1. 在下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是().

A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
C.2∠A=∠B+∠C
D.∠A:∠B:∠C=2:2:1

1. D

【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，只需验证三角形中是否存在两个相等的内角（等角对等边）。解题时可结合三角形内角和为180°，分别计算每个选项中三个内角的度数，判断是否有两个角相等即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
选项A：∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 80° = 60°，三个内角度数为40°、60°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
选项B：总份数为1+2+3=6，每份度数为180°÷6=30°，三个内角度数为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
选项C：由2∠A=∠B+∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能得到∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
选项D：总份数为2+2+1=5，每份度数为180°÷5=36°，三个内角度数为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，核心是结合三角形内角和定理计算各角度数，只要掌握基础定理、细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8

2. 如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以40海里每小时的速度向正北方向航行,两个小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为海里.

2. 80

【分析】
解题时首先根据行程公式计算海轮航行的距离MN，再结合方向角推导三角形PMN的内角度数，找到相等的内角后，利用等腰三角形等角对等边的性质即可求出N处与灯塔P的距离。具体步骤：第一步用速度乘时间算出MN的长度；第二步根据平行直线内错角相等得到三角形的两个内角度数，再用三角形内角和算出第三个角的度数；第三步判断等角对应的边相等，即可得到所求距离。
【解析】
解：海轮航行2小时的路程为：
$MN=40×2=80$（海里）
根据方向角的性质可得：$∠ PNM=40°$，$∠ PMN=70°$
在$△ PMN$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ MPN=180°-∠ PNM-∠ PMN=180°-40°-70°=70°$
$\therefore ∠ MPN=∠ PMN=70°$
根据等腰三角形等角对等边的性质，可得：
$PN=MN=80$（海里）
【答案】
80
【知识点】
方向角，等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角与等腰三角形的判定结合考查，解题核心是正确从方向角中提取三角形的内角度数，再利用等腰三角形的性质求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BF平分∠ABC交CD于点E,交AC于点F.求证CE=CF.

3. 证明
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.

【分析】
要证明CE=CF，观察CE和CF同属于△CEF，可优先利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠CFE=∠CEF即可。首先结合已知的两个直角条件，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBF与∠CFB互余、∠DBE与∠DEB互余；再利用BF平分∠ABC的性质得到∠CBF=∠DBE，由等角的余角相等可推出∠CFB=∠DEB；最后结合对顶角相等的性质，可得∠DEB=∠FEC，等量代换后即可得到∠CFB=∠FEC，进而证明结论。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=90°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又
∵∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.
【答案】
CE=CF，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的等量代换得到相等的内角，再利用等腰三角形的判定求证线段相等，熟练掌握直角三角形余角性质、对顶角相等和等角对等边即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

4. 利用直尺和圆规作图:已知等腰三角形的底边长为$a$,底边上的中线长为$b$,求作这个等腰三角形.

4. 解 如图.
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=b.
(4)连接AC,CB,则△ABC就是所求作的等腰三角形.

【分析】
要作满足条件的等腰三角形，可结合等腰三角形的性质推导作图步骤：等腰三角形底边上的中线垂直平分底边，因此等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上，且顶点到底边中点的距离等于底边上的中线长。因此我们可以先确定长度为a的底边，再作底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取长度为b的中线确定顶点，最后连接各边即可。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 用直尺和圆规作线段$AB = a$；
(2) 作线段$AB$的垂直平分线$MN$，$MN$与$AB$交于点$D$，此时$D$为$AB$的中点；
(3) 在垂直平分线$MN$上取点$C$，使得线段$DC$的长度为$b$；
(4) 依次连接$AC$、$CB$，所得$△ ABC$即为所求作的等腰三角形。
【答案】
解 如图。
(1)作线段$AB=a$。
(2)作线段$AB$的垂直平分线$MN$,与$AB$相交于点$D$。
(3)在$MN$上取一点$C$,使$DC=b$。
(4)连接$AC$,$CB$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 作线段的垂直平分线
3. 尺规作线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是利用等腰三角形底边上的中线的性质确定顶点的位置，需要熟练掌握作线段、作线段垂直平分线的基本尺规作图方法。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$∠ B=∠ C=36°$，$∠ ADE=∠ AED=72°$，则图中的等腰三角形的个数为().


