 其中$a+b$为奇数的结果有4种，$a+b$为偶数的结果有4种，
因此$P(\mathrm{演奏《月光下的凤尾竹》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{演奏《彩云之南》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因为两首乐曲被选中的概率相等，所以这个游戏公平。
(1) 列表如下：
| a \ b | 1 | 2 |
|--------|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) |
| 2 | (2,1) | (2,2) |
| 3 | (3,1) | (3,2) |
| 4 | (4,1) | (4,2) |
由表可知，所有等可能的结果共8种，即$(a,b)$所有可能出现的结果总数为8。
(2) 其中$a+b$为奇数的结果有4种，$a+b$为偶数的结果有4种，
因此$P(\mathrm{演奏《月光下的凤尾竹》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{演奏《彩云之南》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因为两首乐曲被选中的概率相等，所以这个游戏公平。
解析
【分析】
(1) 求$(a,b)$所有可能的结果总数时，由于甲摸球有4种等可能结果，乙摸卡片有2种等可能结果，两个事件相互独立，可通过列表法将a的所有取值与b的所有取值一一对应组合，避免出现重复或遗漏，即可快速统计所有可能的结果数。
(2) 判断游戏是否公平的核心依据是两个事件（演奏两首乐曲）的概率是否相等：先从所有等可能结果中分别统计$a+b$为奇数、偶数的结果数，再结合概率公式分别计算两个事件的概率，比较概率大小即可判断公平性。
【解析】
(1) 列表如下：
| a \ b | 1 | 2 |
|--------|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) |
| 2 | (2,1) | (2,2) |
| 3 | (3,1) | (3,2) |
| 4 | (4,1) | (4,2) |
由表可知，所有等可能的结果共8种，即$(a,b)$所有可能出现的结果总数为8。
(2) 其中$a+b$为奇数的结果有4种，$a+b$为偶数的结果有4种，
因此$P(\mathrm{演奏《月光下的凤尾竹》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{演奏《彩云之南》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因为两首乐曲被选中的概率相等，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 这个游戏公平，两首乐曲被选中的概率均为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
列表法求等可能结果，概率计算，游戏公平性判定
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是通过列表法不重不漏地列举所有等可能结果，再结合概率公式计算对应事件概率，进而判断游戏公平性，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求$(a,b)$所有可能的结果总数时，由于甲摸球有4种等可能结果，乙摸卡片有2种等可能结果，两个事件相互独立，可通过列表法将a的所有取值与b的所有取值一一对应组合，避免出现重复或遗漏，即可快速统计所有可能的结果数。
(2) 判断游戏是否公平的核心依据是两个事件（演奏两首乐曲）的概率是否相等：先从所有等可能结果中分别统计$a+b$为奇数、偶数的结果数，再结合概率公式分别计算两个事件的概率，比较概率大小即可判断公平性。
【解析】
(1) 列表如下：
| a \ b | 1 | 2 |
|--------|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) |
| 2 | (2,1) | (2,2) |
| 3 | (3,1) | (3,2) |
| 4 | (4,1) | (4,2) |
由表可知，所有等可能的结果共8种，即$(a,b)$所有可能出现的结果总数为8。
(2) 其中$a+b$为奇数的结果有4种，$a+b$为偶数的结果有4种，
因此$P(\mathrm{演奏《月光下的凤尾竹》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{演奏《彩云之南》})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
因为两首乐曲被选中的概率相等，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) 这个游戏公平，两首乐曲被选中的概率均为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
列表法求等可能结果，概率计算，游戏公平性判定
【点评】
本题是概率基础应用题，解题关键是通过列表法不重不漏地列举所有等可能结果，再结合概率公式计算对应事件概率，进而判断游戏公平性，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
23. (11分)明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点,四个大汤圆分别为一个芝麻馅,一个水果馅,两个花生馅。四个大汤圆除内部馅料不同外,其他均相同。
(1)求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率。
(2)若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆,则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大?请说明理由。
(1)求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率。
(2)若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆,则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大?请说明理由。
答案
解：
(1) 分别记芝麻馅汤圆为A，水果馅汤圆为B，两个花生馅汤圆为$C_1$、$C_2$。
