9. 如图，将$△ ABC$沿$MN$折叠，使$MN // BC$，点$A$的对应点为$A'$. 若$∠ A' = 32°$，$∠ B = 112°$，则$∠ A'NC$的度数是（）

A.$114°$
B.$112°$
C.$110°$
D.$108°$

9. D

【分析】
解题可按三步推导：第一步利用折叠的性质，得到∠A与∠A'相等，先确定∠A的度数；第二步运用三角形内角和定理，计算出△ABC中∠C的度数；第三步结合平行线的性质得到∠ANM的度数，再根据折叠前后对应角相等得到∠A'NM与∠ANM相等，最后根据平角为180°，即可求出∠A'NC的度数。
【解析】
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得$∠ A=∠ A'=32°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-32°-112°=36°$
$\because MN// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
$∠ ANM=∠ C=36°$
再由折叠的性质，得$∠ A'NM=∠ ANM=36°$。
$\because$点A、N、C共线，$∠ ANC$为平角等于$180°$，
$\therefore ∠ A'NC=180°-∠ ANM-∠ A'NM=180°-36°-36°=108°$
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了折叠变换、平行线性质和三角形内角和的应用，解题的关键是明确折叠前后对应角相等，结合相关定理逐步推导角度即可求解。
【难度系数】
0.7

10. 在$△ ABC$中，若$∠ A=2∠ B=3∠ C$，则$△ ABC$是（）

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形

10. B

【分析】
要判断三角形的类型，需先求出三角形最大内角的度数，再根据角的分类判定。已知三个内角的倍数关系，我们可以利用三角形内角和为180°的定理，设参数表示出三个内角，列方程求解最大角的度数，进而判断三角形类型。首先将∠A设为未知数，根据给出的倍数关系用该未知数表示出∠B和∠C，再代入内角和公式计算，根据最大角的大小判断三角形类型即可。
【解析】
设∠A = x，
∵ ∠A = 2∠B = 3∠C，
∴ ∠B = $\frac{x}{2}$，∠C = $\frac{x}{3}$。
根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 180°$
通分计算得：$\frac{6x + 3x + 2x}{6} = 180°$
即 $\frac{11x}{6} = 180°$
解得 $x = \frac{1080°}{11} ≈ 98.18°$
最大角∠A≈98.18°，大于90°，属于钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题关键是通过设参数的方式用同一个未知数表示三个内角，结合内角和公式求解角度，进而判断三角形类型，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线$BE$，$CD$相交于点$F$.
(1)若$∠ ABC=42°$，$∠ A=60°$，求$∠ BFC$的度数；
(2)若$∠ BFC=125°$，则$∠ A=$.

11. 解:(1)在△ABC中，∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−60°−42°=78°.
∵BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠FBC=1/2∠ABC=21°,∠FCB=1/2∠ACB=39°. 在△BFC中,∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−21°−39°=120°. (2)70°

【分析】
（1）要求∠BFC的度数，需先求出△BFC中∠FBC和∠FCB的度数。首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠ABC的度数，先计算出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，可得∠FBC为∠ABC的一半、∠FCB为∠ACB的一半，算出两个角的度数后，再次利用三角形内角和定理即可求出∠BFC的度数。
（2）已知∠BFC求∠A，是第一问的逆向推导：先在△BFC中算出∠FBC与∠FCB的和，再根据角平分线的性质得到∠ABC+∠ACB是这个和的2倍，最后用三角形内角和180°减去∠ABC与∠ACB的和，就能得到∠A的度数，也可直接用“两内角平分线夹角与第三角的关系”快速计算。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180°-∠ A-∠ ABC = 180°-60°-42° = 78°$
∵BE平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×42°=21°$，$∠ FCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×78°=39°$
在△BFC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BFC = 180°-∠ FBC-∠ FCB = 180°-21°-39°=120°$
(2) 在△BFC中，$∠ FBC+∠ FCB = 180°-∠ BFC = 180°-125°=55°$
∵BE、CD分别是$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线
∴$∠ ABC=2∠ FBC$，$∠ ACB=2∠ FCB$
∴$∠ ABC+∠ ACB = 2(∠ FBC+∠ FCB)=2×55°=110°$
在△ABC中，$∠ A = 180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-110°=70°$
【答案】
(1) $∠ BFC=120°$；(2) $70°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的综合基础常考题，推导得出的“三角形两个内角的平分线相交所成的钝角等于$90°$加上第三个角的一半”的结论，可帮助快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.75

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,D为边BC上一点(点D不与点B,C重合),E为边AC上一点,$∠ ADE=∠ AED$,$∠ BAC=44°$.
(1)则$∠ C$的度数是________;
(2)若$∠ ADE=75°$,求$∠ CDE$的度数.

