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4. 下列说法错误的是 （）
A.代数式 $x+1, a^2, -1$ 都是整式
B.单项式 $ab$ 的系数是1,次数是2
C.多项式 $3x - y$ 的项是 $3x$ 和 $y$
D.多项式 $m^3 - m^2 + 2n$ 是三次三项式
A.代数式 $x+1, a^2, -1$ 都是整式
B.单项式 $ab$ 的系数是1,次数是2
C.多项式 $3x - y$ 的项是 $3x$ 和 $y$
D.多项式 $m^3 - m^2 + 2n$ 是三次三项式
答案
C
解析
【分析】
本题考查整式相关的基础概念，解题时需逐个回忆整式、单项式、多项式的定义及相关性质，依次对每个选项进行判断，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：整式包括单项式和多项式，其中单独的数或字母、数与字母的乘积是单项式，几个单项式的和是多项式。$x+1$是多项式，$a^2$是单项式，$-1$是单独的数属于单项式，三者都是整式，该选项说法正确。
2. 选项B：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是所有字母的指数和。单项式$ab$的数字因数是1，$a$的指数为1，$b$的指数为1，次数为$1+1=2$，该选项说法正确。
3. 选项C：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项需要包含前面的符号。多项式$3x - y = 3x + (-y)$，因此它的项是$3x$和$-y$，不是$y$，该选项说法错误。
4. 选项D：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式含有几个单项式就叫几项式。$m^3 - m^2 + 2n$中最高次项是$m^3$，次数为3，共有3个单项式，因此是三次三项式，该选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的定义
2. 单项式的相关概念
3. 多项式的相关概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于判断多项式的项时容易忽略项前面的符号，学习过程中要准确掌握各类概念的细节，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题考查整式相关的基础概念，解题时需逐个回忆整式、单项式、多项式的定义及相关性质，依次对每个选项进行判断，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：整式包括单项式和多项式，其中单独的数或字母、数与字母的乘积是单项式，几个单项式的和是多项式。$x+1$是多项式，$a^2$是单项式，$-1$是单独的数属于单项式，三者都是整式，该选项说法正确。
2. 选项B：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是所有字母的指数和。单项式$ab$的数字因数是1，$a$的指数为1，$b$的指数为1，次数为$1+1=2$，该选项说法正确。
3. 选项C：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项需要包含前面的符号。多项式$3x - y = 3x + (-y)$，因此它的项是$3x$和$-y$，不是$y$，该选项说法错误。
4. 选项D：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式含有几个单项式就叫几项式。$m^3 - m^2 + 2n$中最高次项是$m^3$，次数为3，共有3个单项式，因此是三次三项式，该选项说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的定义
2. 单项式的相关概念
3. 多项式的相关概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于判断多项式的项时容易忽略项前面的符号，学习过程中要准确掌握各类概念的细节，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
5. 代数式 $x^2+5, -1, x^2-8x+2, π, \dfrac{5}{x}, x^2+\dfrac{5}{x+1}$ 中,整式有 （）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，核心判定标准是代数式的分母中不能含有字母，其中单独的数或字母也是单项式，属于整式。接下来只需要逐个验证给出的6个代数式是否符合整式的要求，最后统计符合要求的整式个数，匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确整式定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
对每个代数式逐一判断：
1. $x^2+5$是多项式，属于整式；
2. $-1$是单独的常数，属于单项式，是整式；
3. $x^2-8x+2$是多项式，属于整式；
4. $π$是固定常数，属于单项式，是整式；
5. $\dfrac{5}{x}$分母含字母$x$，不属于整式；
6. $x^2+\dfrac{5}{x+1}$的第二项分母含字母$x$，不属于整式。
综上，整式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
整式的概念；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题是整式相关的基础概念题，易错点在于容易误将$π$当做字母、或将分母含字母的代数式判定为整式，牢记整式的判定规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确整式的判定规则：整式是单项式和多项式的统称，核心判定标准是代数式的分母中不能含有字母，其中单独的数或字母也是单项式，属于整式。接下来只需要逐个验证给出的6个代数式是否符合整式的要求，最后统计符合要求的整式个数，匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确整式定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
对每个代数式逐一判断：
1. $x^2+5$是多项式，属于整式；
2. $-1$是单独的常数，属于单项式，是整式；
3. $x^2-8x+2$是多项式，属于整式；
4. $π$是固定常数，属于单项式，是整式；
5. $\dfrac{5}{x}$分母含字母$x$，不属于整式；
