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二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·上海)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率都相等,则抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为。
11.(2025·上海)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率都相等,则抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为。
答案
解：小明从小军手中随机抽取一张牌，共有4种等可能的结果，其中抽到的牌的数字与小明原有牌的数字相等的结果有2种，分别为抽到数字2、抽到数字4。
因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路清晰明确：第一步先确定所有等可能的总结果数，小军共有4张不同的牌，随机抽取1张，总共有4种等可能的结果；第二步找出满足“抽到的牌和小明原有牌数字相等”的结果数，对比两人持有的牌，相同的数字为2和4，共2种符合要求的结果；第三步根据概率计算公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：小明从小军手中随机抽取1张牌，所有等可能的结果共有4种（分别为抽到2、4、6、8），其中抽到的牌数字与小明原有牌数字相等的结果有2种，分别为抽到数字2、抽到数字4。
根据概率公式$P=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式应用
【点评】
本题属于基础类概率考题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只需准确枚举总结果和符合要求的结果即可快速求解，失分风险低。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路清晰明确：第一步先确定所有等可能的总结果数，小军共有4张不同的牌，随机抽取1张，总共有4种等可能的结果；第二步找出满足“抽到的牌和小明原有牌数字相等”的结果数，对比两人持有的牌，相同的数字为2和4，共2种符合要求的结果；第三步根据概率计算公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：小明从小军手中随机抽取1张牌，所有等可能的结果共有4种（分别为抽到2、4、6、8），其中抽到的牌数字与小明原有牌数字相等的结果有2种，分别为抽到数字2、抽到数字4。
根据概率公式$P=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率公式应用
【点评】
本题属于基础类概率考题，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只需准确枚举总结果和符合要求的结果即可快速求解，失分风险低。
【难度系数】
0.9
12. 有四张正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”，其他完全一样的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
解析
【分析】
这是一道有放回抽取的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两次抽取属于独立事件，第一次抽取的结果不影响第二次的抽取结果；我们可以通过计数法先算出所有等可能的总结果数，再找出“两张卡片汉字相同”的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
解：因为是有放回的两次抽取：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取有“清”“风”“朗”“月”共4种等可能结果，放回后第二次抽取仍有4种等可能结果，因此总共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 统计符合条件的结果数：两张卡片汉字相同的情况为（清，清）、（风，风）、（朗，朗）、（月，月），共4种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两张卡片汉字相同})=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 有放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题的核心是区分有放回和无放回抽取的差异，准确完成两种结果的计数即可，注意计算时最后要约分到最简分数。
【难度系数】
0.8
这是一道有放回抽取的概率计算问题，解题思路如下：首先明确两次抽取属于独立事件，第一次抽取的结果不影响第二次的抽取结果；我们可以通过计数法先算出所有等可能的总结果数，再找出“两张卡片汉字相同”的符合条件的结果数，最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
解：因为是有放回的两次抽取：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取有“清”“风”“朗”“月”共4种等可能结果，放回后第二次抽取仍有4种等可能结果，因此总共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 统计符合条件的结果数：两张卡片汉字相同的情况为（清，清）、（风，风）、（朗，朗）、（月，月），共4种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两张卡片汉字相同})=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 有放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题的核心是区分有放回和无放回抽取的差异，准确完成两种结果的计数即可，注意计算时最后要约分到最简分数。
【难度系数】
0.8
13. 有4根细木棒，长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是。
答案
解：
从4根细木棒中任选3根，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：
2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm。
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断，其中能恰好搭成三角形的结果有3种。
因此恰好能搭成一个三角形的概率为$\frac{3}{4}$。
从4根细木棒中任选3根，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：
2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm。
