1. 如图,C为线段AD上一点,点B为CD的中点,且AD= 12,BD= 3,求AC的长.

解：
∵点B为CD的中点，BD=3
∴CD=2BD=2×3=6
∵AD=12
∴AC=AD-CD=12-6=6
答：AC的长为6。

2. 如图,C是线段AB上一点,D是AC的中点,E是BC的中点,AE= 7 cm,BC= 6 cm.
(1)求线段AB的长；
(2)求线段DE的长.

A——D——C——E——B

【解析】：本题可根据线段中点的性质以及线段之间的数量关系来求解。
（1）求线段$AB$的长：
已知$E$是$BC$的中点，$BC = 6cm$，根据线段中点的性质：若点$M$是线段$NQ$的中点，则$NM=\frac{1}{2}NQ$，可得$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
因为$AE = 7cm$，且$AE=AC + CE$，所以$AC=AE - CE=7 - 3 = 4cm$。
又因为$AB=AC + BC$，将$AC = 4cm$，$BC = 6cm$代入可得$AB=4 + 6 = 10cm$。
（2）求线段$DE$的长：
由（1）可知$AC = 4cm$，$BC = 6cm$，因为$D$是$AC$的中点，根据线段中点的性质可得$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4 = 2cm$。
已知$CE = 3cm$，且$DE=DC + CE$，所以$DE=2 + 3 = 5cm$。
【答案】：（1）$AB = 10cm$；（2）$DE = 5cm$。

3. 如图,已知C,D为线段AB上顺次两点,M,N分别是AC,BD的中点.
(1)若AB= 24,CD= 10,求AC+DB的长；
(2)若AB= a,CD= b,请用含a,b的式子表示出MN的长.
A——M——C——D——N——B

【解析】：
本题主要考查线段的计算，利用中点性质和线段和差关系进行计算。
(1) 要求$AC + DB$的长，可根据$AB$与$CD$的关系，通过$AB$减去$CD$再加上$2(AC + DB - CD)$等于$AB$来求解。
因为$AB = AC + CD + DB$，已知$AB = 24$，$CD = 10$，所以$AC + DB=AB - CD = 24 - 10 = 14$。
(2) 要求用含$a$，$b$的式子表示$MN$的长，先根据中点性质得到$MC$和$DN$的表达式，再结合$MN = MC + CD + DN$进行推导。
因为$M$是$AC$中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；因为$N$是$BD$中点，所以$DN=\frac{1}{2}DB$。
又因为$AB = AC + CD + DB=a$，$CD = b$，所以$AC + DB=a - b$。
$MN = MC + CD + DN=\frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}(AC + DB)+CD$，将$AC + DB=a - b$，$CD = b$代入可得$MN=\frac{1}{2}(a - b)+b=\frac{a + b}{2}$。
【答案】：
(1)解：∵$AB = AC + CD + DB$，$AB = 24$，$CD = 10$
∴$AC + DB=AB - CD = 24 - 10 = 14$
(2)解：∵$M$是$AC$中点，$N$是$BD$中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{2}DB$
∵$AB = AC + CD + DB=a$，$CD = b$
∴$AC + DB=a - b$
$MN = MC + CD + DN=\frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}(AC + DB)+CD=\frac{1}{2}(a - b)+b=\frac{a + b}{2}$

4. 研究数学问题常常是从特殊走向一般. 如图,点A,D,C,E,B在同一条直线上,D是AC的中点,E是CB的中点.
(1)若AB= 20,C是AB的中点,求DE的长；
(2)若C是线段AB上任意一点,AB= a,则DE如何用含a的代数式表示？
A——D——C——E——B

(1)解：∵C是AB的中点，AB=20
∴AC=CB=10
∵D是AC的中点
∴DC=1/2AC=5
∵E是CB的中点
∴CE=1/2CB=5
∴DE=DC+CE=5+5=10
(2)解：∵D是AC的中点
∴DC=1/2AC
∵E是CB的中点
∴CE=1/2CB
∵AB=a，AC+CB=AB
∴DE=DC+CE=1/2AC+1/2CB=1/2(AC+CB)=1/2AB=1/2a