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5. 某超市推出促销活动吸引顾客:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,球上分别标有“0”“10”“20”“30”。顾客只要在超市一次性消费满200元,便可从箱子里同时摸出两个小球,并根据两球所标金额之和换取等值的购物券。陈叔叔消费了200元,则他所获得购物券的金额不低于30元的概率是 ()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道利用列举法求解概率的题目，解题思路如下：首先明确“同时摸出两个小球”属于无顺序的组合问题，所有摸球结果都是等可能的；第一步需要枚举所有两两摸球的组合，计算每组的金额之和；第二步筛选出金额之和不低于30元的组合；最后根据概率公式，用符合条件的组合数除以总组合数，即可得到所求概率。
【解析】
从4个小球中同时摸出2个，所有等可能的组合及对应金额和如下：
1. 摸出“0”和“10”，和为$0+10=10$元；
2. 摸出“0”和“20”，和为$0+20=20$元；
3. 摸出“0”和“30”，和为$0+30=30$元；
4. 摸出“10”和“20”，和为$10+20=30$元；
5. 摸出“10”和“30”，和为$10+30=40$元；
6. 摸出“20”和“30”，和为$20+30=50$元。
总共有6种等可能的结果，其中购物券金额不低于30元（即和≥30元）的结果有4种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题考察简单随机事件的概率计算，解题的关键是正确枚举所有等可能的结果，注意同时摸两个球无需考虑先后顺序，避免重复或遗漏计数，是概率章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道利用列举法求解概率的题目，解题思路如下：首先明确“同时摸出两个小球”属于无顺序的组合问题，所有摸球结果都是等可能的；第一步需要枚举所有两两摸球的组合，计算每组的金额之和；第二步筛选出金额之和不低于30元的组合；最后根据概率公式，用符合条件的组合数除以总组合数，即可得到所求概率。
【解析】
从4个小球中同时摸出2个，所有等可能的组合及对应金额和如下：
1. 摸出“0”和“10”，和为$0+10=10$元；
2. 摸出“0”和“20”，和为$0+20=20$元；
3. 摸出“0”和“30”，和为$0+30=30$元；
4. 摸出“10”和“20”，和为$10+20=30$元；
5. 摸出“10”和“30”，和为$10+30=40$元；
6. 摸出“20”和“30”，和为$20+30=50$元。
总共有6种等可能的结果，其中购物券金额不低于30元（即和≥30元）的结果有4种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率计算公式
【点评】
本题考察简单随机事件的概率计算，解题的关键是正确枚举所有等可能的结果，注意同时摸两个球无需考虑先后顺序，避免重复或遗漏计数，是概率章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6. (2024·武汉)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同。若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是 ()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，核心是求解“至少一辆车向右转”的概率。解题时可从两个方向思考：①直接法：通过列表或画树状图列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，再统计出至少有一辆车右转的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率；②间接法（更简便）：“至少一辆车右转”的对立事件是“两辆车都不右转”，先计算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可得到所求概率，能有效避免枚举时漏算、错算。
【解析】
方法一：列表法
将两辆车分别记为车1、车2，行驶方向记为直（直行）、左（左转）、右（右转），所有等可能的结果如下：
|车1\车2|直|左|右|
|---|---|---|---|
|直|(直,直)|(直,左)|(直,右)|
|左|(左,直)|(左,左)|(左,右)|
|右|(右,直)|(右,左)|(右,右)|
总共有9种等可能的结果，其中至少一辆车向右转的结果有(直,右)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共5种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
每辆车不向右转的概率为$\frac{2}{3}$（即直行或左转，共2种情况），两辆车行驶方向相互独立，因此“两辆车都不向右转”的概率为$\frac{2}{3} × \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
“至少一辆车向右转”的概率为$1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，对立事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，考查学生对概率求解方法的掌握，遇到“至少”“至多”类概率问题时，优先采用对立事件法可简化运算，降低计数错误的概率。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能事件的概率计算问题，核心是求解“至少一辆车向右转”的概率。解题时可从两个方向思考：①直接法：通过列表或画树状图列举出两辆车行驶方向的所有等可能结果，再统计出至少有一辆车右转的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率；②间接法（更简便）：“至少一辆车右转”的对立事件是“两辆车都不右转”，先计算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可得到所求概率，能有效避免枚举时漏算、错算。
【解析】
方法一：列表法
将两辆车分别记为车1、车2，行驶方向记为直（直行）、左（左转）、右（右转），所有等可能的结果如下：
|车1\车2|直|左|右|
|---|---|---|---|
|直|(直,直)|(直,左)|(直,右)|
|左|(左,直)|(左,左)|(左,右)|
|右|(右,直)|(右,左)|(右,右)|
总共有9种等可能的结果，其中至少一辆车向右转的结果有(直,右)、(左,右)、(右,直)、(右,左)、(右,右)，共5种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{5}{9}$。
方法二：对立事件法
