14.(1)一般地,数轴上表示数m和数n的两
点之间的距离等于|m-nl.如果表示数
α和-2的两点之间的距离是5,那么
a=
(2)若数轴上表示数a的点位于-2与6
之间,求|a+2|十|a-6|的值.
(3)当a取何值时,|a+7|+|a-2|+
la-3|的值最小,最小值是多少？请说明
理由.
点之间的距离等于|m-nl.如果表示数
α和-2的两点之间的距离是5,那么
a=
3或-7
.(2)若数轴上表示数a的点位于-2与6
之间,求|a+2|十|a-6|的值.
8
(3)当a取何值时,|a+7|+|a-2|+
la-3|的值最小,最小值是多少？请说明
理由.
当a=2时，最小值为10
答案
【解析】：
本题主要考察数轴上两点间的距离公式以及绝对值的性质。
(1) 根据数轴上两点间的距离公式，表示数$a$和$-2$的两点之间的距离是$|a-(-2)| = |a+2|$，题目给出这个距离为5，
因此有方程：$|a+2| = 5$，
解这个方程，我们得到两个$a+2 = 5 \quad 或 \quad a+2 = -5$，
解得：$a = 3 \quad 或 \quad a = -7$，
所以$a$的值为$3$或$-7$。
(2) 因为数轴上表示数$a$的点位于$-2$与$6$之间，
所以$-2 ＜ a ＜ 6$，
在这个范围内，$a+2$是正数，$a-6$是负数。
因此，$|a+2| = a+2$，$|a-6| = 6-a$，
所以，$|a+2| + |a-6| = (a+2) + (6-a) = 8$。
(3) 要求$|a+7|+|a-2|+|a-3|$的最小值，我们需要考虑数轴上表示数$a$的点与表示数$-7$，$2$，$3$的点之间的距离和。
当$a$在$-7$和$3$之间（包括$-7$和$3$）时，这个距离和是最小的。
特别地，当$a=2$时（即$a$取中间点），距离和达到最小值。
此时，$|a+7| = 9$，$|a-2| = 0$，$|a-3| = 1$，
所以，最小值为$9+0+1=10$（当$a$取$-7$到$3$之间的任何值时，包括端点，通过分段计算可以发现最小值在$a=2$时取得）。
【答案】：
(1) $a = 3 或 -7$；
(2) $8$；
(3) 当$a=2$时，最小值为$10$。
本题主要考察数轴上两点间的距离公式以及绝对值的性质。
(1) 根据数轴上两点间的距离公式，表示数$a$和$-2$的两点之间的距离是$|a-(-2)| = |a+2|$，题目给出这个距离为5，
因此有方程：$|a+2| = 5$，
解这个方程，我们得到两个$a+2 = 5 \quad 或 \quad a+2 = -5$，
解得：$a = 3 \quad 或 \quad a = -7$，
所以$a$的值为$3$或$-7$。
(2) 因为数轴上表示数$a$的点位于$-2$与$6$之间，
所以$-2 ＜ a ＜ 6$，
在这个范围内，$a+2$是正数，$a-6$是负数。
因此，$|a+2| = a+2$，$|a-6| = 6-a$，
所以，$|a+2| + |a-6| = (a+2) + (6-a) = 8$。
(3) 要求$|a+7|+|a-2|+|a-3|$的最小值，我们需要考虑数轴上表示数$a$的点与表示数$-7$，$2$，$3$的点之间的距离和。
当$a$在$-7$和$3$之间（包括$-7$和$3$）时，这个距离和是最小的。
特别地，当$a=2$时（即$a$取中间点），距离和达到最小值。
此时，$|a+7| = 9$，$|a-2| = 0$，$|a-3| = 1$，
所以，最小值为$9+0+1=10$（当$a$取$-7$到$3$之间的任何值时，包括端点，通过分段计算可以发现最小值在$a=2$时取得）。
【答案】：
(1) $a = 3 或 -7$；
(2) $8$；
(3) 当$a=2$时，最小值为$10$。
15.(运算能力、推理能力)如图,已知线段AB= 20cm,点P以每秒1cm的速度从点A沿AB向点B运动,经过1s后点Q以每秒 2cm的速度从点B沿BA向点A运动,当点Q到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为ts.
