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4. 多项式$7x^3 - x^4y -1$是次项式。
答案
五；三
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按照两步思路解题：首先回忆多项式项数和次数的定义，第一步先数项数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，常数项也属于单独的一项，拆分出多项式的所有项后计数就能得到项数；第二步确定多项式的次数：多项式的次数是所有项里次数最高的项的次数，注意含多个字母的单项式的次数是所有字母的指数和，常数项次数为0，计算每个项的次数后找到最大值，就是多项式的次数。
【解析】
1. 确定项数：多项式$7x^3 - x^4y -1$的项分别为$7x^3$、$-x^4y$、$-1$，共3个单项式，因此是三项式。
2. 确定多项式次数：分别计算每个项的次数：
$7x^3$仅含字母$x$，指数为3，次数为3；
$-x^4y$含字母$x$和$y$，$x$的指数是4，$y$的指数是1，总次数为$4+1=5$；
常数项$-1$的次数为0。
所有项中最高次数是5，因此该多项式是五次多项式。
综上可得该多项式为五次三项式。
【答案】
五；三
【知识点】
多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题易错点有两处：一是数项数时遗漏常数项，二是计算含多个字母的项的次数时漏加某个字母的指数，只要准确掌握相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们可以按照两步思路解题：首先回忆多项式项数和次数的定义，第一步先数项数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，常数项也属于单独的一项，拆分出多项式的所有项后计数就能得到项数；第二步确定多项式的次数：多项式的次数是所有项里次数最高的项的次数，注意含多个字母的单项式的次数是所有字母的指数和，常数项次数为0，计算每个项的次数后找到最大值，就是多项式的次数。
【解析】
1. 确定项数：多项式$7x^3 - x^4y -1$的项分别为$7x^3$、$-x^4y$、$-1$，共3个单项式，因此是三项式。
2. 确定多项式次数：分别计算每个项的次数：
$7x^3$仅含字母$x$，指数为3，次数为3；
$-x^4y$含字母$x$和$y$，$x$的指数是4，$y$的指数是1，总次数为$4+1=5$；
常数项$-1$的次数为0。
所有项中最高次数是5，因此该多项式是五次多项式。
综上可得该多项式为五次三项式。
【答案】
五；三
【知识点】
多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题易错点有两处：一是数项数时遗漏常数项，二是计算含多个字母的项的次数时漏加某个字母的指数，只要准确掌握相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 多项式 $3x^2y -7xy^4 -4xy^3 +2^4$ 最高次项是 。
答案
$\boldsymbol{-7xy^4}$
解析
【分析】
要找到多项式的最高次项，我们可以按以下思路思考：首先明确相关概念：①组成多项式的每个单项式（连同前面的符号）都是多项式的项；②单项式的次数是所有字母的指数和，常数项的次数为0；③多项式里次数最高的项就是最高次项。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，最后对比找出次数最高的项即可，注意不要把常数的指数当成单项式的次数，也不要遗漏项前面的符号。
【解析】
首先拆分多项式$3x^2y -7xy^4 -4xy^3 +2^4$的所有项，分别为：$3x^2y$、$-7xy^4$、$-4xy^3$、$2^4$（其中$2^4$是常数项）。
接下来计算每一项的次数：
1. 项$3x^2y$：字母x的指数为2，y的指数为1，次数为$2+1=3$；
2. 项$-7xy^4$：字母x的指数为1，y的指数为4，次数为$1+4=5$；
3. 项$-4xy^3$：字母x的指数为1，y的指数为3，次数为$1+3=4$；
4. 项$2^4$：是常数项，次数为0。
对比各项次数：$5＞4＞3＞0$，因此次数最高的项为$-7xy^4$。
【答案】
$-7xy^4$
【知识点】
1. 多项式的项与次数
2. 单项式的次数
【点评】
本题是基础概念题，解题的易错点有两个：一是容易把常数项中数字的指数当成次数（如本题中$2^4$的4不参与次数计算）；二是找最高次项时遗漏前面的负号，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要找到多项式的最高次项，我们可以按以下思路思考：首先明确相关概念：①组成多项式的每个单项式（连同前面的符号）都是多项式的项；②单项式的次数是所有字母的指数和，常数项的次数为0；③多项式里次数最高的项就是最高次项。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，最后对比找出次数最高的项即可，注意不要把常数的指数当成单项式的次数，也不要遗漏项前面的符号。
【解析】
首先拆分多项式$3x^2y -7xy^4 -4xy^3 +2^4$的所有项，分别为：$3x^2y$、$-7xy^4$、$-4xy^3$、$2^4$（其中$2^4$是常数项）。
接下来计算每一项的次数：
1. 项$3x^2y$：字母x的指数为2，y的指数为1，次数为$2+1=3$；
2. 项$-7xy^4$：字母x的指数为1，y的指数为4，次数为$1+4=5$；
3. 项$-4xy^3$：字母x的指数为1，y的指数为3，次数为$1+3=4$；
4. 项$2^4$：是常数项，次数为0。
对比各项次数：$5＞4＞3＞0$，因此次数最高的项为$-7xy^4$。
【答案】
$-7xy^4$
【知识点】
1. 多项式的项与次数
2. 单项式的次数
【点评】
本题是基础概念题，解题的易错点有两个：一是容易把常数项中数字的指数当成次数（如本题中$2^4$的4不参与次数计算）；二是找最高次项时遗漏前面的负号，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 下列式子中：
$x+6y, ab^2, 2025, x^5y-1, \frac{x^3}{π}, m^4n^2, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入图1中所属的圈中.
