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20. (9分)有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同),正面分别写上整式$x^2+1, -x^2-2, 3$。将这三张卡片背面向上洗匀,从中任意抽取一张卡片,记卡片上的整式为$A$,再从剩下的卡片中任意抽取一张,记卡片上的整式为$B$,于是得到代数式$\dfrac{A}{B}$。
(1)请用画树状图或列表的方法,写出代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果；
(2)求代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率。
(1)请用画树状图或列表的方法,写出代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果；
(2)求代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率。
答案
解：
(1) 列表如下：
| 第一次抽取A | 第二次抽取B | $\dfrac{A}{B}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $x^2+1$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$ |
| $x^2+1$ | $3$ | $\dfrac{x^2+1}{3}$ |
| $-x^2-2$ | $x^2+1$ | $\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$ |
| $-x^2-2$ | $3$ | $\dfrac{-x^2-2}{3}$ |
| $3$ | $x^2+1$ | $\dfrac{3}{x^2+1}$ |
| $3$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{3}{-x^2-2}$ |
因此代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果为：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$，共6种。
(2) 由(1)可知，所有6种结果是等可能出现的，其中属于分式的结果有4种：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$。
因此代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率为：
$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
(1) 列表如下：
| 第一次抽取A | 第二次抽取B | $\dfrac{A}{B}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $x^2+1$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$ |
| $x^2+1$ | $3$ | $\dfrac{x^2+1}{3}$ |
| $-x^2-2$ | $x^2+1$ | $\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$ |
| $-x^2-2$ | $3$ | $\dfrac{-x^2-2}{3}$ |
| $3$ | $x^2+1$ | $\dfrac{3}{x^2+1}$ |
| $3$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{3}{-x^2-2}$ |
因此代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果为：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$，共6种。
(2) 由(1)可知，所有6种结果是等可能出现的，其中属于分式的结果有4种：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$。
因此代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率为：
$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
解析
【分析】
(1) 本题属于不放回抽取卡片的概率问题，要得到$\dfrac{A}{B}$的所有可能结果，可通过列表法梳理：第一次抽取A有3种等可能情况，对应每种A的抽取结果，第二次抽取B有2种等可能情况，按顺序列举即可不重不漏得到所有$\dfrac{A}{B}$的结果。
(2) 求代数式为分式的概率，首先明确分式的判定标准：分母中含有字母的式子是分式，只需逐一判断所有结果的分母B是否含字母，统计符合分式的结果数，再根据概率公式“$P=\dfrac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$”计算即可。
【解析】
(1) 列表如下：
| 第一次抽取A | 第二次抽取B | $\dfrac{A}{B}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $x^2+1$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$ |
| $x^2+1$ | $3$ | $\dfrac{x^2+1}{3}$ |
| $-x^2-2$ | $x^2+1$ | $\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$ |
| $-x^2-2$ | $3$ | $\dfrac{-x^2-2}{3}$ |
| $3$ | $x^2+1$ | $\dfrac{3}{x^2+1}$ |
| $3$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{3}{-x^2-2}$ |
因此代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果为：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$，共6种。
(2) 由(1)可知，所有6种结果是等可能出现的，其中属于分式的结果需满足分母含字母，共有4种：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$。
因此代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率为：
$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$；
(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】
列表法列举事件结果，分式的定义，概率计算公式
【点评】
本题是代数概念与概率计算的综合基础题，重点考察不放回试验结果的列举方法，以及分式的判定规则，解题时需注意列表时避免出现重复抽取同一张卡片的错误，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于不放回抽取卡片的概率问题，要得到$\dfrac{A}{B}$的所有可能结果，可通过列表法梳理：第一次抽取A有3种等可能情况，对应每种A的抽取结果，第二次抽取B有2种等可能情况，按顺序列举即可不重不漏得到所有$\dfrac{A}{B}$的结果。
(2) 求代数式为分式的概率，首先明确分式的判定标准：分母中含有字母的式子是分式，只需逐一判断所有结果的分母B是否含字母，统计符合分式的结果数，再根据概率公式“$P=\dfrac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$”计算即可。
【解析】
(1) 列表如下：
