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1.若等腰三角形ABC的一个角是$80°$,则它的底角是(
A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
A
).A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形性质的应用，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的核心性质是两底角相等，且三角形内角和固定为180°。题目仅说明有一个角为80°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算底角度数，最后验证计算结果是否符合三角形内角和要求即可得到正确答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的80°角为等腰三角形的底角：此时底角就是80°，三角形三个内角度数为80°、80°、20°，满足内角和180°，该情况成立；
② 若已知的80°角为等腰三角形的顶角：根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$(180{}^{\circ }-80{}^{\circ })÷ 2=50{}^{\circ }$，此时三角形三个内角度数为80°、50°、50°，满足内角和180°，该情况成立。
综上，该等腰三角形的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，易错点是忽略已知角未明确类型，未分类讨论导致漏解，计算出结果后可结合三角形内角和规则验证合理性，减少错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查等腰三角形性质的应用，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的核心性质是两底角相等，且三角形内角和固定为180°。题目仅说明有一个角为80°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算底角度数，最后验证计算结果是否符合三角形内角和要求即可得到正确答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的80°角为等腰三角形的底角：此时底角就是80°，三角形三个内角度数为80°、80°、20°，满足内角和180°，该情况成立；
② 若已知的80°角为等腰三角形的顶角：根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$(180{}^{\circ }-80{}^{\circ })÷ 2=50{}^{\circ }$，此时三角形三个内角度数为80°、50°、50°，满足内角和180°，该情况成立。
综上，该等腰三角形的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，易错点是忽略已知角未明确类型，未分类讨论导致漏解，计算出结果后可结合三角形内角和规则验证合理性，减少错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是AC上一点,且$BC=BD$,若$∠ CBD=46°$,则$∠ A$的度数为________.
答案
46°
解析
【分析】
解题时先从已知条件最充分的等腰△BCD切入，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，先求出∠C的度数；再根据△ABC也是等腰三角形，得到∠ABC=∠C，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△BCD中，$BC=BD$，
∴ △BCD为等腰三角形，$∠ C=∠ BDC$，
∵ $∠ CBD=46°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ C = \frac{180° - ∠ CBD}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
又
∵ 在△ABC中，$AB=AC$，
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=67°$，
∴ $∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 67°×2 = 46°$。
【答案】
$46°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导未知角，理清图中各等腰三角形的边角对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件最充分的等腰△BCD切入，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，先求出∠C的度数；再根据△ABC也是等腰三角形，得到∠ABC=∠C，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在△BCD中，$BC=BD$，
∴ △BCD为等腰三角形，$∠ C=∠ BDC$，
∵ $∠ CBD=46°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ C = \frac{180° - ∠ CBD}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
又
∵ 在△ABC中，$AB=AC$，
∴ △ABC为等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=67°$，
∴ $∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 67°×2 = 46°$。
【答案】
$46°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理逐步推导未知角，理清图中各等腰三角形的边角对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$BC$边上的中线,$∠ BAD=25°$,$AE=AD$,求$∠ EDC$的度数. 
答案
3. 解
∵在△ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,
∴AD 平分∠BAC,且AD⊥BC，
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-77.5°=12.5°.
∵在△ABC 中,AB=AC,AD 为 BC 边上的中线,
∴AD 平分∠BAC,且AD⊥BC，
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-77.5°=12.5°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是$BC$边上的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出$AD$同时是$∠ BAC$的角平分线和$BC$边上的高，由此可得到$∠ DAC$的度数与$∠ ADC=90°$；再根据$AE=AD$可知$△ ADE$是等腰三角形，已知顶角$∠ DAC$的度数，结合三角形内角和即可算出底角$∠ ADE$的度数；最后用$∠ ADC$减去$∠ ADE$，就能求出$∠ EDC$的度数。
【解析】
$\because$在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ DAC=∠ BAD=25°$，$∠ ADC=90°$，
$\because AE=AD$，
$\therefore △ ADE$为等腰三角形，$∠ ADE=∠ AED$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADE=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-25°}{2}=77.5°$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-77.5°=12.5°$。
【答案】
$12.5°$
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质，梳理清楚各个角之间的数量关系，再结合等腰三角形底角的计算方法即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，$AD$是$BC$边上的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出$AD$同时是$∠ BAC$的角平分线和$BC$边上的高，由此可得到$∠ DAC$的度数与$∠ ADC=90°$；再根据$AE=AD$可知$△ ADE$是等腰三角形，已知顶角$∠ DAC$的度数，结合三角形内角和即可算出底角$∠ ADE$的度数；最后用$∠ ADC$减去$∠ ADE$，就能求出$∠ EDC$的度数。
【解析】
$\because$在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
$\therefore ∠ DAC=∠ BAD=25°$，$∠ ADC=90°$，
$\because AE=AD$，
$\therefore △ ADE$为等腰三角形，$∠ ADE=∠ AED$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADE=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-25°}{2}=77.5°$，
$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-77.5°=12.5°$。
【答案】
$12.5°$
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质，梳理清楚各个角之间的数量关系，再结合等腰三角形底角的计算方法即可求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在△ABC中,∠C=25°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,求∠BAC的度数.
答案
4. 解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，
即 DE=CD，
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB，
∴∠ABC=2∠E=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
解析
【分析】
遇到条件中出现两条线段长度之和等于第三条线段的情况，通常采用“截长补短”的辅助线构造方法。本题我们使用“补短”的思路：延长较短的线段DB到E，使BE=AB，这样就可以把AB+BD转化为DE，结合已知AB+BD=CD得到DE=CD。再结合AD⊥BC的条件，可知AD垂直平分CE，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠C，接着利用等腰△ABE的外角性质求出∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：延长DB至点E，使BE=AB，连接AE。
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，即DE=CD，
又
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∴∠E=∠C=25°。
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=25°，
∠ABC是△ABE的外角，故∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E=50°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°。
【答案】
解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，
即 DE=CD，
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB，
∴∠ABC=2∠E=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
【知识点】
截长补短法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，解题关键是通过构造辅助线将线段和的条件转化为相等线段，进而将边的关系转化为角的关系，既考察了辅助线的构造能力，也考察了等腰三角形性质和三角形内角和定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到条件中出现两条线段长度之和等于第三条线段的情况，通常采用“截长补短”的辅助线构造方法。本题我们使用“补短”的思路：延长较短的线段DB到E，使BE=AB，这样就可以把AB+BD转化为DE，结合已知AB+BD=CD得到DE=CD。再结合AD⊥BC的条件，可知AD垂直平分CE，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠C，接着利用等腰△ABE的外角性质求出∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：延长DB至点E，使BE=AB，连接AE。
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，即DE=CD，
又
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∴∠E=∠C=25°。
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=25°，
∠ABC是△ABE的外角，故∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E=50°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°。
【答案】
解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，
即 DE=CD，
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB，
∴∠ABC=2∠E=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
【知识点】
截长补短法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，解题关键是通过构造辅助线将线段和的条件转化为相等线段，进而将边的关系转化为角的关系，既考察了辅助线的构造能力，也考察了等腰三角形性质和三角形内角和定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
