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8. 已知多项式$-5x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是关于$x,y$的六次四项式，且单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与该多项式的次数相同.
(1)求$m,n$的值；
(2)请将该多项式按$x$的降幂重新排列.
(1)求$m,n$的值；
(2)请将该多项式按$x$的降幂重新排列.
答案
解：
(1) 因为多项式$-5x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是关于$x,y$的六次四项式，
所以最高次项的次数为6，即$2 + m + 1 = 6$，
解得$m=3$。
又因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与该多项式的次数相同，
所以$2n + 5 - m = 6$，
将$m=3$代入得：$2n + 5 - 3 = 6$，
解得$n=2$。
(2) 该多项式按$x$的降幂重新排列为：
$-3x^3 -5x^2y^4 + xy^2 -6$
(1) 因为多项式$-5x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是关于$x,y$的六次四项式，
所以最高次项的次数为6，即$2 + m + 1 = 6$，
解得$m=3$。
又因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与该多项式的次数相同，
所以$2n + 5 - m = 6$，
将$m=3$代入得：$2n + 5 - 3 = 6$，
解得$n=2$。
(2) 该多项式按$x$的降幂重新排列为：
$-3x^3 -5x^2y^4 + xy^2 -6$
解析
【分析】
解决第(1)问的思路：①首先明确多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，题目说明该多项式是六次四项式，因此最高次项的次数为6，观察可知最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，根据单项式次数是所有字母指数之和的规则，列等式即可求出$m$的值；②已知单项式的次数和多项式次数相同，同样按照单项式次数的计算规则列等式，代入已求出的$m$值即可算出$n$的值。
解决第(2)问的思路：按$x$的降幂排列就是把多项式各项按照$x$的指数从大到小的顺序排列，注意移动每一项时要连同它前面的符号一起移动，不能遗漏符号。
【解析】
(1) 因为多项式$-5x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是关于$x,y$的六次四项式，所以最高次项的次数为6。
最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，因此可得：
$2 + m + 1 = 6$
解得$m=3$。
又因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与该多项式的次数相同，也为6，因此可得：
$2n + 5 - m = 6$
将$m=3$代入上式：$2n + 5 - 3 = 6$，解得$n=2$。
(2) 统计各项中$x$的指数：$-3x^3$中$x$的指数为3，$-5x^2y^{m+1}$（代入$m=3$得$-5x^2y^4$）中$x$的指数为2，$xy^2$中$x$的指数为1，常数项$-6$中$x$的指数视为0，按$x$指数从大到小排列即可。
【答案】
(1) $m=3$，$n=2$；
(2) $-3x^3 -5x^2y^4 + xy^2 -6$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、多项式的升降幂排列
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题关键是准确掌握多项式次数、单项式次数的定义，以及升降幂排列的规则，注意排列多项式时每一项要连同自身的符号一起移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问的思路：①首先明确多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，题目说明该多项式是六次四项式，因此最高次项的次数为6，观察可知最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，根据单项式次数是所有字母指数之和的规则，列等式即可求出$m$的值；②已知单项式的次数和多项式次数相同，同样按照单项式次数的计算规则列等式，代入已求出的$m$值即可算出$n$的值。
解决第(2)问的思路：按$x$的降幂排列就是把多项式各项按照$x$的指数从大到小的顺序排列，注意移动每一项时要连同它前面的符号一起移动，不能遗漏符号。
【解析】
(1) 因为多项式$-5x^2y^{m+1}+xy^2-3x^3-6$是关于$x,y$的六次四项式，所以最高次项的次数为6。
最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，因此可得：
$2 + m + 1 = 6$
解得$m=3$。
又因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数与该多项式的次数相同，也为6，因此可得：
$2n + 5 - m = 6$
将$m=3$代入上式：$2n + 5 - 3 = 6$，解得$n=2$。
(2) 统计各项中$x$的指数：$-3x^3$中$x$的指数为3，$-5x^2y^{m+1}$（代入$m=3$得$-5x^2y^4$）中$x$的指数为2，$xy^2$中$x$的指数为1，常数项$-6$中$x$的指数视为0，按$x$指数从大到小排列即可。
【答案】
(1) $m=3$，$n=2$；
(2) $-3x^3 -5x^2y^4 + xy^2 -6$
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数、多项式的升降幂排列
【点评】
本题考查整式的基础概念，解题关键是准确掌握多项式次数、单项式次数的定义，以及升降幂排列的规则，注意排列多项式时每一项要连同自身的符号一起移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式不是整式的是 （）
A.$-\dfrac{7}{2}x^2y$
B.$π$
C.$\dfrac{x+y}{4}$
D.$\dfrac{x^2+2x}{x}$
A.$-\dfrac{7}{2}x^2y$
B.$π$
C.$\dfrac{x+y}{4}$
D.$\dfrac{x^2+2x}{x}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，整式的分母中不能含有字母，单独的数字或字母也属于整式。接下来我们只需要逐个分析四个选项的分母是否含有字母，判断是否符合整式的特征即可。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
选项A：$-\dfrac{7}{2}x^2y$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
选项B：$π$是固定的常数，属于单独的数，是单项式，属于整式；
选项C：$\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}y$，是几个单项式的和，属于多项式，分母是常数4，不含字母，属于整式；
选项D：$\dfrac{x^2+2x}{x}$的分母含有字母$x$，不属于整式。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
整式的概念，单项式的判定，多项式的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题的关键是牢记整式的判定标准，尤其要注意$π$是常数不属于字母，不要误判B选项，同时要注意区分整式和分母含字母的代数式。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，整式的分母中不能含有字母，单独的数字或字母也属于整式。接下来我们只需要逐个分析四个选项的分母是否含有字母，判断是否符合整式的特征即可。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