| 第一次抽取A | 第二次抽取B | $\dfrac{A}{B}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $x^2+1$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$ |
| $x^2+1$ | $3$ | $\dfrac{x^2+1}{3}$ |
| $-x^2-2$ | $x^2+1$ | $\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$ |
| $-x^2-2$ | $3$ | $\dfrac{-x^2-2}{3}$ |
| $3$ | $x^2+1$ | $\dfrac{3}{x^2+1}$ |
| $3$ | $-x^2-2$ | $\dfrac{3}{-x^2-2}$ |
因此代数式$\dfrac{A}{B}$所有可能的结果为：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$，共6种。
(2) 由(1)可知，所有6种结果是等可能出现的，其中属于分式的结果需满足分母含字母，共有4种：$\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$。
因此代数式$\dfrac{A}{B}$恰好是分式的概率为：
$P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x^2+1}{-x^2-2}$，$\dfrac{x^2+1}{3}$，$\dfrac{-x^2-2}{x^2+1}$，$\dfrac{-x^2-2}{3}$，$\dfrac{3}{x^2+1}$，$\dfrac{3}{-x^2-2}$；
(2) $\dfrac{2}{3}$
【知识点】
列表法列举事件结果，分式的定义，概率计算公式
【点评】
本题是代数概念与概率计算的综合基础题，重点考察不放回试验结果的列举方法，以及分式的判定规则，解题时需注意列表时避免出现重复抽取同一张卡片的错误，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
21. (10分)某校有A,B两个餐厅,甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
(1)求3名学生在同一个餐厅用餐的概率；
(2)求3名学生中至少有1人在B餐厅用餐的概率。
(1)求3名学生在同一个餐厅用餐的概率；
(2)求3名学生中至少有1人在B餐厅用餐的概率。
答案
解：
根据题意，画树状图列举所有等可能的结果：
第一步：甲有A、B两种选择；
第二步：对应甲的每一种选择，乙都有A、B两种选择；
第三步：对应乙的每一种选择，丙都有A、B两种选择。
所有等可能的结果共8种，分别为：$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$。
(1) 3名学生在同一个餐厅用餐的结果共2种：$(A,A,A)$、$(B,B,B)$，
因此$P(3名学生在同一个餐厅用餐)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 3名学生全不在B餐厅用餐的结果只有1种：$(A,A,A)$，因此至少有1人在B餐厅用餐的结果共$8-1=7$种，
因此$P(3名学生中至少有1人在B餐厅用餐)=\frac{7}{8}$。
根据题意，画树状图列举所有等可能的结果：
第一步：甲有A、B两种选择；
第二步：对应甲的每一种选择，乙都有A、B两种选择；
第三步：对应乙的每一种选择，丙都有A、B两种选择。
所有等可能的结果共8种，分别为：$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$。
(1) 3名学生在同一个餐厅用餐的结果共2种：$(A,A,A)$、$(B,B,B)$，
因此$P(3名学生在同一个餐厅用餐)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 3名学生全不在B餐厅用餐的结果只有1种：$(A,A,A)$，因此至少有1人在B餐厅用餐的结果共$8-1=7$种，
因此$P(3名学生中至少有1人在B餐厅用餐)=\frac{7}{8}$。
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：①首先确定所有等可能的基本事件总数：甲、乙、丙每人都有A、B2种独立选择，可通过树状图或直接列举的方法列出所有等可能结果，总共有$2×2×2=8$种；②求解第一问时，只需找出“三人都选A”和“三人都选B”两类符合条件的结果，代入“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可；③求解第二问的“至少有1人在B餐厅”类问题时，可通过对立事件简化计算：“至少1人在B”的对立事件是“所有人都不在B（即都在A餐厅）”，先算对立事件的概率再用1作差，能避免漏数、错数。
【解析】
根据题意，列举所有等可能的结果共8种，分别为：$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$。
(1) 3名学生在同一个餐厅用餐的结果共2种：$(A,A,A)$、$(B,B,B)$，
因此$P(3名学生在同一个餐厅用餐)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 3名学生全不在B餐厅用餐的结果只有1种：$(A,A,A)$，因此至少有1人在B餐厅用餐的结果共$8-1=7$种，
因此$P(3名学生中至少有1人在B餐厅用餐)=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{7}{8}}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 古典概型概率计算 3. 对立事件概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题型，重点考查通过列举法确定所有等可能事件、结合概率公式求解的能力，第二问采用对立事件转化的方法可简化计算，降低漏数、错数的概率，是概率类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：①首先确定所有等可能的基本事件总数：甲、乙、丙每人都有A、B2种独立选择，可通过树状图或直接列举的方法列出所有等可能结果，总共有$2×2×2=8$种；②求解第一问时，只需找出“三人都选A”和“三人都选B”两类符合条件的结果，代入“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可；③求解第二问的“至少有1人在B餐厅”类问题时，可通过对立事件简化计算：“至少1人在B”的对立事件是“所有人都不在B（即都在A餐厅）”，先算对立事件的概率再用1作差，能避免漏数、错数。
【解析】
根据题意，列举所有等可能的结果共8种，分别为：$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$。
(1) 3名学生在同一个餐厅用餐的结果共2种：$(A,A,A)$、$(B,B,B)$，
因此$P(3名学生在同一个餐厅用餐)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 3名学生全不在B餐厅用餐的结果只有1种：$(A,A,A)$，因此至少有1人在B餐厅用餐的结果共$8-1=7$种，
因此$P(3名学生中至少有1人在B餐厅用餐)=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{7}{8}}$
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 古典概型概率计算 3. 对立事件概率计算
【点评】
本题是概率基础应用题型，重点考查通过列举法确定所有等可能事件、结合概率公式求解的能力，第二问采用对立事件转化的方法可简化计算，降低漏数、错数的概率，是概率类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