(1)当t= 4时,求线段PQ的长度为
(2)当t为何值时,线段PQ的长为4cm?
(3)当t为何值时,使得Q恰好是A,B,P 中两点为端点的线段的中点？
(2)解：点$Q$运动的时间为$(t - 1)\space s$（$t\geq1$），$AP = t\space cm$，$BQ = 2(t - 1)\space cm$。
当$P$、$Q$相遇前，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - t - 2(t - 1)=20 - t - 2t + 2=22 - 3t$，令$22 - 3t = 4$，解得$t = 6$。
当$P$、$Q$相遇后，$PQ=AP + BQ - AB=t + 2(t - 1)-20=3t - 2 - 20=3t - 22$，令$3t - 22 = 4$，解得$t=\frac{26}{3}$。
点$Q$到达$A$点时，$BQ = 20\space cm$，则$2(t - 1)=20$，$t = 11\space s$，$\frac{26}{3}\approx8.67＜11$，符合题意。当$t＜1$时，点$Q$未出发，$PQ = 20 - t$，令$20 - t = 4$，解得$t = 16$（舍去）。综上，$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$。
(3)解：$t\geq1$，$AQ=AB - BQ=20 - 2(t - 1)=22 - 2t\space cm$，$BP=AB - AP=20 - t\space cm$。
情况一：$Q$是$AB$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AB = 10\space cm$，则$22 - 2t = 10$，解得$t = 6$。
情况二：$Q$是$AP$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AP$，即$22 - 2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}=8.8$。
情况三：$Q$是$BP$的中点，$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$2(t - 1)=\frac{1}{2}(20 - t)$，$4(t - 1)=20 - t$，$4t - 4 = 20 - t$，$5t = 24$，解得$t = 4.8$。
综上，$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$。
(1)当t= 4时,求线段PQ的长度为
10cm
.(2)当t为何值时,线段PQ的长为4cm?
(3)当t为何值时,使得Q恰好是A,B,P 中两点为端点的线段的中点？
(2)解：点$Q$运动的时间为$(t - 1)\space s$（$t\geq1$），$AP = t\space cm$，$BQ = 2(t - 1)\space cm$。
当$P$、$Q$相遇前，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - t - 2(t - 1)=20 - t - 2t + 2=22 - 3t$，令$22 - 3t = 4$，解得$t = 6$。
当$P$、$Q$相遇后，$PQ=AP + BQ - AB=t + 2(t - 1)-20=3t - 2 - 20=3t - 22$，令$3t - 22 = 4$，解得$t=\frac{26}{3}$。
点$Q$到达$A$点时，$BQ = 20\space cm$，则$2(t - 1)=20$，$t = 11\space s$，$\frac{26}{3}\approx8.67＜11$，符合题意。当$t＜1$时，点$Q$未出发，$PQ = 20 - t$，令$20 - t = 4$，解得$t = 16$（舍去）。综上，$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$。
(3)解：$t\geq1$，$AQ=AB - BQ=20 - 2(t - 1)=22 - 2t\space cm$，$BP=AB - AP=20 - t\space cm$。
情况一：$Q$是$AB$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AB = 10\space cm$，则$22 - 2t = 10$，解得$t = 6$。
情况二：$Q$是$AP$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AP$，即$22 - 2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}=8.8$。
情况三：$Q$是$BP$的中点，$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$2(t - 1)=\frac{1}{2}(20 - t)$，$4(t - 1)=20 - t$，$4t - 4 = 20 - t$，$5t = 24$，解得$t = 4.8$。
综上，$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$。
答案
