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等腰三角形的判定
有两个角
有两个角
相等
的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边
”)。答案
相等 等边
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形判定定理的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定理的表述即可。我们已知等腰三角形的性质是“等边对等角”，反过来推导判定规则时，若一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等，该三角形就是等腰三角形，对应的简写表述为“等角对等边”，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该结论简写成“等角对等边”，因此第一个空填“相等”，第二个空填“等边”。
【答案】
相等 等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对教材核心定理的识记情况，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.95
这道题考查等腰三角形判定定理的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定理的表述即可。我们已知等腰三角形的性质是“等边对等角”，反过来推导判定规则时，若一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等，该三角形就是等腰三角形，对应的简写表述为“等角对等边”，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该结论简写成“等角对等边”，因此第一个空填“相等”，第二个空填“等边”。
【答案】
相等 等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对教材核心定理的识记情况，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.95
1. 等腰三角形的判定
[典例1]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG//AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明。
典例解析
[典例1]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG//AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明。
典例解析
答案
证明：图中的等腰三角形是$△ AEF$。
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EG// AD$，
∴$∠ E = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EFA = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ E = ∠ EFA$。
∴$AE = AF$（等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EG// AD$，
∴$∠ E = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EFA = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ E = ∠ EFA$。
∴$AE = AF$（等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
解析
【分析】
要确定图中的等腰三角形，首先回忆等腰三角形的判定方法：等角对等边，所以我们需要找到有两个内角相等的三角形。结合已知条件，先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再根据平行线的性质，通过同位角、内错角的等量关系进行代换，就能得到三角形中两个相等的内角，进而完成判定。
【解析】
解：图中的等腰三角形是$△ AEF$，证明如下：
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EG// AD$，
∴$∠ E = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EFA = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ E = ∠ EFA$。
∴$AE = AF$（等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
【答案】
$△ AEF$是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题型，解题关键是结合角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，找到三角形中相等的两个内角，解题时要注意准确识别平行线对应的同位角、内错角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
要确定图中的等腰三角形，首先回忆等腰三角形的判定方法：等角对等边，所以我们需要找到有两个内角相等的三角形。结合已知条件，先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再根据平行线的性质，通过同位角、内错角的等量关系进行代换，就能得到三角形中两个相等的内角，进而完成判定。
【解析】
解：图中的等腰三角形是$△ AEF$，证明如下：
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD = ∠ CAD$。
∵$EG// AD$，
∴$∠ E = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），
$∠ EFA = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）。
∴$∠ E = ∠ EFA$。
∴$AE = AF$（等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
【答案】
$△ AEF$是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题型，解题关键是结合角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，找到三角形中相等的两个内角，解题时要注意准确识别平行线对应的同位角、内错角，避免角的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
2. 作等腰三角形
[典例2]利用直尺和圆规作图:已知线段$a$,求作等腰三角形$ABC$,使$AB=AC$, $BC=a$,高$AD=\frac{1}{2}a$.
典例2
作法 如图.
(1)作$BC=a$.
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$.
(3)在$DM$上取一点$A$,使$DA=BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接$AB$,$AC$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.
[典例2]利用直尺和圆规作图:已知线段$a$,求作等腰三角形$ABC$,使$AB=AC$, $BC=a$,高$AD=\frac{1}{2}a$.
典例2
作法 如图.
(1)作$BC=a$.
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$.
(3)在$DM$上取一点$A$,使$DA=BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接$AB$,$AC$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.
答案
解：
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到点$A$；
(4) 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到点$A$；
(4) 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
解析
【分析】
要作出符合要求的等腰三角形，可结合等腰三角形的性质推导作图思路：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，因此顶点A一定在底边BC的垂直平分线上。首先先确定长度为a的底边BC，再作BC的垂直平分线得到BC的中点D，此时BD=DC=$\frac{1}{2}a$，再根据高AD=$\frac{1}{2}a$的要求，在垂直平分线上截取对应长度得到点A，最后连接AB、AC即可。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 用直尺和圆规作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，$MN$与$BC$交于点$D$，此时D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}a$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到顶点$A$；
(4) 分别连接$AB$、$AC$，所得三角形即为所求。
【答案】
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到点$A$；
(4) 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
尺规基本作图、线段垂直平分线作法、等腰三角形性质
【点评】
本题是基础尺规作图应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质快速定位顶点的位置，需要熟练掌握作已知线段、作线段垂直平分线等基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8
要作出符合要求的等腰三角形，可结合等腰三角形的性质推导作图思路：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，因此顶点A一定在底边BC的垂直平分线上。首先先确定长度为a的底边BC，再作BC的垂直平分线得到BC的中点D，此时BD=DC=$\frac{1}{2}a$，再根据高AD=$\frac{1}{2}a$的要求，在垂直平分线上截取对应长度得到点A，最后连接AB、AC即可。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 用直尺和圆规作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，$MN$与$BC$交于点$D$，此时D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}a$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到顶点$A$；
(4) 分别连接$AB$、$AC$，所得三角形即为所求。
【答案】
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在射线$DM$上截取$DA=\frac{1}{2}a$，得到点$A$；
(4) 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
尺规基本作图、线段垂直平分线作法、等腰三角形性质
【点评】
本题是基础尺规作图应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质快速定位顶点的位置，需要熟练掌握作已知线段、作线段垂直平分线等基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8
