登录
9. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将三角形纸片ABC沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°,则∠EDC=
69°
. 答案
9. 69°
解析
【分析】
解决这道题首先要明确折叠问题的核心性质：折叠前后对应角相等、对应边相等。第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；第二步根据折叠性质得到∠CED与∠B相等，∠DCE等于∠ACB的一半；第三步在△CDE中利用三角形内角和为180°，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B=90°-∠A=90°-24°=66°
由折叠的性质可知：
∠CED=∠B=66°，∠DCE=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB
∵∠ACB=90°
∴∠DCE=45°
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EDC=180°-∠DCE-∠CED=180°-45°-66°=69°
【答案】
69°
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，结合三角形内角和、直角三角形的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确折叠问题的核心性质：折叠前后对应角相等、对应边相等。第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数；第二步根据折叠性质得到∠CED与∠B相等，∠DCE等于∠ACB的一半；第三步在△CDE中利用三角形内角和为180°，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B=90°-∠A=90°-24°=66°
由折叠的性质可知：
∠CED=∠B=66°，∠DCE=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB
∵∠ACB=90°
∴∠DCE=45°
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠EDC=180°-∠DCE-∠CED=180°-45°-66°=69°
【答案】
69°
【知识点】
折叠的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，结合三角形内角和、直角三角形的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
10.【教材P14例3改编】一材多题
如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由；
(2)如图2,如果∠ABC是钝角,其余条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由；
(2)如图2,如果∠ABC是钝角,其余条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
答案
10. 解:(1)∠1=∠2.理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD和△BCE都是直角三角形.
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°.
∴∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠D=∠E=90°.
∴∠2+∠ABD=90°,∠1+∠CBE=90°.又
∵∠ABD=∠CBE,
∴∠1=∠2.
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD和△BCE都是直角三角形.
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°.
∴∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠D=∠E=90°.
∴∠2+∠ABD=90°,∠1+∠CBE=90°.又
∵∠ABD=∠CBE,
∴∠1=∠2.
解析
【分析】
(1)判断∠1和∠2的关系时，先结合已知的两个垂直条件，可得△ABD和△BCE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠1、∠2都与∠B互余，再依据同角的余角相等就能得到两角的关系。
(2)当∠ABC为钝角时，依旧保留AD⊥BC、CE⊥AB的垂直条件，可得到∠2与∠ABD互余、∠1与∠CBE互余，再结合∠ABD和∠CBE是对顶角、二者相等的隐含条件，依据等角的余角相等即可验证原结论是否成立。
【解析】
(1)∠1=∠2，理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形，
∴∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2。
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°，
又
∵∠ABD=∠CBE（对顶角相等），
∴∠1=∠2。
【答案】
(1)∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立，∠1=∠2。
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查垂直、余角相关性质的应用，需要结合图形准确找到互余的角，无论对应三角形是锐角还是钝角类型，同角或等角的余角相等的规律都适用，解题时要注意挖掘图形中隐含的等角条件。
【难度系数】
0.8
(1)判断∠1和∠2的关系时，先结合已知的两个垂直条件，可得△ABD和△BCE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠1、∠2都与∠B互余，再依据同角的余角相等就能得到两角的关系。
(2)当∠ABC为钝角时，依旧保留AD⊥BC、CE⊥AB的垂直条件，可得到∠2与∠ABD互余、∠1与∠CBE互余，再结合∠ABD和∠CBE是对顶角、二者相等的隐含条件，依据等角的余角相等即可验证原结论是否成立。
【解析】
(1)∠1=∠2，理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形，
∴∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2。
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°，
又
∵∠ABD=∠CBE（对顶角相等），
∴∠1=∠2。
【答案】
(1)∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立，∠1=∠2。
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查垂直、余角相关性质的应用，需要结合图形准确找到互余的角，无论对应三角形是锐角还是钝角类型，同角或等角的余角相等的规律都适用，解题时要注意挖掘图形中隐含的等角条件。
【难度系数】
0.8
11.【教材P16习题T4变式】如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=70°，求∠BAC和∠DAE的度数.
03 素养练 学科素养培育
03 素养练 学科素养培育
答案
11. 解:
∵∠B=36°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.
∵AE,AD分别是△ABC的高和角平分线,
∴∠CAD=∠BAD=37°.
∵在Rt△AEC中,∠EAC=90°-∠C=20°.
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=37°-20°=17°.答:∠BAC是74°,∠DAE=17°.
∵∠B=36°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.
∵AE,AD分别是△ABC的高和角平分线,
∴∠CAD=∠BAD=37°.