(1) 解：当$t = 4$时，点$P$运动的路程为$1×4 = 4\space cm$，则$AP = 4\space cm$。点$Q$比点$P$晚出发$1\space s$，此时点$Q$运动的时间为$4 - 1=3\space s$，运动的路程为$2×3 = 6\space cm$，则$BQ = 6\space cm$。因为$AB = 20\space cm$，所以$PQ=AB - AP - BQ=20 - 4 - 6 = 10\space cm$。
(2) 解：点$Q$运动的时间为$(t - 1)\space s$（$t\geq1$），$AP = t\space cm$，$BQ = 2(t - 1)\space cm$。
当$P$、$Q$相遇前，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - t - 2(t - 1)=20 - t - 2t + 2=22 - 3t$，令$22 - 3t = 4$，解得$t = 6$。
当$P$、$Q$相遇后，$PQ=AP + BQ - AB=t + 2(t - 1)-20=3t - 2 - 20=3t - 22$，令$3t - 22 = 4$，解得$t=\frac{26}{3}$。
点$Q$到达$A$点时，$BQ = 20\space cm$，则$2(t - 1)=20$，$t = 11\space s$，$\frac{26}{3}\approx8.67＜11$，符合题意。当$t＜1$时，点$Q$未出发，$PQ = 20 - t$，令$20 - t = 4$，解得$t = 16$（舍去）。综上，$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$。
(3) 解：$t\geq1$，$AQ=AB - BQ=20 - 2(t - 1)=22 - 2t\space cm$，$BP=AB - AP=20 - t\space cm$。
情况一：$Q$是$AB$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AB = 10\space cm$，则$22 - 2t = 10$，解得$t = 6$。
情况二：$Q$是$AP$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AP$，即$22 - 2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}=8.8$。
情况三：$Q$是$BP$的中点，$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$2(t - 1)=\frac{1}{2}(20 - t)$，$4(t - 1)=20 - t$，$4t - 4 = 20 - t$，$5t = 24$，解得$t = 4.8$。
综上，$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$。
答案：(1)$10\space cm$；(2)$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$；(3)$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$
(2) 解：点$Q$运动的时间为$(t - 1)\space s$（$t\geq1$），$AP = t\space cm$，$BQ = 2(t - 1)\space cm$。
当$P$、$Q$相遇前，$PQ = AB - AP - BQ = 20 - t - 2(t - 1)=20 - t - 2t + 2=22 - 3t$，令$22 - 3t = 4$，解得$t = 6$。
当$P$、$Q$相遇后，$PQ=AP + BQ - AB=t + 2(t - 1)-20=3t - 2 - 20=3t - 22$，令$3t - 22 = 4$，解得$t=\frac{26}{3}$。
点$Q$到达$A$点时，$BQ = 20\space cm$，则$2(t - 1)=20$，$t = 11\space s$，$\frac{26}{3}\approx8.67＜11$，符合题意。当$t＜1$时，点$Q$未出发，$PQ = 20 - t$，令$20 - t = 4$，解得$t = 16$（舍去）。综上，$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$。
(3) 解：$t\geq1$，$AQ=AB - BQ=20 - 2(t - 1)=22 - 2t\space cm$，$BP=AB - AP=20 - t\space cm$。
情况一：$Q$是$AB$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AB = 10\space cm$，则$22 - 2t = 10$，解得$t = 6$。
情况二：$Q$是$AP$的中点，$AQ=\frac{1}{2}AP$，即$22 - 2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}=8.8$。
情况三：$Q$是$BP$的中点，$BQ=\frac{1}{2}BP$，即$2(t - 1)=\frac{1}{2}(20 - t)$，$4(t - 1)=20 - t$，$4t - 4 = 20 - t$，$5t = 24$，解得$t = 4.8$。
综上，$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$。
答案：(1)$10\space cm$；(2)$t = 6$或$t=\frac{26}{3}$；(3)$t = 4.8$或$t = 6$或$t = 8.8$
