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三角形三个内角的和等于
01 基础练
必备知识梳理
三角形三个内角的和等于
180°
。01 基础练
必备知识梳理
答案
180°
解析
【分析】
本题是对三角形基础性质的识记类考查，核心考点为三角形内角和的固定结论，解题时只需回忆教材中明确给出的三角形内角和相关定理内容，直接填写对应数值即可，无需复杂计算或推导。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和为固定值180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，是三角形相关知识的核心基础内容，为后续学习多边形内角和、三角形角度计算等知识提供理论支撑，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题是对三角形基础性质的识记类考查，核心考点为三角形内角和的固定结论，解题时只需回忆教材中明确给出的三角形内角和相关定理内容，直接填写对应数值即可，无需复杂计算或推导。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和为固定值180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，是三角形相关知识的核心基础内容，为后续学习多边形内角和、三角形角度计算等知识提供理论支撑，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
1.【新课标·过程性学习】如图，△ABC.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.
解:如图,过点C作DE//
∴∠B=
）.
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°（
）,
∴∠B+∠A+∠ACB=
解:如图,过点C作DE//
AB
,∴∠B=
∠BCD
,∠A=∠ACE
（两直线平行，内错角相等
）.
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°（
平角定义
）,
∴∠B+∠A+∠ACB=
180°
（等量代换
）.答案
1. AB ∠BCD ∠ACE 两直线平行，内错角相等 平角定义 180° 等量代换
解析
【分析】
要证明三角形内角和为180°，我们可以利用“平角为180°”的已知结论，通过作平行线实现角的转化：过点C作AB的平行线，借助平行线的内错角相等性质，将△ABC的∠A和∠B转移到与∠ACB共顶点的平角位置，三个角刚好组成平角，再通过等量代换即可推导出三角形内角和的结论。
【解析】
证明过程如下：
过点C作DE//$\boldsymbol{AB}$，
∴∠B=$\boldsymbol{∠BCD}$，∠A=$\boldsymbol{∠ACE}$（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°（平角定义，三个角在直线DE上，组成平角），
∴∠B+∠A+∠ACB=$\boldsymbol{180°}$（等量代换，将∠BCD替换为∠B、∠ACE替换为∠A）。
【答案】
AB；∠BCD；∠ACE；两直线平行，内错角相等；平角定义；180°；等量代换
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，核心方法是通过作平行线把分散的三个内角整合为一个平角，体现了数学中的转化思想，熟练掌握平行线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明三角形内角和为180°，我们可以利用“平角为180°”的已知结论，通过作平行线实现角的转化：过点C作AB的平行线，借助平行线的内错角相等性质，将△ABC的∠A和∠B转移到与∠ACB共顶点的平角位置，三个角刚好组成平角，再通过等量代换即可推导出三角形内角和的结论。
【解析】
证明过程如下：
过点C作DE//$\boldsymbol{AB}$，
∴∠B=$\boldsymbol{∠BCD}$，∠A=$\boldsymbol{∠ACE}$（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°（平角定义，三个角在直线DE上，组成平角），
∴∠B+∠A+∠ACB=$\boldsymbol{180°}$（等量代换，将∠BCD替换为∠B、∠ACE替换为∠A）。
【答案】
AB；∠BCD；∠ACE；两直线平行，内错角相等；平角定义；180°；等量代换
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的经典证明题，核心方法是通过作平行线把分散的三个内角整合为一个平角，体现了数学中的转化思想，熟练掌握平行线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，$∠ B=60°$，则$△ ABC$的形状是（
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
D
）A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
2. D
解析
【分析】要判断三角形的形状，需先明确三角形三个内角的大小，我们可以利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的两个内角度数求出第三个角的度数，再通过最大内角的类型判断三角形形状：最大角为锐角是锐角三角形，最大角为直角是直角三角形，最大角为钝角是钝角三角形。
【解析】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
已知△ABC中∠A=20°，∠B=60°，则：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 20° - 60° = 100°
100°属于钝角，即△ABC中有一个内角为钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】本题属于基础题，主要考查三角形内角和的应用以及按角判断三角形形状的方法，只要掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
