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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$为$BC$边上的中线.
(1)若$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长大4,$AB+AC=14$,则$AC=$
(2)$△ ABC$的周长为27,$AB=9$,$BC$边上中线$AD=6$,$△ ACD$的周长为19,求$AC$的长.
(1)若$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长大4,$AB+AC=14$,则$AC=$
5
;(2)$△ ABC$的周长为27,$AB=9$,$BC$边上中线$AD=6$,$△ ACD$的周长为19,求$AC$的长.
答案
1. (1) 5 (2) 由题意,得 AC+BC=27-9=18,即 AC+2CD=18.
∵△ACD的周长是 19,AD=6,
∴AC+CD=19-6=13.
∴CD=5.
∴AC=13-CD=13-5=8.
∵△ACD的周长是 19,AD=6,
∴AC+CD=19-6=13.
∴CD=5.
∴AC=13-CD=13-5=8.
解析
【分析】
(1) 首先根据AD是BC中线可得BD=CD，观察△ABD和△ACD的周长组成：二者共有边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的长度差，即AB-AC=4。再结合已知条件AB+AC=14，联立两个等式即可求出AC的长度。
(2) 先利用△ABC的周长和AB的长度，求出AC与BC的长度和；再根据中线性质将BC替换为2CD，得到AC和CD的第一个关系式。接着结合△ACD的周长和AD的长度，得到AC和CD的第二个关系式，联立两个关系式消元就能求出AC的长。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
由题意得：$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=4$，
又已知$AB+AC=14$，将$AB=AC+4$代入得：$AC+4+AC=14$，
解得：$AC=5$。
(2) 解：
∵△ABC的周长为27，$AB=9$，
∴$AC+BC=27-AB=27-9=18$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BC=2CD$，代入上式得：$AC+2CD=18$ ①，
又
∵△ACD的周长为19，$AD=6$，
∴$AC+CD+AD=19$，即$AC+CD=19-6=13$ ②，
用①-②得：$CD=5$，
将$CD=5$代入②得：$AC=13-5=8$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；方程思想应用
【点评】
本题重点考查三角形中线性质的实际应用，解题核心是借助中线得到相等线段，通过周长的数量关系建立等式求解，能锻炼几何与代数结合的计算能力，解题时注意不要混淆各周长的组成线段。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据AD是BC中线可得BD=CD，观察△ABD和△ACD的周长组成：二者共有边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差就是AB与AC的长度差，即AB-AC=4。再结合已知条件AB+AC=14，联立两个等式即可求出AC的长度。
(2) 先利用△ABC的周长和AB的长度，求出AC与BC的长度和；再根据中线性质将BC替换为2CD，得到AC和CD的第一个关系式。接着结合△ACD的周长和AD的长度，得到AC和CD的第二个关系式，联立两个关系式消元就能求出AC的长。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
由题意得：$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=4$，
又已知$AB+AC=14$，将$AB=AC+4$代入得：$AC+4+AC=14$，
解得：$AC=5$。
(2) 解：
∵△ABC的周长为27，$AB=9$，
∴$AC+BC=27-AB=27-9=18$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BC=2CD$，代入上式得：$AC+2CD=18$ ①，
又
∵△ACD的周长为19，$AD=6$，
∴$AC+CD+AD=19$，即$AC+CD=19-6=13$ ②，
用①-②得：$CD=5$，
将$CD=5$代入②得：$AC=13-5=8$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算；方程思想应用
【点评】
本题重点考查三角形中线性质的实际应用，解题核心是借助中线得到相等线段，通过周长的数量关系建立等式求解，能锻炼几何与代数结合的计算能力，解题时注意不要混淆各周长的组成线段。
【难度系数】
0.7
2. 在$△ ABC$中，已知点$D,E,F$分别为$BC$，$AD,CE$的中点.