∵在Rt△AEC中,∠EAC=90°-∠C=20°.
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=37°-20°=17°.答:∠BAC是74°,∠DAE=17°.
解析
【分析】
求解本题首先明确目标：先算∠BAC，再算∠DAE。①求∠BAC：利用三角形内角和为180°，已知两个内角的度数，直接做差即可算出。②求∠DAE：首先根据AD是角平分线，可得到∠CAD是∠BAC的一半，算出∠CAD的度数；再根据AE是高，可知△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠EAC的度数；最后观察图形可得∠DAE是∠CAD和∠EAC的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理
∵∠B=36°，∠C=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-70°=74°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×74°=37°
∵AE是△ABC的高
∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=37°-20°=17°
【答案】
∠BAC=74°，∠DAE=17°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是梳理清楚角平分线、三角形高对应的角的数量关系，结合图形判断所求角与已求角的和差关系即可求解，掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
求解本题首先明确目标：先算∠BAC，再算∠DAE。①求∠BAC：利用三角形内角和为180°，已知两个内角的度数，直接做差即可算出。②求∠DAE：首先根据AD是角平分线，可得到∠CAD是∠BAC的一半，算出∠CAD的度数；再根据AE是高，可知△AEC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠EAC的度数；最后观察图形可得∠DAE是∠CAD和∠EAC的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理
∵∠B=36°，∠C=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-70°=74°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×74°=37°
∵AE是△ABC的高
∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°
∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=37°-20°=17°
【答案】
∠BAC=74°，∠DAE=17°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是梳理清楚角平分线、三角形高对应的角的数量关系，结合图形判断所求角与已求角的和差关系即可求解，掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
12. 如图1，$△ ABC$中，有一块直角三角板$PMN$放置在$△ ABC$上（$P$点在$△ ABC$内），使三角板$PMN$的两条直角边$PM$，$PN$恰好分别经过点$B$和点$C$.
试问$∠ ABP$与$∠ ACP$是否存在某种确定的数量关系？
(1)【特殊探究】若$∠ A＝50°$，则$∠ ABC＋∠ ACB＝\_\_\_\_\_\_$，$∠ PBC＋∠ PCB＝\_\_\_\_\_\_$，$∠ ABP＋∠ ACP＝\_\_\_\_\_\_$；
(2)【类比探索】请探究$∠ ABP＋∠ ACP$与$∠ A$的关系；
(3)【类比延伸】如图2，改变直角三角板$PMN$的位置，使$P$点在$△ ABC$外，三角板$PMN$的两条直角边$PM$，$PN$仍然分别经过点$B$和点$C$，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.
试问$∠ ABP$与$∠ ACP$是否存在某种确定的数量关系？
(1)【特殊探究】若$∠ A＝50°$，则$∠ ABC＋∠ ACB＝\_\_\_\_\_\_$，$∠ PBC＋∠ PCB＝\_\_\_\_\_\_$，$∠ ABP＋∠ ACP＝\_\_\_\_\_\_$；
(2)【类比探索】请探究$∠ ABP＋∠ ACP$与$∠ A$的关系；
(3)【类比延伸】如图2，改变直角三角板$PMN$的位置，使$P$点在$△ ABC$外，三角板$PMN$的两条直角边$PM$，$PN$仍然分别经过点$B$和点$C$，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.
答案
12. 解:(1)130° 90° 40° (2)结论:∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明:
∵90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°.
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.(3)不成立;存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由:△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∵∠MPN=90°,
∴∠PBC+∠PCB=90°.
∴(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A,
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.
∵90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°.
∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.(3)不成立;存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由:△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∵∠MPN=90°,
∴∠PBC+∠PCB=90°.
∴(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A,
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.