每辆车不向右转的概率为$\frac{2}{3}$（即直行或左转，共2种情况），两辆车行驶方向相互独立，因此“两辆车都不向右转”的概率为$\frac{2}{3} × \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
“至少一辆车向右转”的概率为$1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，对立事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，考查学生对概率求解方法的掌握，遇到“至少”“至多”类概率问题时，优先采用对立事件法可简化运算，降低计数错误的概率。
【难度系数】
0.7
7. 如图2,两个转盘均被分成4等份,分别自由转动一次,当停止转动时,两个转盘的指针都指向2的概率为 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道两步随机事件的概率计算问题，可通过两种思路解题：① 先分别计算单个转盘指针指向2的概率，再利用独立事件同时发生的概率计算规则求解；② 用列举法统计所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算。首先明确两个转盘转动互不影响，且每个转盘4等份，指针指向每个数字的概率相等，按上述思路推导即可。
【解析】
方法一：独立事件概率乘法
两个转盘均被分成4等份，单个转盘指针指向2的概率为$\frac{1}{4}$。
两个转盘的转动是互不影响的独立事件，因此两个指针都指向2的概率为：
$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。
方法二：列举法
自由转动两个转盘，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中两个指针都指向2的结果只有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$可得：
$P(\mathrm{两个都指向2})=\frac{1}{16}$。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；独立事件概率；列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，核心考查两步随机事件的概率求解方法，只要掌握概率基本计算规则就能快速解题，注意计算时不要数错总结果数和符合条件的结果数即可。
【难度系数】
0.8
这是一道两步随机事件的概率计算问题，可通过两种思路解题：① 先分别计算单个转盘指针指向2的概率，再利用独立事件同时发生的概率计算规则求解；② 用列举法统计所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算。首先明确两个转盘转动互不影响，且每个转盘4等份，指针指向每个数字的概率相等，按上述思路推导即可。
【解析】
方法一：独立事件概率乘法
两个转盘均被分成4等份，单个转盘指针指向2的概率为$\frac{1}{4}$。
两个转盘的转动是互不影响的独立事件，因此两个指针都指向2的概率为：
$\frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。
方法二：列举法
自由转动两个转盘，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中两个指针都指向2的结果只有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$可得：
$P(\mathrm{两个都指向2})=\frac{1}{16}$。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；独立事件概率；列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，核心考查两步随机事件的概率求解方法，只要掌握概率基本计算规则就能快速解题，注意计算时不要数错总结果数和符合条件的结果数即可。
【难度系数】
0.8
8. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班。小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的概率是（）
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要计算小明和小红分在同一个班的概率，需先明确所有等可能的分班结果，再找到两人同班的结果数，代入概率公式求解即可。思考时可采用简化思路：先固定小明的班级，由于各班分配随机，小明分到任意班级都不影响最终概率，此时只需判断小红的分班选择中，和小明同班的情况占比即可；也可以通过列举所有两人的分班组合情况计算概率。
【解析】
解法1：设四个班级分别为1班、2班、3班、4班。
由于分班是随机的，不妨先固定小明的班级（各班情况完全对称，该假设不影响最终概率），假设小明被分到某一个班，此时小红分到四个班的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中只有1种结果是和小明同班。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得两人同班的概率为$\frac{1}{4}$。
解法2：用列举法计算：
小明的分班有4种等可能结果，对应每种小明的分班结果，小红的分班也有4种等可能结果，因此总共有$4×4=16$种等可能的分班组合。
其中两人分在同一个班的组合有(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，共4种，因此$P(\mathrm{两人同班})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，既可以通过对称思想简化计算过程，也可以用列举法枚举所有情况求解，核心是准确区分总等可能结果数和符合条件的结果数，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
要计算小明和小红分在同一个班的概率，需先明确所有等可能的分班结果，再找到两人同班的结果数，代入概率公式求解即可。思考时可采用简化思路：先固定小明的班级，由于各班分配随机，小明分到任意班级都不影响最终概率，此时只需判断小红的分班选择中，和小明同班的情况占比即可；也可以通过列举所有两人的分班组合情况计算概率。
【解析】
解法1：设四个班级分别为1班、2班、3班、4班。
由于分班是随机的，不妨先固定小明的班级（各班情况完全对称，该假设不影响最终概率），假设小明被分到某一个班，此时小红分到四个班的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中只有1种结果是和小明同班。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得两人同班的概率为$\frac{1}{4}$。
解法2：用列举法计算：
小明的分班有4种等可能结果，对应每种小明的分班结果，小红的分班也有4种等可能结果，因此总共有$4×4=16$种等可能的分班组合。