6. $x^2+\dfrac{5}{x+1}$的第二项分母含字母$x$，不属于整式。
综上，整式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
整式的概念；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题是整式相关的基础概念题，易错点在于容易误将$π$当做字母、或将分母含字母的代数式判定为整式，牢记整式的判定规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
6. 某快递公司的收费标准为5 kg以内收费a元，超过5 kg的部分每千克按3元收费，小天寄8 kg的包裹，需要支付（）
A.(a+24)元
B.(15+a)元
C.(9+a)元
D.(5a+3)元
A.(a+24)元
B.(15+a)元
C.(9+a)元
D.(5a+3)元
答案
C
解析
【分析】
本题属于分段计费类的代数式应用题，解题思路如下：首先明确收费规则分两部分：①5kg及以内：固定收a元；②超过5kg的部分：每千克收3元。第一步先计算包裹重量超出5kg的部分，第二步计算超出部分的总费用，第三步将基础费用和超出部分费用相加得到总费用，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算超出5kg的包裹重量：$ 8 - 5 = 3\ \mathrm{kg} $
第二步：计算超出部分的费用：超出部分每千克3元，所以费用为 $ 3 × 3 = 9\ \mathrm{元} $
第三步：计算总费用：总费用=5kg以内基础费用+超出部分费用，即 $ a + 9 = (9+a)\ \mathrm{元} $
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分段计费，列代数式
【点评】
本题结合生活中的快递收费场景考查代数式的应用，易错点是容易误将全部重量按3元/千克计算，只要清晰拆分收费的两个部分，准确计算各段费用再合并，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
本题属于分段计费类的代数式应用题，解题思路如下：首先明确收费规则分两部分：①5kg及以内：固定收a元；②超过5kg的部分：每千克收3元。第一步先计算包裹重量超出5kg的部分，第二步计算超出部分的总费用，第三步将基础费用和超出部分费用相加得到总费用，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算超出5kg的包裹重量：$ 8 - 5 = 3\ \mathrm{kg} $
第二步：计算超出部分的费用：超出部分每千克3元，所以费用为 $ 3 × 3 = 9\ \mathrm{元} $
第三步：计算总费用：总费用=5kg以内基础费用+超出部分费用，即 $ a + 9 = (9+a)\ \mathrm{元} $
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分段计费，列代数式
【点评】
本题结合生活中的快递收费场景考查代数式的应用，易错点是容易误将全部重量按3元/千克计算，只要清晰拆分收费的两个部分，准确计算各段费用再合并，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
7. 当$x=1$时,整式$ax^3+bx-1$的值等于100,那么当$x=-1$时,整式$ax^3+bx-1$的值为 ()
A.$-100$
B.$100$
C.$-102$
D.$102$
A.$-100$
B.$100$
C.$-102$
D.$102$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用x=1时代数式的取值，求出a+b的整体数值，再将x=-1代入所求整式，把整式变形为含有a+b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
1. 将$x=1$代入整式$ax^3+bx-1=100$，可得：
$a×1^3 + b×1 -1 = 100$
化简得$a+b-1=100$，即$a+b=101$。
2. 将$x=-1$代入整式$ax^3+bx-1$，可得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) -1 = -a -b -1$
将式子变形为含$a+b$的结构：$-(a+b)-1$。
3. 把$a+b=101$整体代入上式计算：
$-101 -1 = -102$。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，整式运算，整体代入法
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，核心是运用整体代入思想，无需计算单个未知数的具体值即可快速得出结果，能有效考查学生对整式变形和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先利用x=1时代数式的取值，求出a+b的整体数值，再将x=-1代入所求整式，把整式变形为含有a+b的形式，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求出a、b的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
1. 将$x=1$代入整式$ax^3+bx-1=100$，可得：
$a×1^3 + b×1 -1 = 100$
化简得$a+b-1=100$，即$a+b=101$。
2. 将$x=-1$代入整式$ax^3+bx-1$，可得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) -1 = -a -b -1$
将式子变形为含$a+b$的结构：$-(a+b)-1$。
3. 把$a+b=101$整体代入上式计算：
$-101 -1 = -102$。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，整式运算，整体代入法
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，核心是运用整体代入思想，无需计算单个未知数的具体值即可快速得出结果，能有效考查学生对整式变形和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x,y$的多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m+2} -5mn$是五次四项式($m$，$n$为有理数)，且单项式$5x^{4-m}y^{n-3}$的次数与该多项式的次数相同. 求$m$，$n$的值.