解析
【分析】
解题思路：本题围绕三角形内角和定理展开探究。
（1）特殊探究时，先利用△ABC内角和为180°，已知∠A即可求出∠ABC+∠ACB的度数；再根据直角三角板的∠P=90°，在△PBC中用内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数；最后用(∠ABC+∠ACB)减去(∠PBC+∠PCB)，即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
（2）类比探索时，将（1）中的特殊角∠A=50°替换为任意的∠A，沿用（1）的推导逻辑，即可得出∠ABP+∠ACP与∠A的普遍数量关系。
（3）类比延伸时，P点在△ABC外，此时角的组成发生变化，仍利用△ABC和△PBC的内角和结论做差，梳理清楚∠ABC、∠ACB与∠ABP、∠ACP、∠PBC、∠PCB的和差关系，即可得到新的结论。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，∠A=50°，因此：
$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$；
∵三角板PMN是直角三角板，$∠ P=90°$，在△PBC中：
$∠ PBC+∠ PCB = 180° - ∠ P = 180° - 90° = 90°$；
又
∵$∠ ABC = ∠ ABP + ∠ PBC$，$∠ ACB = ∠ ACP + ∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP = (∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 130° - 90° = 40°$。
(2) 推导$∠ ABP+∠ ACP$与$∠ A$的关系：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB = 90°$，
∴$(∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = (180° - ∠ A) - 90°$，
即$(∠ ABP+∠ PBC + ∠ ACP+∠ PCB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 90° - ∠ A$，
化简得：$∠ ABP+∠ ACP = 90° - ∠ A$。
(3) 当P点在△ABC外时，(2)的结论不成立，新结论推导如下：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB = 90°$，
∴$(∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 180° - ∠ A - 90° = 90° - ∠ A$，
此时$∠ ACB = ∠ PCB + ∠ ACP$，$∠ PBC = ∠ ABC + ∠ ABP$，代入上式：
$∠ ABC + (∠ PCB + ∠ ACP) - (∠ ABC + ∠ ABP + ∠ PCB) = 90° - ∠ A$，
化简得：$∠ ACP - ∠ ABP = 90° - ∠ A$。
【答案】
(1) $130°$；$90°$；$40°$
(2) $∠ ABP + ∠ ACP = 90° - ∠ A$
(3) 不成立，结论为$∠ ACP - ∠ ABP = 90° - ∠ A$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题采用由特殊到一般的探究思路，考查三角形内角和定理的灵活应用，解题的关键是准确梳理不同位置下各角之间的和差关系，需要注意点的位置变化会改变角的组成，避免直接套用原有结论出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题围绕三角形内角和定理展开探究。
（1）特殊探究时，先利用△ABC内角和为180°，已知∠A即可求出∠ABC+∠ACB的度数；再根据直角三角板的∠P=90°，在△PBC中用内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数；最后用(∠ABC+∠ACB)减去(∠PBC+∠PCB)，即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
（2）类比探索时，将（1）中的特殊角∠A=50°替换为任意的∠A，沿用（1）的推导逻辑，即可得出∠ABP+∠ACP与∠A的普遍数量关系。
（3）类比延伸时，P点在△ABC外，此时角的组成发生变化，仍利用△ABC和△PBC的内角和结论做差，梳理清楚∠ABC、∠ACB与∠ABP、∠ACP、∠PBC、∠PCB的和差关系，即可得到新的结论。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，∠A=50°，因此：
$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$；
∵三角板PMN是直角三角板，$∠ P=90°$，在△PBC中：
$∠ PBC+∠ PCB = 180° - ∠ P = 180° - 90° = 90°$；
又
∵$∠ ABC = ∠ ABP + ∠ PBC$，$∠ ACB = ∠ ACP + ∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP = (∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 130° - 90° = 40°$。
(2) 推导$∠ ABP+∠ ACP$与$∠ A$的关系：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB = 90°$，
∴$(∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = (180° - ∠ A) - 90°$，
即$(∠ ABP+∠ PBC + ∠ ACP+∠ PCB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 90° - ∠ A$，
化简得：$∠ ABP+∠ ACP = 90° - ∠ A$。
(3) 当P点在△ABC外时，(2)的结论不成立，新结论推导如下：
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△PBC中，$∠ PBC+∠ PCB = 90°$，
∴$(∠ ABC+∠ ACB) - (∠ PBC+∠ PCB) = 180° - ∠ A - 90° = 90° - ∠ A$，
此时$∠ ACB = ∠ PCB + ∠ ACP$，$∠ PBC = ∠ ABC + ∠ ABP$，代入上式：
$∠ ABC + (∠ PCB + ∠ ACP) - (∠ ABC + ∠ ABP + ∠ PCB) = 90° - ∠ A$，
化简得：$∠ ACP - ∠ ABP = 90° - ∠ A$。
【答案】
(1) $130°$；$90°$；$40°$
(2) $∠ ABP + ∠ ACP = 90° - ∠ A$
(3) 不成立，结论为$∠ ACP - ∠ ABP = 90° - ∠ A$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题采用由特殊到一般的探究思路，考查三角形内角和定理的灵活应用，解题的关键是准确梳理不同位置下各角之间的和差关系，需要注意点的位置变化会改变角的组成，避免直接套用原有结论出错。
【难度系数】
0.7
