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1.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角
互余
。答案
1. 互余
解析
【分析】
解题时可先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180°。结合直角三角形的定义可知，直角三角形存在一个度数为90°的直角，据此可计算出剩余两个锐角的度数和，再根据互余的定义即可得出结论。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，直角三角形中有1个内角是直角，度数为90°。
设直角三角形的两个锐角分别为α、β，直角为γ=90°，根据三角形内角和公式可得：
α+β+γ=180°
将γ=90°代入上式，得：
α+β=180°-90°=90°
根据互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；互余的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理、定义的识记和简单推导，掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时可先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180°。结合直角三角形的定义可知，直角三角形存在一个度数为90°的直角，据此可计算出剩余两个锐角的度数和，再根据互余的定义即可得出结论。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，直角三角形中有1个内角是直角，度数为90°。
设直角三角形的两个锐角分别为α、β，直角为γ=90°，根据三角形内角和公式可得：
α+β+γ=180°
将γ=90°代入上式，得：
α+β=180°-90°=90°
根据互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；互余的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定理、定义的识记和简单推导，掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.直角三角形的判定:有两个角
互余
的三角形是直角三角形。答案
2. 互余
解析
【分析】
拿到这道题，我们可以结合已学的三角形内角和定理、互余的定义以及直角三角形的定义来推导填空。首先明确：直角三角形的特征是有一个内角为90°，而三角形三个内角的和固定为180°。如果一个三角形有两个角的和为90°，也就是这两个角互余，那么剩下的第三个角就等于180°减去这两个角的和，也就是90°，恰好是直角，对应的三角形就是直角三角形，因此空缺处应填“互余”。
【解析】
1. 根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°；
2. 若三角形的两个角互余，由互余的定义可知，这两个角的度数之和为90°；
3. 可计算出第三个角的度数为：$180° - 90° = 90°$，即第三个角是直角；
4. 根据直角三角形的定义，有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此该判定定理的空缺处应填“互余”。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、互余的定义
【点评】
本题是对基础几何概念的考查，核心是对相关定义、定理的理解与记忆，属于基础类题目，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，我们可以结合已学的三角形内角和定理、互余的定义以及直角三角形的定义来推导填空。首先明确：直角三角形的特征是有一个内角为90°，而三角形三个内角的和固定为180°。如果一个三角形有两个角的和为90°，也就是这两个角互余，那么剩下的第三个角就等于180°减去这两个角的和，也就是90°，恰好是直角，对应的三角形就是直角三角形，因此空缺处应填“互余”。
【解析】
1. 根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°；
2. 若三角形的两个角互余，由互余的定义可知，这两个角的度数之和为90°；
3. 可计算出第三个角的度数为：$180° - 90° = 90°$，即第三个角是直角；
4. 根据直角三角形的定义，有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此该判定定理的空缺处应填“互余”。
【答案】
互余
【知识点】
直角三角形的判定、三角形内角和定理、互余的定义
【点评】
本题是对基础几何概念的考查，核心是对相关定义、定理的理解与记忆，属于基础类题目，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.(1)如图,在△ABC中,若∠C=90°,则可得
符号语言表示为:∵∠C=90°,
∴
(2)【T1(1)变式】在Rt△ABC中,∠C=90°,
若∠A=4∠B,则∠A=
∠A
+∠B
=90°.符号语言表示为:∵∠C=90°,
∴
∠A
+∠B
=90°.(2)【T1(1)变式】在Rt△ABC中,∠C=90°,
若∠A=4∠B,则∠A=
72°
.答案
1.(1) ∠A ∠B ∠A ∠B (2) 72°
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，已知△ABC中∠C=90°，则剩余两个锐角的和为180°减去90°，也就是90°，对应直角三角形两锐角互余的性质，直接填入对应的角即可。
(2) 解题思路：先根据直角三角形的性质得到∠A+∠B=90°，再结合已知的∠A=4∠B的数量关系，代入式子求出∠B的度数，进一步计算得到∠A的度数。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=90°，因此∠A+∠B=180°-90°=90°，所以依次填入∠A、∠B、∠A、∠B。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
∵$∠ A=4∠ B$，将其代入上式得：
$4∠ B + ∠ B = 90°$
即$5∠ B=90°$，解得$∠ B=18°$
因此$∠ A=4×18°=72°$
【答案】
(1) $∠ A$；$∠ B$；$∠ A$；$∠ B$
(2) $72°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基本性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两个锐角和为90°的性质，结合给出的角的数量关系即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
(1) 解题思路：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，已知△ABC中∠C=90°，则剩余两个锐角的和为180°减去90°，也就是90°，对应直角三角形两锐角互余的性质，直接填入对应的角即可。
(2) 解题思路：先根据直角三角形的性质得到∠A+∠B=90°，再结合已知的∠A=4∠B的数量关系，代入式子求出∠B的度数，进一步计算得到∠A的度数。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=90°，因此∠A+∠B=180°-90°=90°，所以依次填入∠A、∠B、∠A、∠B。
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，由直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
∵$∠ A=4∠ B$，将其代入上式得：
$4∠ B + ∠ B = 90°$
即$5∠ B=90°$，解得$∠ B=18°$
因此$∠ A=4×18°=72°$
【答案】