答案
解：
因为多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m+2} -5mn$是五次四项式，
该多项式前两项的次数分别为$1+3=4$、$4$，
所以最高次项为$x^2y^{m+2}$，其次数为5，
即$2 + (m+2) = 5$，
解得$m=1$。
又因为单项式$5x^{4-m}y^{n-3}$的次数与该多项式的次数相同，即次数为5，
单项式的次数为所有字母的指数和，因此：
$(4-m) + (n-3) = 5$，
将$m=1$代入上式，得$(4-1)+(n-3)=5$，
解得$n=5$。
综上，$m=1$，$n=5$。
因为多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m+2} -5mn$是五次四项式，
该多项式前两项的次数分别为$1+3=4$、$4$，
所以最高次项为$x^2y^{m+2}$，其次数为5，
即$2 + (m+2) = 5$，
解得$m=1$。
又因为单项式$5x^{4-m}y^{n-3}$的次数与该多项式的次数相同，即次数为5，
单项式的次数为所有字母的指数和，因此：
$(4-m) + (n-3) = 5$，
将$m=1$代入上式，得$(4-1)+(n-3)=5$，
解得$n=5$。
综上，$m=1$，$n=5$。
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。观察给定的多项式，先计算已知项的次数：$xy^3$的次数为$1+3=4$，$-3x^4$的次数为$4$，$-5mn$是常数项次数为0，结合多项式是五次四项式，可知最高次项只能是$x^2y^{m+2}$，据此列方程可求出$m$的值；再根据单项式次数的定义（单项式的次数是所有字母的指数和），结合单项式次数与多项式次数相同的条件，代入已求的$m$值即可求出$n$的值。
【解析】
解：
∵ 多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m+2} -5mn$是五次四项式，
该多项式前两项的次数分别为$1+3=4$、$4$，常数项$-5mn$次数为0，
∴ 最高次项为$x^2y^{m+2}$，其次数为5，
即 $2 + (m+2) = 5$，
解得 $m=1$。
又
∵ 单项式$5x^{4-m}y^{n-3}$的次数与该多项式的次数相同，即次数为5，
根据单项式次数为所有字母的指数和，可得：
$(4-m) + (n-3) = 5$，
将$m=1$代入上式，得：
$(4-1)+(n-3)=5$，
解得 $n=5$。
【答案】
$m=1$，$n=5$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查整式相关的核心概念，解题的关键是准确理解多项式、单项式次数的定义，将次数条件转化为方程求解，属于概念应用型基础题，熟练掌握相关概念是得分的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。观察给定的多项式，先计算已知项的次数：$xy^3$的次数为$1+3=4$，$-3x^4$的次数为$4$，$-5mn$是常数项次数为0，结合多项式是五次四项式，可知最高次项只能是$x^2y^{m+2}$，据此列方程可求出$m$的值；再根据单项式次数的定义（单项式的次数是所有字母的指数和），结合单项式次数与多项式次数相同的条件，代入已求的$m$值即可求出$n$的值。
【解析】
解：
∵ 多项式$xy^3 - 3x^4 + x^2y^{m+2} -5mn$是五次四项式，
该多项式前两项的次数分别为$1+3=4$、$4$，常数项$-5mn$次数为0，
∴ 最高次项为$x^2y^{m+2}$，其次数为5，
即 $2 + (m+2) = 5$，
解得 $m=1$。
又
∵ 单项式$5x^{4-m}y^{n-3}$的次数与该多项式的次数相同，即次数为5，
根据单项式次数为所有字母的指数和，可得：
$(4-m) + (n-3) = 5$，
将$m=1$代入上式，得：
$(4-1)+(n-3)=5$，
解得 $n=5$。
【答案】
$m=1$，$n=5$
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查整式相关的核心概念，解题的关键是准确理解多项式、单项式次数的定义，将次数条件转化为方程求解，属于概念应用型基础题，熟练掌握相关概念是得分的关键。
【难度系数】
0.8