(1)如图1，若$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则$△ BEF$的面积是$\mathrm{cm}^2$；
(2)如图2，若$S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
(1)如图1，若$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则$△ BEF$的面积是$\mathrm{cm}^2$；
(2)如图2，若$S_{△ BFC}=1\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
2. (1) 1 (2) 4
解析
【分析】
解题核心是利用三角形中线的面积性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。
(1) 正向推导：先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积均为△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BED是△ABD的一半、△CED是△ACD的一半，相加得△BCE的面积为△ABC的一半；最后由F是CE中点，推出△BEF的面积为△BCE的一半，代入数值计算即可。
(2) 反向推导：先由F是CE中点，得△BCE的面积是△BFC的2倍；再结合△BCE的面积是△ABC的一半，即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵D是BC的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵F是CE的中点，
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
(2)
∵F是CE的中点，
∴$S_{△BCE}=2S_{△BFC}=2×1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=\frac{1}{2}(S_{△ABD}+S_{△ACD})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∴$S_{△ABC}=2S_{△BCE}=2×2=4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
三角形中线的面积性质、等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，重点考查对三角形中线分等面积这一性质的灵活运用，无论是正向推导还是反向逆推，只要理清各三角形面积的比例关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用三角形中线的面积性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。
(1) 正向推导：先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积均为△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BED是△ABD的一半、△CED是△ACD的一半，相加得△BCE的面积为△ABC的一半；最后由F是CE中点，推出△BEF的面积为△BCE的一半，代入数值计算即可。
(2) 反向推导：先由F是CE中点，得△BCE的面积是△BFC的2倍；再结合△BCE的面积是△ABC的一半，即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵D是BC的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵F是CE的中点，
∴$S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
(2)
∵F是CE的中点，
∴$S_{△BCE}=2S_{△BFC}=2×1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=\frac{1}{2}(S_{△ABD}+S_{△ACD})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∴$S_{△ABC}=2S_{△BCE}=2×2=4\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
三角形中线的面积性质、等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，重点考查对三角形中线分等面积这一性质的灵活运用，无论是正向推导还是反向逆推，只要理清各三角形面积的比例关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图，CD是$△ ABC$的角平分线，点E是BC上一点，且$∠ EDC=∠ ECD$.
求证：$∠ BED=2∠ ACD$.
求证：$∠ BED=2∠ ACD$.
答案
证明：
∵CD是$△ ABC$的平分线，
∴$∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB. ∵∠ECD=∠EDC,∴∠EDC=∠ACD. ∴ED// AC. ∴∠BED=∠ACB=2∠ACD.$
∵CD是$△ ABC$的平分线，
∴$∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB. ∵∠ECD=∠EDC,∴∠EDC=∠ACD. ∴ED// AC. ∴∠BED=∠ACB=2∠ACD.$
解析
【分析】
要证明∠BED=2∠ACD，可先从已知和结论的关联入手：首先CD是△ABC的角平分线，由角平分线的定义可知∠ACB=2∠ACD，因此只需证明∠BED=∠ACB即可。再看已知条件∠EDC=∠ECD，而∠ECD就是角平分线分得的∠ACD，由此可得∠EDC=∠ACD，这两个角是内错角，内错角相等可推出DE//AC，再根据平行线的同位角相等即可得到∠BED=∠ACB，最后通过等量代换就能得到要证明的结论。
【解析】
证明：
1. 由角平分线的定义可知，CD是△ABC的角平分线时，∠BCD=∠ACD，即∠ACB=2∠ACD；
2. 已知∠EDC=∠ECD，结合∠ECD=∠BCD，等量代换得∠EDC=∠ACD；
3. ∠EDC和∠ACD是直线DE、AC被CD所截的内错角，内错角相等则两直线平行，因此DE//AC；
4. 根据两直线平行同位角相等，可得∠BED=∠ACB；
5. 结合∠ACB=2∠ACD，等量代换即得∠BED=2∠ACD。
【答案】
证明：
∵CD是$△ ABC$的平分线，
∴$∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB. ∵∠ECD=∠EDC,∴∠EDC=∠ACD. ∴ED// AC. ∴∠BED=∠ACB=2∠ACD.$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是结合角平分线的倍分关系和角的等量关系推出平行线，进而建立待证角的联系，侧重考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠BED=2∠ACD，可先从已知和结论的关联入手：首先CD是△ABC的角平分线，由角平分线的定义可知∠ACB=2∠ACD，因此只需证明∠BED=∠ACB即可。再看已知条件∠EDC=∠ECD，而∠ECD就是角平分线分得的∠ACD，由此可得∠EDC=∠ACD，这两个角是内错角，内错角相等可推出DE//AC，再根据平行线的同位角相等即可得到∠BED=∠ACB，最后通过等量代换就能得到要证明的结论。