(1) $∠ A$；$∠ B$；$∠ A$；$∠ B$
(2) $72°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基本性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两个锐角和为90°的性质，结合给出的角的数量关系即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2.如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上,则$∠ 1+∠ 2=$ (
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
C
)A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确两个已知条件：一是直尺的对边互相平行，二是三角板的直角为90°。我们可以通过作辅助线（过直角顶点作直尺边的平行线），利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，将∠1和∠2分别转化为三角板直角的两个组成部分，由此就能直接推出∠1+∠2等于三角板直角的度数。
【解析】
过三角板的直角顶点作直尺任意一边的平行线，
∵直尺的两组对边互相平行，
∴所作平行线与直尺的两条边都平行，
根据两直线平行，内错角相等可得：∠1与直角上方的小角相等，∠2与直角下方的小角相等，
又
∵这两个小角的和就是三角板的直角，即90°，
∴∠1+∠2=90°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角的等量代换
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查几何基础知识，解题的关键是合理利用平行线的性质进行角的转化，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个已知条件：一是直尺的对边互相平行，二是三角板的直角为90°。我们可以通过作辅助线（过直角顶点作直尺边的平行线），利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，将∠1和∠2分别转化为三角板直角的两个组成部分，由此就能直接推出∠1+∠2等于三角板直角的度数。
【解析】
过三角板的直角顶点作直尺任意一边的平行线，
∵直尺的两组对边互相平行，
∴所作平行线与直尺的两条边都平行，
根据两直线平行，内错角相等可得：∠1与直角上方的小角相等，∠2与直角下方的小角相等，
又
∵这两个小角的和就是三角板的直角，即90°，
∴∠1+∠2=90°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角的等量代换
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查几何基础知识，解题的关键是合理利用平行线的性质进行角的转化，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
3.【教材P14例3变式】如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AE$平分$∠ BAC$，$BD⊥ AE$交$AE$的延长线于点$D$。若$∠ 1=24°$，则$∠ EAB=$（
A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
C
）A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知两个直角∠C、∠D，结合对顶角相等的性质，可推出∠CAE与∠1相等；再根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAB=∠CAE，代入角度即可求解。
【解析】
解：在△ACE和△BDE中，
∵∠C=∠D=90°，∠AEC=∠BED（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠CAE=180°-∠C-∠AEC，∠1=180°-∠D-∠BED，
∴∠CAE=∠1=24°。
又
∵AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，
∴∠EAB=∠CAE=24°。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用对顶角和直角三角形的角度关系找到∠CAE与∠1的等量关系，再结合角平分线的性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知两个直角∠C、∠D，结合对顶角相等的性质，可推出∠CAE与∠1相等；再根据AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAB=∠CAE，代入角度即可求解。
【解析】
解：在△ACE和△BDE中，
∵∠C=∠D=90°，∠AEC=∠BED（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠CAE=180°-∠C-∠AEC，∠1=180°-∠D-∠BED，
∴∠CAE=∠1=24°。
又
∵AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，
∴∠EAB=∠CAE=24°。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用对顶角和直角三角形的角度关系找到∠CAE与∠1的等量关系，再结合角平分线的性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4.【教材P17习题T10变式】如图，$AB // CD$，AE平分$∠ BAC$，已知$∠ E=90°$。
求证：CE平分$∠ ACD$。
求证：CE平分$∠ ACD$。
答案
4. 证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
解析
【分析】
要证明CE平分∠ACD，本质是要证明∠3=∠4。首先从已知条件入手：①由AB//CD可联想到平行线的同旁内角互补性质，得到∠BAC与∠ACD的和为180°；②由∠E=90°，可知△ACE是直角三角形，两锐角互余，即∠2+∠3=90°，进而可推导出∠1+∠4=90°；③再结合AE平分∠BAC的条件得到∠1=∠2，最后利用等角的余角相等即可推出∠3=∠4，完成证明。
【解析】
证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=180°-(∠2+∠3)=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
【答案】
证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，核心是通过角的等量代换推导角相等，解题时要熟练串联平行线、直角三角形、角平分线的相关性质，理清各角之间的数量关系即可快速得证，这类题型是几何证明的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明CE平分∠ACD，本质是要证明∠3=∠4。首先从已知条件入手：①由AB//CD可联想到平行线的同旁内角互补性质，得到∠BAC与∠ACD的和为180°；②由∠E=90°，可知△ACE是直角三角形，两锐角互余，即∠2+∠3=90°，进而可推导出∠1+∠4=90°；③再结合AE平分∠BAC的条件得到∠1=∠2，最后利用等角的余角相等即可推出∠3=∠4，完成证明。
【解析】
证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=180°-(∠2+∠3)=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
【答案】
证明:
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°.