所有等可能的结果共12种，分别为：$(A,B)$、$(A,C_1)$、$(A,C_2)$、$(B,A)$、$(B,C_1)$、$(B,C_2)$、$(C_1,A)$、$(C_1,B)$、$(C_1,C_2)$、$(C_2,A)$、$(C_2,B)$、$(C_2,C_1)$。
其中前两个汤圆都是花生馅的结果有2种。
因此$P(\mathrm{前两个汤圆刚好都是花生馅})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 可能性会增大，理由如下：
增加一个花生馅汤圆后，共有5个汤圆，其中花生馅汤圆共3个。
此时所有等可能的结果共$5×4=20$种，其中前两个汤圆都是花生馅的结果有$3×2=6$种。
此时$P(\mathrm{前两个汤圆都是花生馅})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
因为$\frac{3}{10}＞\frac{1}{6}$，所以爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性会增大。
(1) 分别记芝麻馅汤圆为A，水果馅汤圆为B，两个花生馅汤圆为$C_1$、$C_2$。
所有等可能的结果共12种，分别为：$(A,B)$、$(A,C_1)$、$(A,C_2)$、$(B,A)$、$(B,C_1)$、$(B,C_2)$、$(C_1,A)$、$(C_1,B)$、$(C_1,C_2)$、$(C_2,A)$、$(C_2,B)$、$(C_2,C_1)$。
其中前两个汤圆都是花生馅的结果有2种。
因此$P(\mathrm{前两个汤圆刚好都是花生馅})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 可能性会增大，理由如下：
增加一个花生馅汤圆后，共有5个汤圆，其中花生馅汤圆共3个。
此时所有等可能的结果共$5×4=20$种，其中前两个汤圆都是花生馅的结果有$3×2=6$种。
此时$P(\mathrm{前两个汤圆都是花生馅})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
因为$\frac{3}{10}＞\frac{1}{6}$，所以爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性会增大。
解析
【分析】
本题考查不放回随机事件的概率计算，解题思路如下：(1) 吃汤圆属于不放回抽取，计算前两个均为花生馅的概率时，先通过列举法或乘法计数原理得到所有等可能的结果总数，再筛选出符合“前两个都是花生馅”的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。(2) 增加花生馅汤圆后，重复上述步骤计算新的概率，将两次概率比较大小，即可判断可能性是否增大。
【解析】
(1) 分别记芝麻馅汤圆为A，水果馅汤圆为B，两个花生馅汤圆为$C_1$、$C_2$。
吃前两个汤圆为不放回抽取，所有等可能的结果共$4×3=12$种，分别为：$(A,B)$、$(A,C_1)$、$(A,C_2)$、$(B,A)$、$(B,C_1)$、$(B,C_2)$、$(C_1,A)$、$(C_1,B)$、$(C_1,C_2)$、$(C_2,A)$、$(C_2,B)$、$(C_2,C_1)$。
其中前两个汤圆都是花生馅的结果有2种。
因此$P(\mathrm{前两个汤圆刚好都是花生馅})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 可能性会增大，理由如下：
增加一个花生馅汤圆后，共有5个汤圆，其中花生馅汤圆共3个。
此时所有等可能的结果共$5×4=20$种，其中前两个汤圆都是花生馅的结果有$3×2=6$种。
此时$P(\mathrm{前两个汤圆都是花生馅})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
因为$\frac{3}{10}＞\frac{1}{6}$，所以爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性会增大。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) 可能性会增大，理由见解析。
【知识点】
列举法求概率，概率公式，可能性大小判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题时需注意抽取方式为不放回，统计结果时要保证所有事件为等可能事件，整体逻辑清晰，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
本题考查不放回随机事件的概率计算，解题思路如下：(1) 吃汤圆属于不放回抽取，计算前两个均为花生馅的概率时，先通过列举法或乘法计数原理得到所有等可能的结果总数，再筛选出符合“前两个都是花生馅”的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$即可求解。(2) 增加花生馅汤圆后，重复上述步骤计算新的概率，将两次概率比较大小，即可判断可能性是否增大。
【解析】
(1) 分别记芝麻馅汤圆为A，水果馅汤圆为B，两个花生馅汤圆为$C_1$、$C_2$。
吃前两个汤圆为不放回抽取，所有等可能的结果共$4×3=12$种，分别为：$(A,B)$、$(A,C_1)$、$(A,C_2)$、$(B,A)$、$(B,C_1)$、$(B,C_2)$、$(C_1,A)$、$(C_1,B)$、$(C_1,C_2)$、$(C_2,A)$、$(C_2,B)$、$(C_2,C_1)$。
其中前两个汤圆都是花生馅的结果有2种。
因此$P(\mathrm{前两个汤圆刚好都是花生馅})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 可能性会增大，理由如下：
增加一个花生馅汤圆后，共有5个汤圆，其中花生馅汤圆共3个。
此时所有等可能的结果共$5×4=20$种，其中前两个汤圆都是花生馅的结果有$3×2=6$种。
此时$P(\mathrm{前两个汤圆都是花生馅})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
因为$\frac{3}{10}＞\frac{1}{6}$，所以爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性会增大。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) 可能性会增大，理由见解析。
【知识点】
列举法求概率，概率公式，可能性大小判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题时需注意抽取方式为不放回，统计结果时要保证所有事件为等可能事件，整体逻辑清晰，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