A.3
B.4
C.5
D.6

5. D

【分析】
要判断等腰三角形的个数，需依据“等角对等边”的判定定理，先列出图中所有的三角形，再逐个计算每个三角形的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，同时注意不要遗漏由小三角形组合而成的大三角形。
【解析】
我们逐个分析图中的三角形：
1. △ABC：已知∠B=∠C=36°，两个底角相等，故△ABC是等腰三角形，此时∠BAC=180°-36°×2=108°。
2. △ADE：已知∠ADE=∠AED=72°，两个底角相等，故△ADE是等腰三角形，此时∠DAE=180°-72°×2=36°。
3. △ABD：∠ADB=180°-∠ADE=180°-72°=108°，结合∠B=36°，得∠BAD=180°-108°-36°=36°，故∠B=∠BAD，△ABD是等腰三角形。
4. △AEC：∠AEC=180°-∠AED=180°-72°=108°，结合∠C=36°，得∠EAC=180°-108°-36°=36°，故∠C=∠EAC，△AEC是等腰三角形。
5. △ABE：∠B=36°，∠AEB=∠AED=72°，∠BAE=∠BAD+∠DAE=36°+36°=72°，故∠BAE=∠AEB，△ABE是等腰三角形。
6. △ADC：∠C=36°，∠ADC=∠ADE=72°，∠DAC=∠DAE+∠EAC=36°+36°=72°，故∠DAC=∠ADC，△ADC是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定方法，解题时要按顺序枚举所有三角形，避免漏数组合型的三角形，通过计算内角验证等角关系即可得出结果，属于基础的几何计数类题型。
【难度系数】
0.6

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点$F$，过点$F$作$DE // BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$D$。
(1)试确定$BE$，$DE$，$CD$之间的数量关系，并说明理由；
(2)若$AB + AC = a$，求$△ AED$的周长。

6. 解 (1)DE=BE+CD.
理由:
∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB，
∴∠EBF=∠CBF,∠DCF=∠BCF.
∵DE//BC，
∴∠EFB=∠CBF,∠DFC=∠BCF，
∴∠EFB=∠EBF,∠DFC=∠DCF，
∴BE=EF,CD=DF.
∵DE=EF+DF，
∴DE=BE+CD.
(2)
∵AB+AC=a，
∴AE+BE+AD+CD=a.
∵由(1)得ED=BE+CD，
∴AE+AD+ED=a，
∴△AED的周长为a.

【分析】
(1)要推导BE、DE、CD的数量关系，首先从已知条件入手：BF是∠ABC的平分线、CF是∠ACB的平分线，可得到两组等角；结合DE//BC的条件，根据平行线的内错角相等性质，能进行角的等量代换，推出△BEF和△CDF都是等腰三角形，得到BE=EF、CD=DF，再结合DE=EF+DF即可推出三者的数量关系。
(2)求△AED的周长时，先写出周长的表达式：$C_{△ AED}=AE+ED+AD$，再将(1)中得到的$ED=BE+CD$代入表达式，就能把周长转化为$AE+BE+AD+CD$，也就是$AB+AC$的长度，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
(1) $DE=BE+CD$，理由如下：
∵BF平分$∠ ABC$，CF平分$∠ ACB$，
∴$∠ EBF=∠ CBF$，$∠ DCF=∠ BCF$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ EFB=∠ CBF$，$∠ DFC=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ EFB=∠ EBF$，$∠ DFC=∠ DCF$，
∴$BE=EF$，$CD=DF$（等角对等边）。
又
∵$DE=EF+DF$，
∴$DE=BE+CD$。
(2) $△ AED$的周长$=AE+ED+AD$，
已知$AB+AC=a$，即$AE+BE+AD+CD=a$，
由(1)得$ED=BE+CD$，代入周长表达式可得：
$AE+ED+AD=AE+BE+AD+CD=a$，
即$△ AED$的周长为$a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BE+CD}$；
(2) $△ AED$的周长为$\boldsymbol{a}$。
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”经典模型的典型应用，解题的关键是通过角的等量代换得到等腰三角形，进而对线段进行转化求解。该模型在三角形线段关系、周长计算类问题中高频出现，熟练掌握模型可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.8