1. (2022·新疆中考变式)如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC上一点,BE=3,将线段BE绕点E顺时针旋转至线段EF,连接DF,将线段DF绕点D逆时针旋转90°得到线段DG,连接CG,则CG的最小值为.

1. 如图,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DM,连接MG,CM,作MH⊥CD于点H.由旋转,得BE=EF=3,DE=DM,∠GDF=∠EDM=90°,
∴∠EDF=∠GDM,EC=BC-BE=1.
∵DG=DF,DE=DM,
∴△FDE≌△GDM(SAS),
∴MG=EF=3.
∵∠EDC=∠DMH,∠DCE=∠DHM,DE=DM,
∴△DEC≌△MDH(AAS),
∴DH=EC=1,MH=CD=4,
∴CH=3,
∴CM=√(MH²+CH²)=√(16+9)=5.
∵CG≥CM-MG=5-3=2,
∴CG的最小值为2.

2.(2024·新疆中考变式)已知$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
(1)如图①,当点$D$在$BC$上时,连接$CE$.请探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$CE$.请再次探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.

2. (1) CE+CD=CA. 理由如下:
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD 和 △ACE 中, $\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.
(2) CA+CD=CE. 理由如下:
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
∵BC+CD=BD,
∴CA+CD=CE.

1.(新疆模拟)如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且$∠ MAN=45°$,把$△ ADN$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABE$.
(1)求证:$△ AEM ≌ △ ANM$.
(2)若$BM=6$,$DN=4$,求$MN$的长.

1.(1) 证明:
∵把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,
∴△ABE≌△ADN,
∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,
∴∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠MAE=90°-45°=45°,
∴∠MAE=∠MAN.在△AEM和△ANM中,$\begin{cases} AM=AM \\ ∠MAE=∠MAN \\ AE=AN \end{cases}$,
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2) 解:
∵BM=6,DN=4,由(1)知BE=DN=4,
∴ME=BM+BE=10.
∵△AEM≌△ANM,
∴MN=ME=10.

2.(伊犁州模拟)已知$△ ABC$和$△ ECD$都是等边三角形.
(1)如图①,若$B,C,D$三点在一条直线上,求证:$BE=AD$.
(2)保持$△ ABC$不动,将$△ ECD$绕点$C$顺时针旋转,使$∠ ACE=90°$(如图②),$BC$与$DE$有怎样的位置关系?请说明理由.

(1) 证明:
∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD.
(2) 解:BC垂直平分DE.理由:如图,延长BC交DE于点M.
∵∠ACB=60°,∠ACE=90°,
∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°.
∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°,
∴∠ECM=∠DCM.
∵△ECD是等边三角形,
∴CM垂直平分DE,即BC垂直平分DE.