已知△ABC中∠A=20°，∠B=60°，则：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 20° - 60° = 100°
100°属于钝角，即△ABC中有一个内角为钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】本题属于基础题，主要考查三角形内角和的应用以及按角判断三角形形状的方法，只要掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】0.9
3. 在$△ ABC$中，$∠ C=3∠ A$，$∠ B=2∠ A$，则$∠ A$的度数是（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆三角形内角和的基本性质，三角形三个内角的和为180°；题目中已经给出∠B、∠C与∠A的数量关系，我们可以将∠B、∠C都用含∠A的式子代入内角和公式，得到只含有∠A的一元一次方程，解方程即可求出∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=3∠ A$，$∠ B=2∠ A$，将其代入上式得：
$∠ A + 2∠ A + 3∠ A = 180°$
合并同类项得：$6∠ A = 180°$
解得：$∠ A = 30°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是利用三角形内角和建立等量关系，将多个未知量转化为单一未知量求解，计算难度低，掌握基础定理即可得分。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆三角形内角和的基本性质，三角形三个内角的和为180°；题目中已经给出∠B、∠C与∠A的数量关系，我们可以将∠B、∠C都用含∠A的式子代入内角和公式，得到只含有∠A的一元一次方程，解方程即可求出∠A的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=3∠ A$，$∠ B=2∠ A$，将其代入上式得：
$∠ A + 2∠ A + 3∠ A = 180°$
合并同类项得：$6∠ A = 180°$
解得：$∠ A = 30°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是利用三角形内角和建立等量关系，将多个未知量转化为单一未知量求解，计算难度低，掌握基础定理即可得分。
【难度系数】
0.8
4.(教材P12例1改编) 一题多变
(1)【将已知的角度改为倍数关系】如图，BD是△ABC的一条角平分线，若∠A=75°，∠C=3∠ABD，则∠ABD的度数为 (
A. $10°$ B. $16°$ C. $21°$ D. $25°$
第4(1)题图 第4(2)题图
(2)【添加平行线求角度】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE//BC，若∠A=85°，∠C=47°，则∠BDE=
(1)【将已知的角度改为倍数关系】如图，BD是△ABC的一条角平分线，若∠A=75°，∠C=3∠ABD，则∠ABD的度数为 (
C
)A. $10°$ B. $16°$ C. $21°$ D. $25°$
第4(1)题图 第4(2)题图
(2)【添加平行线求角度】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE//BC，若∠A=85°，∠C=47°，则∠BDE=
24°
.答案
4.(1) C (2) 24°
解析
【分析】
（1）本题可结合三角形内角和定理与角平分线的定义建立等量关系求解。首先根据角平分线的性质可得∠ABC=2∠ABD，设∠ABD的度数为x，可分别表示出∠ABC和∠C的度数，代入三角形内角和公式列方程即可求出x的值。
（2）本题需分三步推导：第一步先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，第二步结合角平分线定义得到∠DBC的度数，第三步利用平行线的内错角相等性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
（1）设∠ABD的度数为$x$。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴$∠ ABC=2∠ ABD=2x$，
由题意得$∠ C=3x$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$
代入$∠ A=75°$，得：
$75°+2x+3x=180°$
$5x=105°$
解得$x=21°$，即$∠ ABD=21°$。
（2）在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-85°-47°=48°$
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×48°=24°$
∵$DE// BC$，
∴$∠ BDE=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ BDE=24°$。
【答案】
(1) $\boxed{C}$ (2) $\boxed{24°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
这两道题属于角度计算的常规基础题型，核心是将已知条件和几何性质结合，既可以通过设未知数列方程求解，也可以直接利用几何性质逐步推导，考查对基础几何定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
（1）本题可结合三角形内角和定理与角平分线的定义建立等量关系求解。首先根据角平分线的性质可得∠ABC=2∠ABD，设∠ABD的度数为x，可分别表示出∠ABC和∠C的度数，代入三角形内角和公式列方程即可求出x的值。
（2）本题需分三步推导：第一步先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，第二步结合角平分线定义得到∠DBC的度数，第三步利用平行线的内错角相等性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
（1）设∠ABD的度数为$x$。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴$∠ ABC=2∠ ABD=2x$，