03 素养练 学科素养培育

12. 解：(1)68° (2)
∵∠ADE=∠AED=75°,
∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=30°.
∵∠ADC=180°−∠DAE−∠C=82°,
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=82°−75°=7°.

【分析】
(1) 已知△ABC中∠B=∠C，属于等腰三角形，结合三角形内角和为180°，已知∠BAC的度数，直接代入计算即可求出∠C的度数。
(2) 首先根据等腰三角形△ADE中∠ADE=∠AED，利用三角形内角和求出∠DAE的度数；再在△ADC中，利用三角形内角和求出∠ADC的度数，最后根据∠CDE=∠ADC-∠ADE的和差关系计算即可得到结果。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$
已知$∠ B = ∠ C$，$∠ BAC=44°$，代入得：
$2∠ C = 180° - 44° = 136°$
解得$∠ C = 68°$。
(2) 已知$∠ ADE = ∠ AED = 75°$，在△ADE中，根据三角形内角和定理：
$∠ DAE = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 180° - 75° -75° = 30°$
在△ADC中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ ADC = 180° - ∠ DAE - ∠ C = 180° - 30° - 68° = 82°$
根据角的和差关系可得：
$∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADE = 82° -75° =7°$
【答案】
(1)$68°$；(2)$7°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形性质；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是熟练运用三角形内角和定理与等腰三角形的性质，准确梳理不同三角形内角之间的关系，理清所求角与已知角的和差逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

13.【新中考·新定义型阅读理解题】我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫作“8字”图形：
(1)如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，试说明$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$的理由；
(2)如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”图形有多少个？
(3)如图2，$∠ ABC$和$∠ ADC$的平分线相交于点E，利用(1)中的结论试说明$∠ E = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C)$的理由。

13. 解:(1)
∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,又∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D;(2)图2中有:ABCD,ABED,EBCD共计3个“8”字图形.(3)
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC,∠CDE=∠ADE=1/2∠ADC.
∵∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,
∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E+∠ADE+∠CBE.
∴∠A+∠C=2∠E. 即∠E=1/2(∠A+∠C).

【分析】
(1) 要证明∠A+∠B=∠C+∠D，可观察到∠A、∠B在△AOB中，∠C、∠D在△COD中，两个三角形的内角和均为180°，且存在对顶角∠AOB=∠COD，将两个内角和等式相减消去相等的对顶角，即可推导出结论。
(2) 按照“8字”图形的定义，即由有一组对顶角的两个三角形组成，按顺序查找所有对顶角对应的组合，避免重复或遗漏。
(3) 首先根据角平分线定义得到两组相等的角，再找到包含∠A、∠E和∠C、∠E的两个“8字”图形，分别应用(1)的结论得到两个等式，将两个等式相加，消去相等的角后整理即可得到∠E与∠A、∠C的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
又
∵∠AOB与∠COD是对顶角，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D。
(2) 解：根据“8字”图形的定义逐一排查，符合条件的图形有ABCD、ABED、EBCD，共3个。
(3) 证明：
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDE=∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
在“8字”ABED中，由(1)的结论可得：∠A+∠ABE=∠E+∠ADE ①，
在“8字”EBCD中，由(1)的结论可得：∠C+∠CDE=∠E+∠CBE ②，
①+②得：∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E+∠ADE+∠CBE，
∵∠ABE=∠CBE，∠ADE=∠CDE，
∴∠A+∠C=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$(∠A+∠C)。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A+∠B=∠C+∠D}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{3}$个；
(3) $\boldsymbol{∠E=\frac{1}{2}(∠A+∠C)}$，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题结合新定义考查三角形相关性质的应用，解题核心是准确理解“8字”图形的定义，能够灵活迁移前一问的结论解决后续问题，数图形时要按规律查找避免遗漏，第三问需掌握等式相加消去等量的推导技巧。
【难度系数】
0.7