∵∠E=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠4=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠ACD.
【知识点】
平行线的性质，角平分线的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合证明题，核心是通过角的等量代换推导角相等，解题时要熟练串联平行线、直角三角形、角平分线的相关性质，理清各角之间的数量关系即可快速得证，这类题型是几何证明的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
三角形,则此时$∠ A$所有可能的度数为
【点拨】由于直角顶点不确定,故要分类讨论:即
①点A是直角顶点;②点C是直角顶点.
60°或90°
.【点拨】由于直角顶点不确定,故要分类讨论:即
①点A是直角顶点;②点C是直角顶点.
答案
5. 60°或90°
解析
【分析】
本题未明确直角三角形的直角顶点，需采用分类讨论思想解题：首先根据提示的两种直角顶点的情况分别分析，再结合三角形内角和为180°的性质计算对应∠A的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：已知△ABC为直角三角形，直角顶点不确定，分两种情况讨论：
①当点A是直角顶点时，∠A=90°；
②当点C是直角顶点时，∠C=90°，结合三角形内角和为180°，可得∠A=180°-90°-30°=60°。
综上，∠A的可能度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查直角三角形的角度计算，解题的关键是明确直角顶点的不确定性，避免因忽略分类讨论出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
本题未明确直角三角形的直角顶点，需采用分类讨论思想解题：首先根据提示的两种直角顶点的情况分别分析，再结合三角形内角和为180°的性质计算对应∠A的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：已知△ABC为直角三角形，直角顶点不确定，分两种情况讨论：
①当点A是直角顶点时，∠A=90°；
②当点C是直角顶点时，∠C=90°，结合三角形内角和为180°，可得∠A=180°-90°-30°=60°。
综上，∠A的可能度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查直角三角形的角度计算，解题的关键是明确直角顶点的不确定性，避免因忽略分类讨论出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
6.（1）在$△ ABC$中，$∠ B = 54°$，$∠ C = 36°$，则$△ ABC$的形状是 （）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
（2）【T6(1)变式】在$△ ABC$中，若$∠ A = 60°$，$∠ B = \dfrac{1}{2}∠ A$，则$△ ABC$是________三角形。
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
（2）【T6(1)变式】在$△ ABC$中，若$∠ A = 60°$，$∠ B = \dfrac{1}{2}∠ A$，则$△ ABC$是________三角形。
答案
6.(1) B (2) 直角
解析
【分析】
这两道题均考查三角形按角分类的判断，解题核心是利用三角形内角和为180°求出未知内角，再根据最大内角的类型确定三角形形状：最大内角为锐角则是锐角三角形，为直角则是直角三角形，为钝角则是钝角三角形。
第（1）题已知两个内角，直接用内角和减去两个已知角即可得到第三个角的度数，判断是否为特殊角；第（2）题先根据角度数量关系求出∠B的度数，再用内角和求∠C的度数，最后判断形状。
【解析】
（1）根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 54° - 36° = 90°$
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，故选B。
（2）先计算$∠ B$的度数：
$∠ B = \dfrac{1}{2}∠ A = \dfrac{1}{2}×60° = 30°$
再根据三角形内角和定理计算$∠ C$：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 30° = 90°$
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
（1）B；（2）直角
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.三角形按角分类
【点评】
这两道题是三角形分类的基础题型，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，通过计算得到最大内角的类型即可判断三角形的形状，是对基础概念和公式的直接应用。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查三角形按角分类的判断，解题核心是利用三角形内角和为180°求出未知内角，再根据最大内角的类型确定三角形形状：最大内角为锐角则是锐角三角形，为直角则是直角三角形，为钝角则是钝角三角形。
第（1）题已知两个内角，直接用内角和减去两个已知角即可得到第三个角的度数，判断是否为特殊角；第（2）题先根据角度数量关系求出∠B的度数，再用内角和求∠C的度数，最后判断形状。
【解析】
（1）根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 54° - 36° = 90°$
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，故选B。
（2）先计算$∠ B$的度数：
$∠ B = \dfrac{1}{2}∠ A = \dfrac{1}{2}×60° = 30°$
再根据三角形内角和定理计算$∠ C$：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 30° = 90°$
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
（1）B；（2）直角
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.三角形按角分类
【点评】
这两道题是三角形分类的基础题型，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，通过计算得到最大内角的类型即可判断三角形的形状，是对基础概念和公式的直接应用。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，BD平分$∠ ABC$，且$∠ 1=∠ 2$。求证：$△ ABD$是直角三角形。
答案