其中两人分在同一个班的组合有(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，共4种，因此$P(\mathrm{两人同班})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，既可以通过对称思想简化计算过程，也可以用列举法枚举所有情况求解，核心是准确区分总等可能结果数和符合条件的结果数，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
9. 如图3，“五一”期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口。小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从C或D出口离开的概率是（）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率求解问题，首先要明确所有等可能的情况总数，再找出符合要求的情况数，最后利用等可能事件的概率公式计算即可。解题时可先梳理选择入口和出口的所有可能：入口有2种选择，出口有3种选择，我们可以通过列举法列出所有等可能的结果，再筛选出“从A入口进入，从C或D出口离开”的结果，代入概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$求解。
【解析】
首先列出所有等可能的进出组合：
$(A,C)$、$(A,D)$、$(A,E)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(B,E)$，共6种等可能的结果。
其中满足“从A入口进入，从C或D出口离开”的结果有$(A,C)$、$(A,D)$，共2种。
根据等可能事件概率公式，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，考查两步试验的概率计算，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算即可，掌握列举法、列表法或树状图法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是两步随机事件的概率求解问题，首先要明确所有等可能的情况总数，再找出符合要求的情况数，最后利用等可能事件的概率公式计算即可。解题时可先梳理选择入口和出口的所有可能：入口有2种选择，出口有3种选择，我们可以通过列举法列出所有等可能的结果，再筛选出“从A入口进入，从C或D出口离开”的结果，代入概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$求解。
【解析】
首先列出所有等可能的进出组合：
$(A,C)$、$(A,D)$、$(A,E)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(B,E)$，共6种等可能的结果。
其中满足“从A入口进入，从C或D出口离开”的结果有$(A,C)$、$(A,D)$，共2种。
根据等可能事件概率公式，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，考查两步试验的概率计算，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式计算即可，掌握列举法、列表法或树状图法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图4,转盘被划分成4个相同的小扇形,并分别标上数字1,2,3,4。分别转动两次转盘,转盘停止后,指针所指向的数字作为直角坐标系中M点的坐标(第一次作横坐标,第二次作纵坐标),指针如果指在分界线上,认为指向左侧扇形里的数字,则点M落在直线$y=x$的下方的概率为 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{8}$
答案
B
解析
【分析】
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，先确定所有等可能的结果总数，两次转动转盘分别作为横、纵坐标，每次都有4种等可能结果，可算出总结果数；第二步，明确直线y=x下方点的坐标特征：直线y=x上的点横、纵坐标相等，其下方的点在相同横坐标下纵坐标更小，即满足横坐标＞纵坐标；第三步，统计出符合横坐标＞纵坐标的结果数，再根据概率公式计算概率即可。
【解析】
解：转动两次转盘，第一次取横坐标，有1、2、3、4共4种等可能结果，第二次取纵坐标，同样有4种等可能结果，因此点M的坐标总共有$4 × 4 = 16$种等可能的情况。
落在直线$y=x$下方的点满足横坐标大于纵坐标（$x＞y$），符合条件的坐标有：$(2,1)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(4,1)$、$(4,2)$、$(4,3)$，共6种。
根据概率公式，点M落在直线$y=x$下方的概率为：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
【答案】
B
【知识点】
概率的计算，一次函数图象性质，列表法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率结合的典型题型，解题核心是准确理解y=x下方点的坐标特点，正确列举所有等可能结果，再代入概率公式求解，考查了知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路分三步：第一步，先确定所有等可能的结果总数，两次转动转盘分别作为横、纵坐标，每次都有4种等可能结果，可算出总结果数；第二步，明确直线y=x下方点的坐标特征：直线y=x上的点横、纵坐标相等，其下方的点在相同横坐标下纵坐标更小，即满足横坐标＞纵坐标；第三步，统计出符合横坐标＞纵坐标的结果数，再根据概率公式计算概率即可。
【解析】
解：转动两次转盘，第一次取横坐标，有1、2、3、4共4种等可能结果，第二次取纵坐标，同样有4种等可能结果，因此点M的坐标总共有$4 × 4 = 16$种等可能的情况。
落在直线$y=x$下方的点满足横坐标大于纵坐标（$x＞y$），符合条件的坐标有：$(2,1)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(4,1)$、$(4,2)$、$(4,3)$，共6种。
根据概率公式，点M落在直线$y=x$下方的概率为：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
【答案】
B
【知识点】
概率的计算，一次函数图象性质，列表法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率结合的典型题型，解题核心是准确理解y=x下方点的坐标特点，正确列举所有等可能结果，再代入概率公式求解，考查了知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