(2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项.
$x+6y, ab^2, 2025, x^5y-1, \frac{x^3}{π}, m^4n^2, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入图1中所属的圈中.
(2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项.
答案
解：
(1)
单项式圈内填入：$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$
多项式圈内填入：$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(2) 多项式中$x^5y-1$的次数最高，该多项式的项为$x^5y$和$-1$。
(1)
单项式圈内填入：$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$
多项式圈内填入：$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(2) 多项式中$x^5y-1$的次数最高，该多项式的项为$x^5y$和$-1$。
解析
【分析】
解决本题需要先明确相关核心概念：1. 单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意π是常数，不属于字母；2. 多项式是几个单项式的和，多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，组成多项式的每个单项式就是多项式的项，项需要包含前面的符号。
解题时先逐个判断给出的式子，先筛选出符合单项式定义的填入对应圈中，剩余的整式即为多项式，填入多项式的圈中；再分别计算每个多项式的次数，找到次数最高的多项式，拆分出它的所有项即可。
【解析】
(1) 根据定义逐个判断式子类型：
$ab^2$是数与字母的乘积，属于单项式；
$2025$是单独的数，属于单项式；
$\frac{x^3}{π}$中π是常数，因此该式是常数与$x^3$的乘积，属于单项式；
$m^4n^2$是数与字母的乘积，属于单项式；
$x+6y$是$x$和$6y$两个单项式的和，属于多项式；
$x^5y-1$是$x^5y$和$-1$两个单项式的和，属于多项式；
$\frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$是$\frac{3a^2b^3}{2}$、$-\frac{a^4}{2}$、$\frac{b}{2}$三个单项式的和，属于多项式。
因此单项式圈内填入$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$，多项式圈内填入$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$。
(2) 计算每个多项式的次数：
$x+6y$的最高次项次数为1，总次数为1；
$x^5y-1$的最高次项是$x^5y$，次数为$5+1=6$，总次数为6；
$\frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$的最高次项是$\frac{3a^2b^3}{2}$，次数为$2+3=5$，总次数为5。
对比可知$x^5y-1$的次数最高，该多项式的项为$x^5y$和$-1$。
【答案】
(1) 单项式：$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$；多项式：$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(2) 次数最高的多项式是$x^5y-1$，该多项式的项为$x^5y$、$-1$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；多项式的项与次数
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题关键是准确区分单项式和多项式，掌握多项式次数的计算方法，注意不要将π误判为字母，拆分多项式的项时要保留项前面的符号。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确相关核心概念：1. 单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意π是常数，不属于字母；2. 多项式是几个单项式的和，多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，组成多项式的每个单项式就是多项式的项，项需要包含前面的符号。
解题时先逐个判断给出的式子，先筛选出符合单项式定义的填入对应圈中，剩余的整式即为多项式，填入多项式的圈中；再分别计算每个多项式的次数，找到次数最高的多项式，拆分出它的所有项即可。
【解析】
(1) 根据定义逐个判断式子类型：
$ab^2$是数与字母的乘积，属于单项式；
$2025$是单独的数，属于单项式；
$\frac{x^3}{π}$中π是常数，因此该式是常数与$x^3$的乘积，属于单项式；
$m^4n^2$是数与字母的乘积，属于单项式；
$x+6y$是$x$和$6y$两个单项式的和，属于多项式；
$x^5y-1$是$x^5y$和$-1$两个单项式的和，属于多项式；
$\frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$是$\frac{3a^2b^3}{2}$、$-\frac{a^4}{2}$、$\frac{b}{2}$三个单项式的和，属于多项式。
因此单项式圈内填入$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$，多项式圈内填入$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$。
(2) 计算每个多项式的次数：
$x+6y$的最高次项次数为1，总次数为1；
$x^5y-1$的最高次项是$x^5y$，次数为$5+1=6$，总次数为6；
$\frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$的最高次项是$\frac{3a^2b^3}{2}$，次数为$2+3=5$，总次数为5。
对比可知$x^5y-1$的次数最高，该多项式的项为$x^5y$和$-1$。
【答案】
(1) 单项式：$ab^2, 2025, \frac{x^3}{π}, m^4n^2$；多项式：$x+6y, x^5y-1, \frac{3a^2b^3 - a^4 + b}{2}$
(2) 次数最高的多项式是$x^5y-1$，该多项式的项为$x^5y$、$-1$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；多项式的项与次数
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题关键是准确区分单项式和多项式，掌握多项式次数的计算方法，注意不要将π误判为字母，拆分多项式的项时要保留项前面的符号。
【难度系数】
0.8
7. 如图2所示,用三种大小不同的正方形和一个长方形(阴影部分)拼成长方形ABCD,其中有4个相同小正方形的边长为a,长方形的长DF为b.