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断，其中能恰好搭成三角形的结果有3种。
因此恰好能搭成一个三角形的概率为$\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
这是一道结合三角形三边关系的概率计算题，解题可分三步思考：第一步，先列举出从4根木棒中任选3根的所有等可能的结果，确定总情况数；第二步，运用“三角形任意两边之和大于第三边”的判定规则，逐个判断每种情况是否能构成三角形，统计符合条件的情况数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
从4根细木棒中任选3根，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：
2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm。
根据三角形三边关系逐一判断：
①2+3＞4，2cm、3cm、4cm可构成三角形；
②2+3=5，不满足三边关系，2cm、3cm、5cm不可构成三角形；
③2+4＞5，2cm、4cm、5cm可构成三角形；
④3+4＞5，3cm、4cm、5cm可构成三角形。
能搭成三角形的结果共3种，因此恰好能搭成一个三角形的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查三角形三边判定规则和古典概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列出所有选取情况，避免因漏项或误判三边关系失分，是概率章节的常见考法。
【难度系数】
0.75
这是一道结合三角形三边关系的概率计算题，解题可分三步思考：第一步，先列举出从4根木棒中任选3根的所有等可能的结果，确定总情况数；第二步，运用“三角形任意两边之和大于第三边”的判定规则，逐个判断每种情况是否能构成三角形，统计符合条件的情况数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。
【解析】
从4根细木棒中任选3根，所有等可能出现的结果共有4种，分别为：
2cm，3cm，4cm；2cm，3cm，5cm；2cm，4cm，5cm；3cm，4cm，5cm。
根据三角形三边关系逐一判断：
①2+3＞4，2cm、3cm、4cm可构成三角形；
②2+3=5，不满足三边关系，2cm、3cm、5cm不可构成三角形；
③2+4＞5，2cm、4cm、5cm可构成三角形；
④3+4＞5，3cm、4cm、5cm可构成三角形。
能搭成三角形的结果共3种，因此恰好能搭成一个三角形的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查三角形三边判定规则和古典概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列出所有选取情况，避免因漏项或误判三边关系失分，是概率章节的常见考法。
【难度系数】
0.75
14.(2024·德州)衣橱里挂着3套不同颜色的服装,同一套服装的上衣与裤子的颜色相同,若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子,则它们取自同一套的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算基础题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的取法总数，再统计出上衣和裤子取自同一套的符合条件的结果数，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。我们可以通过列举法梳理所有情况，避免漏算或多算。
【解析】
设3套不同颜色的服装分别为套1、套2、套3，对应上衣分别为上1、上2、上3，对应裤子分别为裤1、裤2、裤3。
1. 计算总等可能结果数：任取1件上衣有3种选择，任取1条裤子有3种选择，共有$3×3=9$种等可能的结果，分别为：(上1,裤1)、(上1,裤2)、(上1,裤3)、(上2,裤1)、(上2,裤2)、(上2,裤3)、(上3,裤1)、(上3,裤2)、(上3,裤3)。
2. 统计符合条件的结果数：上衣和裤子取自同一套的结果共3种，分别为(上1,裤1)、(上2,裤2)、(上3,裤3)。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率章节的常考基础题型，重点考查对古典概型的理解和运用，只要能有序列举出所有等可能的情况，准确筛选出符合要求的结果，就能快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算基础题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的取法总数，再统计出上衣和裤子取自同一套的符合条件的结果数，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算即可。我们可以通过列举法梳理所有情况，避免漏算或多算。
【解析】
设3套不同颜色的服装分别为套1、套2、套3，对应上衣分别为上1、上2、上3，对应裤子分别为裤1、裤2、裤3。
1. 计算总等可能结果数：任取1件上衣有3种选择，任取1条裤子有3种选择，共有$3×3=9$种等可能的结果，分别为：(上1,裤1)、(上1,裤2)、(上1,裤3)、(上2,裤1)、(上2,裤2)、(上2,裤3)、(上3,裤1)、(上3,裤2)、(上3,裤3)。
2. 统计符合条件的结果数：上衣和裤子取自同一套的结果共3种，分别为(上1,裤1)、(上2,裤2)、(上3,裤3)。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率章节的常考基础题型，重点考查对古典概型的理解和运用，只要能有序列举出所有等可能的情况，准确筛选出符合要求的结果，就能快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.8
15.从-2,-1,1,2四个数中随机抽取两个数相乘,积大于-4且小于2的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路如下：第一步，先列举出从4个数中随机抽取两个数的所有等可能结果，统计总结果数；第二步，分别计算每组两个数的乘积，筛选出乘积满足大于-4且小于2的结果，统计符合条件的结果数；第三步，根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可求出所求概率。
【解析】
首先列举从-2,-1,1,2四个数中随机抽取两个数的所有等可能组合（不考虑抽取顺序，乘法交换律下积与顺序无关），共6种，分别计算乘积：
1. 抽取-2和-1：积为$(-2)×(-1)=2$，不满足小于2的要求，排除；
2. 抽取-2和1：积为$(-2)×1=-2$，满足$-4＜-2＜2$，符合要求；
3. 抽取-2和2：积为$(-2)×2=-4$，不满足大于-4的要求，排除；
4. 抽取-1和1：积为$(-1)×1=-1$，满足$-4＜-1＜2$，符合要求；
5. 抽取-1和2：积为$(-1)×2=-2$，满足$-4＜-2＜2$，符合要求；
6. 抽取1和2：积为$1×2=2$，不满足小于2的要求，排除。