由题意得$∠ C=3x$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$
代入$∠ A=75°$，得：
$75°+2x+3x=180°$
$5x=105°$
解得$x=21°$，即$∠ ABD=21°$。
（2）在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-85°-47°=48°$
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×48°=24°$
∵$DE// BC$，
∴$∠ BDE=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ BDE=24°$。
【答案】
(1) $\boxed{C}$ (2) $\boxed{24°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
这两道题属于角度计算的常规基础题型，核心是将已知条件和几何性质结合，既可以通过设未知数列方程求解，也可以直接利用几何性质逐步推导，考查对基础几何定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
5.在$△ ABC$中，$∠ A=55°$，$∠ B$比$∠ C$大$25°$，则$∠ B$的度数是
75°
。答案
5. 75°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知∠A的度数，可先求出∠B与∠C的度数和；再结合题目给出的∠B比∠C大25°的数量关系，利用和差问题的求解方法即可算出∠B的度数。
【解析】
∵ 三角形的内角和为180°，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=55°$，代入得：
$∠ B + ∠ C = 180° - 55° = 125°$，
又
∵ $∠ B$比$∠ C$大$25°$，即$∠ B - ∠ C = 25°$，
将上述两个等式相加可得：
$∠ B + ∠ C + ∠ B - ∠ C = 125° + 25°$，
化简得$2∠ B = 150°$，
解得$∠ B = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内角和定理的简单应用，解题核心是先求出两个未知角的度数和，再结合两角的差的关系计算目标角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知∠A的度数，可先求出∠B与∠C的度数和；再结合题目给出的∠B比∠C大25°的数量关系，利用和差问题的求解方法即可算出∠B的度数。
【解析】
∵ 三角形的内角和为180°，
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ A=55°$，代入得：
$∠ B + ∠ C = 180° - 55° = 125°$，
又
∵ $∠ B$比$∠ C$大$25°$，即$∠ B - ∠ C = 25°$，
将上述两个等式相加可得：
$∠ B + ∠ C + ∠ B - ∠ C = 125° + 25°$，
化简得$2∠ B = 150°$，
解得$∠ B = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内角和定理的简单应用，解题核心是先求出两个未知角的度数和，再结合两角的差的关系计算目标角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
6.【新情境·风筝】如图，小明做了一个风筝.它的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠BCD=60°，∠D=110°，则∠BAD=
80
°.答案
6. 80
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线AC，根据轴对称的性质可得对应角∠B=∠D。再回忆四边形内角和为360°，已知∠BCD、∠D的度数，先得到∠B的度数，再用四边形内角和减去已知的三个内角的度数，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD关于直线AC对称，
∴ ∠B = ∠D = 110°，
∵ 四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$，且∠BCD=60°，
∴ ∠BAD = 360° - ∠B - ∠D - ∠BCD
= 360° - 110° - 110° - 60°
= 80°
【答案】
80
【知识点】
轴对称的性质；多边形内角和
【点评】
本题结合生活中的风筝情境，考查了轴对称性质和多边形内角和的实际应用，解题的关键是利用轴对称的性质得到相等的对应角，再结合内角和公式计算，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知四边形ABCD是轴对称图形，对称轴为直线AC，根据轴对称的性质可得对应角∠B=∠D。再回忆四边形内角和为360°，已知∠BCD、∠D的度数，先得到∠B的度数，再用四边形内角和减去已知的三个内角的度数，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD关于直线AC对称，
∴ ∠B = ∠D = 110°，
∵ 四边形的内角和为$(4-2)×180°=360°$，且∠BCD=60°，
∴ ∠BAD = 360° - ∠B - ∠D - ∠BCD
= 360° - 110° - 110° - 60°
= 80°
【答案】
80
【知识点】
轴对称的性质；多边形内角和
【点评】
本题结合生活中的风筝情境，考查了轴对称性质和多边形内角和的实际应用，解题的关键是利用轴对称的性质得到相等的对应角，再结合内角和公式计算，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7
7.【新中考·跨物理学科】如图，一束光线照射到平面镜AB上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.若已知∠1=50°，∠6=65°，那么∠3的度数为
57.5°
.答案
7. 57.5°
解析
【分析】
