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等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角
(简写成“等边对
(2)等腰三角形底边上的
(1)等腰三角形的两个底角
相等
(简写成“等边对
等角
”).(2)等腰三角形底边上的
中线
、高
及顶角平分线
重合(简写成““三线合一
””).答案
(1) 相等 等角
(2) 中线 高 顶角平分线 三线合一
(2) 中线 高 顶角平分线 三线合一
解析
【分析】
本题考查等腰三角形基础性质的识记，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形两个核心性质的原文表述，对应空缺位置填写即可，无需复杂推导。先回忆角的相关性质，再回忆特殊线段重合的性质，逐一匹配填空内容即可。
【解析】
(1) 根据等腰三角形的角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该结论简写成“等边对等角”，因此依次填“相等”“等角”。
(2) 根据等腰三角形的线段性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，该结论简写成“三线合一”，因此依次填“中线”“高”“顶角平分线”“三线合一”。
【答案】
(1) 相等 等角
(2) 中线 高 顶角平分线 三线合一
【知识点】
等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对等腰三角形核心性质的记忆掌握情况，相关性质是后续解决等腰三角形相关证明、计算问题的重要基础，需牢固记忆并能灵活应用。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形基础性质的识记，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形两个核心性质的原文表述，对应空缺位置填写即可，无需复杂推导。先回忆角的相关性质，再回忆特殊线段重合的性质，逐一匹配填空内容即可。
【解析】
(1) 根据等腰三角形的角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该结论简写成“等边对等角”，因此依次填“相等”“等角”。
(2) 根据等腰三角形的线段性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，该结论简写成“三线合一”，因此依次填“中线”“高”“顶角平分线”“三线合一”。
【答案】
(1) 相等 等角
(2) 中线 高 顶角平分线 三线合一
【知识点】
等边对等角；三线合一
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对等腰三角形核心性质的记忆掌握情况，相关性质是后续解决等腰三角形相关证明、计算问题的重要基础，需牢固记忆并能灵活应用。
【难度系数】
0.9
[典例]如图,在$△ ABC$中,AD,CE分别是中线和角平分线.若$AB = AC$,$∠ CAD=20°$,求$∠ ACE$的度数.
答案
解：
∵ AB = AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠CAD = 20°，
∴ ∠BAC = 2∠CAD = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由三角形内角和为180°得：
∠ACB = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2} × 70°$ = 35°。
答：∠ACE的度数为35°。
∵ AB = AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠CAD = 20°，
∴ ∠BAC = 2∠CAD = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由三角形内角和为180°得：
∠ACB = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2} × 70°$ = 35°。
答：∠ACE的度数为35°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=AC（等腰三角形）和AD是中线入手，首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是顶角的角平分线，结合∠CAD=20°就能算出顶角∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线的条件，角平分线将角分为两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ AB = AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠CAD = 20°，
∴ ∠BAC = 2∠CAD = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由三角形内角和为180°得：
∠ACB = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2} × 70°$ = 35°。
【答案】
$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导即可得出结果，解题时要注意各个性质的适用条件，不要混淆三线合一的前提是等腰三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB=AC（等腰三角形）和AD是中线入手，首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是顶角的角平分线，结合∠CAD=20°就能算出顶角∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线的条件，角平分线将角分为两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ AB = AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠CAD = 20°，
∴ ∠BAC = 2∠CAD = 40°。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠ACB。
由三角形内角和为180°得：
∠ACB = $\frac{180° - ∠ BAC}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°。
∵ CE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2} × 70°$ = 35°。
【答案】
$35°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和定理逐步推导即可得出结果，解题时要注意各个性质的适用条件，不要混淆三线合一的前提是等腰三角形。
【难度系数】
0.7
[举一反三]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BG平分∠ABC交AD于点E,EF⊥AB,垂足为F.求证EF=ED.
典例解析
典例
解 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=
典例解析
典例
解 ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=
答案
证明
∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC,即ED⊥BC.
∵BG平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC,即ED⊥BC.
∵BG平分∠ABC,EF⊥AB，
∴EF=ED.
解析
【分析】
要证明EF=ED，首先观察两条线段的特征：EF是点E到AB的垂线段，ED是点E到BC的垂线段，可考虑用角平分线的性质证明。首先结合已知条件推导ED⊥BC：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，即ED⊥BC。再结合已知条件：BG平分∠ABC，点E在BG上，且EF⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出EF=ED。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即ED⊥BC。
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，ED⊥BC，
∴EF=ED。
【答案】
EF=ED
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质即可快速得出结论，解题时要注意找准角平分线上的点到角两边的对应垂线段。
【难度系数】
0.8
要证明EF=ED，首先观察两条线段的特征：EF是点E到AB的垂线段，ED是点E到BC的垂线段，可考虑用角平分线的性质证明。首先结合已知条件推导ED⊥BC：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，即ED⊥BC。再结合已知条件：BG平分∠ABC，点E在BG上，且EF⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出EF=ED。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即ED⊥BC。
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，ED⊥BC，
∴EF=ED。
【答案】
EF=ED
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质即可快速得出结论，解题时要注意找准角平分线上的点到角两边的对应垂线段。
【难度系数】
0.8