综上，符合条件的结果共有3种，总等可能结果共6种，根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率、有理数的乘法、概率公式
【点评】
本题是概率计算的常规题型，综合了有理数运算和概率求解的知识点，解题核心是要完整无遗漏地列举所有等可能结果，同时准确判断符合范围要求的结果，避免因漏算、错算乘积或范围判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路如下：第一步，先列举出从4个数中随机抽取两个数的所有等可能结果，统计总结果数；第二步，分别计算每组两个数的乘积，筛选出乘积满足大于-4且小于2的结果，统计符合条件的结果数；第三步，根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数，即可求出所求概率。
【解析】
首先列举从-2,-1,1,2四个数中随机抽取两个数的所有等可能组合（不考虑抽取顺序，乘法交换律下积与顺序无关），共6种，分别计算乘积：
1. 抽取-2和-1：积为$(-2)×(-1)=2$，不满足小于2的要求，排除；
2. 抽取-2和1：积为$(-2)×1=-2$，满足$-4＜-2＜2$，符合要求；
3. 抽取-2和2：积为$(-2)×2=-4$，不满足大于-4的要求，排除；
4. 抽取-1和1：积为$(-1)×1=-1$，满足$-4＜-1＜2$，符合要求；
5. 抽取-1和2：积为$(-1)×2=-2$，满足$-4＜-2＜2$，符合要求；
6. 抽取1和2：积为$1×2=2$，不满足小于2的要求，排除。
综上，符合条件的结果共有3种，总等可能结果共6种，根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率、有理数的乘法、概率公式
【点评】
本题是概率计算的常规题型，综合了有理数运算和概率求解的知识点，解题核心是要完整无遗漏地列举所有等可能结果，同时准确判断符合范围要求的结果，避免因漏算、错算乘积或范围判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共75分)
16. (8分)(2025·江西)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动。每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废。
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是;
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两名同学参加开盲盒游戏,请用画树状图或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率。
16. (8分)(2025·江西)校园数学文化节期间,某班开展多轮开盲盒做游戏活动。每轮均有四个完全相同的盲盒,分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片,每位参与者只能抽取一个盲盒,盲盒打开即作废。
(1)若随机抽取一个盲盒并打开,恰好装有“数独”卡片的事件是;
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两名同学参加开盲盒游戏,请用画树状图或列表法,求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率。
答案
解：
(1) B
(2) 记四个盲盒对应的卡片分别为：幻方为A，数独为B，华容道为C，鲁班锁为D。
列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种。
因此两人恰好抽中目标盲盒的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(1) B
(2) 记四个盲盒对应的卡片分别为：幻方为A，数独为B，华容道为C，鲁班锁为D。
列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种。
因此两人恰好抽中目标盲盒的概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，可能抽到“数独”也可能抽不到，因此符合随机事件的特征。
(2) 本题属于不放回的两步等可能事件求概率问题，可选用列表法求解：先将四个卡片做简化标记，再有序列举两人所有抽取的等可能结果，注意盲盒打开即作废，不能出现两人抽取同一个盲盒的情况，接着找出两人恰好抽中华容道和鲁班锁的结果数，最后根据概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽中“数独”也可能抽不中，该事件属于随机事件，故选B。
(2) 记“幻方”为A，“数独”为B，“华容道”为C，“鲁班锁”为D，因盲盒打开即作废，属于不放回抽取，列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有(C,D)、(D,C)共2种。
因此所求概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) B
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
事件的分类；列表法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合盲盒游戏设题，情境新颖贴近生活，考查概率的基础应用，解题时需注意“盲盒打开即作废”的不放回条件，准确列举所有等可能结果即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。随机抽取1个盲盒，可能抽到“数独”也可能抽不到，因此符合随机事件的特征。
(2) 本题属于不放回的两步等可能事件求概率问题，可选用列表法求解：先将四个卡片做简化标记，再有序列举两人所有抽取的等可能结果，注意盲盒打开即作废，不能出现两人抽取同一个盲盒的情况，接着找出两人恰好抽中华容道和鲁班锁的结果数，最后根据概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，可能抽中“数独”也可能抽不中，该事件属于随机事件，故选B。
(2) 记“幻方”为A，“数独”为B，“华容道”为C，“鲁班锁”为D，因盲盒打开即作废，属于不放回抽取，列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有(C,D)、(D,C)共2种。
因此所求概率为 $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) B
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
事件的分类；列表法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合盲盒游戏设题，情境新颖贴近生活，考查概率的基础应用，解题时需注意“盲盒打开即作废”的不放回条件，准确列举所有等可能结果即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