选项A：$-\dfrac{7}{2}x^2y$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
选项B：$π$是固定的常数，属于单独的数，是单项式，属于整式；
选项C：$\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}y$，是几个单项式的和，属于多项式，分母是常数4，不含字母，属于整式；
选项D：$\dfrac{x^2+2x}{x}$的分母含有字母$x$，不属于整式。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
整式的概念，单项式的判定，多项式的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题的关键是牢记整式的判定标准，尤其要注意$π$是常数不属于字母，不要误判B选项，同时要注意区分整式和分母含字母的代数式。
【难度系数】
0.9
2. 关于整式的概念,下列说法正确的是 ()
A.1是单项式
B.$5a^3b$的次数是3
C.$-ab^2+ab-6$是五次三项式
D.$\frac{4π R^3}{3}$的系数是$\frac{4}{3}$
A.1是单项式
B.$5a^3b$的次数是3
C.$-ab^2+ab-6$是五次三项式
D.$\frac{4π R^3}{3}$的系数是$\frac{4}{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查整式相关的基础概念，解题时需结合单项式、多项式的定义，以及单项式系数、次数，多项式次数、项数的判定规则，逐个对选项进行判断即可。首先明确核心定义：①单独的数或字母也是单项式；②单项式的次数是所有字母的指数和，系数是单项式中的数字因数（π是常数，不算字母）；③多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，项数为所含单项式的个数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，1是单独的数，属于单项式，该选项正确；
B选项：单项式$5a^3b$中，字母a的指数是3，字母b的指数是1，次数为所有字母指数和，即$3+1=4$，不是3，该选项错误；
C选项：多项式$-ab^2+ab-6$的最高次项是$-ab^2$，次数为$1+2=3$，共有3个单项式项，所以是三次三项式，不是五次三项式，该选项错误；
D选项：$\frac{4π R^3}{3}$中π是常数，因此该单项式的系数是$\frac{4π}{3}$，不是$\frac{4}{3}$，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确理解整式相关的定义，尤其要注意π属于常数，不能当作字母判断系数和次数，掌握基础定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查整式相关的基础概念，解题时需结合单项式、多项式的定义，以及单项式系数、次数，多项式次数、项数的判定规则，逐个对选项进行判断即可。首先明确核心定义：①单独的数或字母也是单项式；②单项式的次数是所有字母的指数和，系数是单项式中的数字因数（π是常数，不算字母）；③多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，项数为所含单项式的个数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，1是单独的数，属于单项式，该选项正确；
B选项：单项式$5a^3b$中，字母a的指数是3，字母b的指数是1，次数为所有字母指数和，即$3+1=4$，不是3，该选项错误；
C选项：多项式$-ab^2+ab-6$的最高次项是$-ab^2$，次数为$1+2=3$，共有3个单项式项，所以是三次三项式，不是五次三项式，该选项错误；
D选项：$\frac{4π R^3}{3}$中π是常数，因此该单项式的系数是$\frac{4π}{3}$，不是$\frac{4}{3}$，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项与次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确理解整式相关的定义，尤其要注意π属于常数，不能当作字母判断系数和次数，掌握基础定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法正确的是 （）
A.单项式$-am$的系数是$-a$
B.单项式$-3^2a^3b$的次数是6
C.$\frac{mn}{π}$不是整式
D.$-a^2b^2+3ab^2-5$是四次三项式
A.单项式$-am$的系数是$-a$
B.单项式$-3^2a^3b$的次数是6
C.$\frac{mn}{π}$不是整式
D.$-a^2b^2+3ab^2-5$是四次三项式
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需先熟练掌握单项式的系数和次数、整式、多项式的相关核心概念，再逐一判断每个选项的正误：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和；②整式包括单项式和多项式，注意π是常数，不是字母；③多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，项数是多项式中单项式的总个数，按照这几个概念逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式$-am$中，$a$和$m$都是字母，数字因数是$-1$，因此系数是$-1$，不是$-a$，该选项错误。
B选项：单项式$-3^2a^3b$中，$-3^2=-9$是数字部分，不算入次数，仅计算字母的指数和：$3+1=4$，因此次数是4，不是6，该选项错误。
C选项：$π$是常数，因此$\frac{mn}{π}$是单项式，属于整式，该选项错误。
D选项：多项式$-a^2b^2+3ab^2-5$中，最高次项是$-a^2b^2$，次数为$2+2=4$，且共有3个单项式，因此是四次三项式，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数与次数，多项式的次数与项数，整式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易误将$π$当作字母、将单项式里的数字指数算入次数，只要准确掌握相关定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先熟练掌握单项式的系数和次数、整式、多项式的相关核心概念，再逐一判断每个选项的正误：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和；②整式包括单项式和多项式，注意π是常数，不是字母；③多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，项数是多项式中单项式的总个数，按照这几个概念逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式$-am$中，$a$和$m$都是字母，数字因数是$-1$，因此系数是$-1$，不是$-a$，该选项错误。
B选项：单项式$-3^2a^3b$中，$-3^2=-9$是数字部分，不算入次数，仅计算字母的指数和：$3+1=4$，因此次数是4，不是6，该选项错误。
C选项：$π$是常数，因此$\frac{mn}{π}$是单项式，属于整式，该选项错误。
D选项：多项式$-a^2b^2+3ab^2-5$中，最高次项是$-a^2b^2$，次数为$2+2=4$，且共有3个单项式，因此是四次三项式，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数与次数，多项式的次数与项数，整式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易误将$π$当作字母、将单项式里的数字指数算入次数，只要准确掌握相关定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