7. 证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=90°.即△ABD是直角三角形.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=90°.即△ABD是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△ABD是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°即可。首先由已知∠BAC=90°，可得∠BAD+∠1=90°；再结合BD平分∠ABC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠2，又已知∠1=∠2，通过等量代换可推出∠ABD=∠1，代入上述角度和关系即可得到∠BAD+∠ABD=90°，最后根据三角形内角和为180°，可计算出∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠ABD=∠1,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=180°-(∠BAD+∠ABD)=90°,
即△ABD是直角三角形.
【答案】
证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=90°.即△ABD是直角三角形.
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用已知条件完成角度的等量转换，考察了基础的逻辑推理能力，掌握基本的几何定义和定理即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°即可。首先由已知∠BAC=90°，可得∠BAD+∠1=90°；再结合BD平分∠ABC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠2，又已知∠1=∠2，通过等量代换可推出∠ABD=∠1，代入上述角度和关系即可得到∠BAD+∠ABD=90°，最后根据三角形内角和为180°，可计算出∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠ABD=∠1,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=180°-(∠BAD+∠ABD)=90°,
即△ABD是直角三角形.
【答案】
证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠1=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ADB=90°.即△ABD是直角三角形.
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用已知条件完成角度的等量转换，考察了基础的逻辑推理能力，掌握基本的几何定义和定理即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
8.【教材P14“思考”变式】若四个三角形分别满足以下条件：①$∠ A + ∠ B = ∠ C$；②$∠ A - ∠ B = ∠ C$；③$∠ A = ∠ B = 2∠ C$；④$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$，则其中直角三角形的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. C
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的角。我们已知三角形内角和为180°，因此可以把每个条件给出的角的数量关系代入内角和公式，求出最大角的度数，若最大角为90°则为直角三角形，逐个分析4个条件即可得出结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析如下：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C = 90°$，是直角三角形；
② 已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，变形得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A = 90°$，是直角三角形；
③ 已知$∠ A = ∠ B = 2∠ C$，代入内角和公式得：$2∠ C + 2∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C = 36°$，则$∠ A = ∠ B = 72°$，三个角均为锐角，不是直角三角形；
④ 已知$∠ A:∠ B:∠ C = 1:2:3$，设$∠ A = x$，$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$，代入内角和公式得：$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x = 30°$，则$∠ C = 3×30° = 90°$，是直角三角形。
综上，直角三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°，结合给出的角的关系列等式求解即可，注意不要遗漏任意一个条件的验证。
【难度系数】
0.7
要判断三角形是否为直角三角形，核心是判断三角形中是否存在90°的角。我们已知三角形内角和为180°，因此可以把每个条件给出的角的数量关系代入内角和公式，求出最大角的度数，若最大角为90°则为直角三角形，逐个分析4个条件即可得出结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形中$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析如下：
① 已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C = 90°$，是直角三角形；
② 已知$∠ A - ∠ B = ∠ C$，变形得$∠ A = ∠ B + ∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A = 90°$，是直角三角形；
③ 已知$∠ A = ∠ B = 2∠ C$，代入内角和公式得：$2∠ C + 2∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C = 36°$，则$∠ A = ∠ B = 72°$，三个角均为锐角，不是直角三角形；
④ 已知$∠ A:∠ B:∠ C = 1:2:3$，设$∠ A = x$，$∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$，代入内角和公式得：$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x = 30°$，则$∠ C = 3×30° = 90°$，是直角三角形。
综上，直角三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为180°，结合给出的角的关系列等式求解即可，注意不要遗漏任意一个条件的验证。
【难度系数】
0.7
