17.(9分)有两把不同的锁和两把不同的钥匙,每一把钥匙都只能打开其中的一把锁,而打不开另一把锁。现在任意取出一把钥匙去打开任意一把锁。
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；
(2)求一次打开锁的概率。

解：
(1) 设两把不同的锁为A、B，能打开锁A的钥匙记为a，能打开锁B的钥匙记为b。
列表如下：
| 取出的钥匙 \ 选取的锁 | A | B |
| ---- | ---- | ---- |
| a | (a, A) | (a, B) |
| b | (b, A) | (b, B) |
由表可知，该事件所有等可能的结果共4种，分别为：(a,A)、(a,B)、(b,A)、(b,B)。
(2) 由(1)可知，总共有4种等可能的结果，其中一次可以打开锁的结果有2种：(a,A)、(b,B)。
因此一次打开锁的概率为：
$P(\mathrm{一次打开锁})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

【分析】
解决本题首先处理第一问，要清晰呈现所有取钥匙开锁的可能结果，我们可以先给锁和对应钥匙命名区分，再选用列表法：将取出的钥匙作为一个维度，选取的锁作为另一个维度，交叉组合就能不重不漏地列出所有等可能结果。第二问求一次打开锁的概率属于等可能事件概率计算，先找到“钥匙和锁匹配”的符合条件的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数/所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
(1) 设两把不同的锁为A、B，能打开锁A的钥匙记为a，能打开锁B的钥匙记为b。
列表如下：
| 取出的钥匙 \ 选取的锁 | A | B |
| ---- | ---- | ---- |
| a | (a, A) | (a, B) |
| b | (b, A) | (b, B) |
由表可知，该事件所有等可能的结果共4种，分别为：(a,A)、(a,B)、(b,A)、(b,B)。
(2) 由(1)可知，总共有4种等可能的结果，其中一次可以打开锁的结果有2种：(a,A)、(b,B)。
因此一次打开锁的概率为：
$P(\mathrm{一次打开锁})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 所有等可能结果为$(a,A)$、$(a,B)$、$(b,A)$、$(b,B)$，共4种；
(2) 一次打开锁的概率为$\boxed{\frac{1}{2}}$。
【知识点】
列表法列举等可能结果；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，再准确找出符合要求的结果数代入概率公式计算，有助于掌握用枚举法解决简单概率问题的思路。
【难度系数】
0.8

18. (9分)为进一步增强学生体质,某市从2020年起对中考体育测试进行改革,实行必测项目和选测项目相结合的方式。必测项目有三项,分别为立定跳远、坐位体前屈、跑步;选测项目在篮球(记为$X_1$)、排球(记为$X_2$)、足球(记为$X_3$)中任选一项。用画树状图或列表的方法求小颖和小华选择同种选测项目的概率。

解：
用列表法表示小颖和小华选择选测项目的所有可能结果如下：
| 小颖\小华 | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $X_1$ | $(X_1,X_1)$ | $(X_1,X_2)$ | $(X_1,X_3)$ |
| $X_2$ | $(X_2,X_1)$ | $(X_2,X_2)$ | $(X_2,X_3)$ |
| $X_3$ | $(X_3,X_1)$ | $(X_3,X_2)$ | $(X_3,X_3)$ |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小华选择同种选测项目的结果有3种。
因此所求概率为 $P(\mathrm{选择同种选测项目})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

【分析】
这是两步独立的等可能概率问题，小颖和小华各自从3个选测项目中任选1项，所有选择结果的可能性相等。解题时可先用列表法（或树状图法）不重不漏地列出两人选择的所有等可能结果，再从中筛选出两人选择同种选测项目的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算所求概率即可。
【解析】
用列表法表示小颖和小华选择选测项目的所有可能结果如下：
| 小颖\小华 | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $X_1$ | $(X_1,X_1)$ | $(X_1,X_2)$ | $(X_1,X_3)$ |
| $X_2$ | $(X_2,X_1)$ | $(X_2,X_2)$ | $(X_2,X_3)$ |
| $X_3$ | $(X_3,X_1)$ | $(X_3,X_2)$ | $(X_3,X_3)$ |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小华选择同种选测项目的结果有3种。
因此所求概率为 $P(\mathrm{选择同种选测项目})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式
【点评】
本题属于概率计算的基础常考题，重点考查对列举法求概率的掌握，解题关键是正确列举出所有等可能的结果，再准确找到符合条件的结果代入公式计算，难度不大。
【难度系数】
0.8

19. (9分)在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两名同学设计了如图5所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字)。游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数之和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数之和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,则重转一次,直到指针指向某一区域内为止)。

(1)请用列表的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率。

解：
(1) 列表表示两数和的所有可能结果如下：
| 甲\乙 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 11 | 12 | 13 | 14 |
可知两数之和共有12种等可能的结果。
(2) 由列表可得，12种等可能结果中：
两数之和小于12的结果共6种，
因此李燕获胜的概率为 $P(\mathrm{李燕获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$；
两数之和大于12的结果共3种，
因此刘凯获胜的概率为 $P(\mathrm{刘凯获胜})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。

【分析】
解题首先明确两个转盘的等可能取值：甲转盘有3、4、5共3种等可能结果，乙转盘有6、7、8、9共4种等可能结果。第一问用列表法时，以甲的数字为行、乙的数字为列，将对应两数之和填入表格，即可不重不漏列出所有两数和的等可能结果，总共有3×4=12种情况。第二问先从表格中分别筛选出“和小于12”“和大于12”的结果数，再根据概率公式“某事件概率=该事件包含的结果数÷所有等可能结果数”，分别计算两人获胜的概率即可。
【解析】
(1) 列表表示两数和的所有可能结果如下：
| 甲\乙 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 11 | 12 | 13 | 14 |
由表格可知，两数之和共有12种等可能的结果。
(2) 从上述12种等可能结果中统计：
两数之和小于12的结果共6种，因此李燕获胜的概率为 $P(\mathrm{李燕获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$；
两数之和大于12的结果共3种，因此刘凯获胜的概率为 $P(\mathrm{刘凯获胜})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 两数和的所有等可能结果见上述列表，共12种；
(2) 李燕获胜的概率为$\frac{1}{2}$，刘凯获胜的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率基础常规题，核心考查用列表法梳理等可能事件的能力，解题关键是列举结果做到不重不漏，再准确对应不同事件的结果数代入公式计算即可，是巩固概率基础的典型习题。
【难度系数】
0.8