解题时先利用题目给出的角相等的条件，确定三角形两个内角的度数，再根据三角形内角和为180°求出平面镜CD上反射点处的三角形内角度数，最后结合平角为180°以及∠3=∠4的条件，即可求出∠3的度数。具体思考路径：第一步由已知反射角相等得到△PQR（P、R为AB上的反射点，Q为CD上的反射点）的两个内角；第二步用三角形内角和计算Q点的内角度数；第三步利用平角性质和∠3=∠4的等量关系计算∠3。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，∠1=50°
∴∠2=50°
∵∠5=∠6，∠6=65°
∴∠5=65°
设AB上两个反射点为P、R，CD上的反射点为Q，构成△PQR，根据三角形内角和为180°可得：
∠PQR = 180° - ∠2 - ∠5 = 180° - 50° - 65° = 65°
∵CD为平角，即∠3 + ∠PQR + ∠4 = 180°，且已知∠3=∠4
∴2∠3 + 65° = 180°
解得∠3 = (180° - 65°)÷2 = 57.5°
【答案】
57.5°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，等量代换
【点评】
本题结合物理光的反射规律考查几何角度计算，核心是理清各角的位置关系，体现了跨学科知识融合的特点，解题难度不大，细心梳理角的关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用题目给出的角相等的条件，确定三角形两个内角的度数，再根据三角形内角和为180°求出平面镜CD上反射点处的三角形内角度数，最后结合平角为180°以及∠3=∠4的条件，即可求出∠3的度数。具体思考路径：第一步由已知反射角相等得到△PQR（P、R为AB上的反射点，Q为CD上的反射点）的两个内角；第二步用三角形内角和计算Q点的内角度数；第三步利用平角性质和∠3=∠4的等量关系计算∠3。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，∠1=50°
∴∠2=50°
∵∠5=∠6，∠6=65°
∴∠5=65°
设AB上两个反射点为P、R，CD上的反射点为Q，构成△PQR，根据三角形内角和为180°可得：
∠PQR = 180° - ∠2 - ∠5 = 180° - 50° - 65° = 65°
∵CD为平角，即∠3 + ∠PQR + ∠4 = 180°，且已知∠3=∠4
∴2∠3 + 65° = 180°
解得∠3 = (180° - 65°)÷2 = 57.5°
【答案】
57.5°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义，等量代换
【点评】
本题结合物理光的反射规律考查几何角度计算，核心是理清各角的位置关系，体现了跨学科知识融合的特点，解题难度不大，细心梳理角的关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
8.【教材P12例2变式】如图，C地在A地的正东方向，B地在A地的北偏东$30°$方向，同时也在C地的北偏西$50°$方向.从B地看A，C两地的视角$∠ ABC$是多少度？
02 综合练 关键能力提升
02 综合练 关键能力提升
答案
8. 解:由题意,得：∠BAC=∠CAE−∠BAE=90°−30°=60°. ∠BCA=∠ACF−∠BCF=90°−50°=40°.
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=180°−60°−40°=80°.答:从B地看A,C两地的视角∠ABC是80°.
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=180°−60°−40°=80°.答:从B地看A,C两地的视角∠ABC是80°.
解析
【分析】
解题时先结合方位角的定义确定已知角度：正北方向与正东方向的夹角为90°，首先根据“B地在A地的北偏东30°”，可计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据“B地在C地的北偏西50°”，计算出△ABC中∠BCA的度数；最后利用三角形内角和定理，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：由题意可知，EA、FC均为正北方向，AC为正东方向，因此EA⊥AC，FC⊥AC，即∠EAC=∠FCA=90°。
∵B地在A地的北偏东30°方向，
∴∠EAB=30°，
∴∠BAC=∠EAC - ∠EAB=90°-30°=60°。
∵B地在C地的北偏西50°方向，
∴∠FCB=50°，
∴∠BCA=∠FCA - ∠FCB=90°-50°=40°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，直角的定义
【点评】
本题是方位角与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是准确将方位描述转化为几何角度，再结合三角形内角和公式计算，这类题型是方位角相关应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先结合方位角的定义确定已知角度：正北方向与正东方向的夹角为90°，首先根据“B地在A地的北偏东30°”，可计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据“B地在C地的北偏西50°”，计算出△ABC中∠BCA的度数；最后利用三角形内角和定理，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：由题意可知，EA、FC均为正北方向，AC为正东方向，因此EA⊥AC，FC⊥AC，即∠EAC=∠FCA=90°。
∵B地在A地的北偏东30°方向，
∴∠EAB=30°，
∴∠BAC=∠EAC - ∠EAB=90°-30°=60°。
∵B地在C地的北偏西50°方向，
∴∠FCB=50°，
∴∠BCA=∠FCA - ∠FCB=90°-50°=40°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，直角的定义
【点评】
本题是方位角与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是准确将方位描述转化为几何角度，再结合三角形内角和公式计算，这类题型是方位角相关应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