【解析】
证明：
1. 由角平分线的定义可知，CD是△ABC的角平分线时，∠BCD=∠ACD，即∠ACB=2∠ACD；
2. 已知∠EDC=∠ECD，结合∠ECD=∠BCD，等量代换得∠EDC=∠ACD；
3. ∠EDC和∠ACD是直线DE、AC被CD所截的内错角，内错角相等则两直线平行，因此DE//AC；
4. 根据两直线平行同位角相等，可得∠BED=∠ACB；
5. 结合∠ACB=2∠ACD，等量代换即得∠BED=2∠ACD。
【答案】
证明：
∵CD是$△ ABC$的平分线，
∴$∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB. ∵∠ECD=∠EDC,∴∠EDC=∠ACD. ∴ED// AC. ∴∠BED=∠ACB=2∠ACD.$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是结合角平分线的倍分关系和角的等量关系推出平行线，进而建立待证角的联系，侧重考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
4.(2024·齐齐哈尔期中)△ABC中，AD是高，∠BAD=40°，∠CAD=30°，则∠BAC=
70°或 10°
答案
4. 70°或 10°
解析
【分析】
解答本题需考虑三角形高的位置的不确定性：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高存在于三角形外的情况），因此要分两种情况分类讨论，分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，∠BAC由∠BAD和∠CAD共同组成，因此：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 40° + 30° = 70°
② 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），∠BAD包含了∠CAD和∠BAC，因此：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 40° - 30° = 10°
综上，∠BAC的度数为70°或10°。
【答案】
70°或10°
【知识点】
三角形高的性质；分类讨论思想；角度和差计算
【点评】
本题的易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形高在外部的情形导致漏解，解题时要结合三角形的不同类型全面考虑线段的位置，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
解答本题需考虑三角形高的位置的不确定性：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（钝角三角形的高存在于三角形外的情况），因此要分两种情况分类讨论，分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时，∠BAC由∠BAD和∠CAD共同组成，因此：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 40° + 30° = 70°
② 当高AD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角），∠BAD包含了∠CAD和∠BAC，因此：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 40° - 30° = 10°
综上，∠BAC的度数为70°或10°。
【答案】
70°或10°
【知识点】
三角形高的性质；分类讨论思想；角度和差计算
【点评】
本题的易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形高在外部的情形导致漏解，解题时要结合三角形的不同类型全面考虑线段的位置，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$BG⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，$G$。求证：$DE+DF=BG$。
答案
证明：连接$AD,∵S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ADC},∴\frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF.$ 又$AB=AC,∴\frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AC·(DE+DF)$,即 $DE+DF=BG.$
解析
【分析】
要证明DE+DF=BG，首先观察到待证的三条线段均为三角形的高线，可从面积关系切入思考。我们可以连接AD，将△ABC拆分为△ABD和△ACD两个小三角形，利用“大三角形面积等于两个拆分后小三角形的面积和”建立等式，再结合已知条件AB=AC对等式进行化简，即可推导出待证的线段关系。
【解析】
证明：连接AD，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC} $，
∴ $ \frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF $。
又
∵ $ AB=AC $，
∴ $ \frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AC·(DE+DF) $，
等式两边同时除以$ \frac{1}{2}AC $（AC为三角形边长，不为0），即得 $ DE+DF=BG $。
【答案】
$ DE+DF=BG $
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形面积公式、面积法的应用
【点评】
本题是等腰三角形中线段和差证明的经典题型，采用面积法求解思路清晰简洁，核心是通过面积拆分建立线段之间的等量关系，再结合等腰三角形腰相等的性质化简得到结论，熟练掌握面积法可大幅降低这类线段和差证明题的解题难度。
【难度系数】
0.7
要证明DE+DF=BG，首先观察到待证的三条线段均为三角形的高线，可从面积关系切入思考。我们可以连接AD，将△ABC拆分为△ABD和△ACD两个小三角形，利用“大三角形面积等于两个拆分后小三角形的面积和”建立等式，再结合已知条件AB=AC对等式进行化简，即可推导出待证的线段关系。
【解析】
证明：连接AD，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC} $，
∴ $ \frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF $。
又
∵ $ AB=AC $，
∴ $ \frac{1}{2}AC·BG=\frac{1}{2}AC·(DE+DF) $，
等式两边同时除以$ \frac{1}{2}AC $（AC为三角形边长，不为0），即得 $ DE+DF=BG $。
【答案】
$ DE+DF=BG $
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形面积公式、面积法的应用
【点评】
本题是等腰三角形中线段和差证明的经典题型，采用面积法求解思路清晰简洁，核心是通过面积拆分建立线段之间的等量关系，再结合等腰三角形腰相等的性质化简得到结论，熟练掌握面积法可大幅降低这类线段和差证明题的解题难度。
【难度系数】
0.7