(1)看图填空:$AB=$,$DE=$;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)当$a=1,b=3$时,求长方形ABCD的周长.
(1)看图填空:$AB=$,$DE=$;(用含$a,b$的代数式表示)
(2)当$a=1,b=3$时,求长方形ABCD的周长.
答案
解：
(1) $AB=5a$，$DE=5a-b$；
(2) 由题意得，长方形$ABCD$的长为$AD=4a+b$，宽为$AB=5a$，
周长$=2×(AD+AB)$
$=2×(4a+b+5a)$
$=18a+2b$
当$a=1$，$b=3$时，
代入得：$18×1+2×3=24$
答：长方形$ABCD$的周长为24。
(1) $AB=5a$，$DE=5a-b$；
(2) 由题意得，长方形$ABCD$的长为$AD=4a+b$，宽为$AB=5a$，
周长$=2×(AD+AB)$
$=2×(4a+b+5a)$
$=18a+2b$
当$a=1$，$b=3$时，
代入得：$18×1+2×3=24$
答：长方形$ABCD$的周长为24。
解析
【分析】
(1) 求AB的长度：观察图形，AB是长方形ABCD的宽，纵向由边长为4a的大正方形的边长和1个小正方形的边长组成，小正方形边长为a，因此直接相加即可得到AB的长度；求DE的长度：首先长方形对边相等，CD和AB长度相等，CD由DE和右侧下方正方形的边长EC组成，观察横向边长可知EC等于阴影长方形的长b，因此用CD的长度减去EC的长度即可得到DE的长度。
(2) 求长方形ABCD的周长，首先要确定长方形的长和宽：宽AB已经求出，长AD为AF加FD的长度，再根据长方形周长公式列出代数式，最后将a=1、b=3代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可得：
$AB=4a+a=5a$；
因为CD=AB=5a，且EC等于阴影长方形的长$b$，所以$DE=CD-EC=5a-b$。
(2) 长方形ABCD的长$AD=AF+FD=4a+b$，宽$AB=5a$，
根据长方形周长公式：
$\begin{aligned}周长&=2×(AD+AB)\\&=2×(4a+b+5a)\\&=18a+2b\end{aligned}$
当$a=1$，$b=3$时，代入得：
$18×1+2×3=24$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5a}$，$\boldsymbol{5a-b}$
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形周长计算
【点评】
本题结合拼接图形考查代数式的实际应用，解题核心是准确观察图形，梳理各段边长的数量关系，再代入对应公式计算，能够锻炼学生的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求AB的长度：观察图形，AB是长方形ABCD的宽，纵向由边长为4a的大正方形的边长和1个小正方形的边长组成，小正方形边长为a，因此直接相加即可得到AB的长度；求DE的长度：首先长方形对边相等，CD和AB长度相等，CD由DE和右侧下方正方形的边长EC组成，观察横向边长可知EC等于阴影长方形的长b，因此用CD的长度减去EC的长度即可得到DE的长度。
(2) 求长方形ABCD的周长，首先要确定长方形的长和宽：宽AB已经求出，长AD为AF加FD的长度，再根据长方形周长公式列出代数式，最后将a=1、b=3代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可得：
$AB=4a+a=5a$；
因为CD=AB=5a，且EC等于阴影长方形的长$b$，所以$DE=CD-EC=5a-b$。
(2) 长方形ABCD的长$AD=AF+FD=4a+b$，宽$AB=5a$，
根据长方形周长公式：
$\begin{aligned}周长&=2×(AD+AB)\\&=2×(4a+b+5a)\\&=18a+2b\end{aligned}$
当$a=1$，$b=3$时，代入得：
$18×1+2×3=24$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5a}$，$\boldsymbol{5a-b}$
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形周长计算
【点评】
本题结合拼接图形考查代数式的实际应用，解题核心是准确观察图形，梳理各段边长的数量关系，再代入对应公式计算，能够锻炼学生的图形观察能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
