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5. 如图,在平面直角坐标系中,$A(-1,4)$,$B(-3,0)$,$C(-4,3)$,网格上最小的正方形的边长为1.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标;
(2)若在$x$轴上存在点$M$,使得$△ MAB$的面积为$6$,请求出点$M$的坐标.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标;
(2)若在$x$轴上存在点$M$,使得$△ MAB$的面积为$6$,请求出点$M$的坐标.
答案
解 (1)如图.
由图可知,$A_1(1,4),B_1(3,0),C_1(4,3).$
(2)设点M的坐标为$(x,0)$,
则$\frac{1}{2}×|x-(-3)|×4=6$,
解得$x=-6$或$x=0$,
则点M的坐标为$(0,0)$或$(-6,0).$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点的坐标，再描点、顺次连线即可得到对称图形。
(2) 求x轴上满足△MAB面积为6的点M坐标时，因x轴上的点纵坐标为0，可设M(x,0)；△MAB的底为线段MB的长度，即M、B横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标4），代入三角形面积公式列方程，求解绝对值方程即可得到M的坐标，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，结合已知点坐标：
A(-1,4)的对称点A₁坐标为(1,4)，B(-3,0)的对称点B₁坐标为(3,0)，C(-4,3)的对称点C₁坐标为(4,3)；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即得到△A₁B₁C₁。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，则△MAB的底长为$|x-(-3)|=|x+3|$，高为点A到x轴的距离4；
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×|x+3|×4=6$
化简得$|x+3|=3$，即$x+3=3$或$x+3=-3$，解得$x=0$或$x=-6$。
【答案】
(1) 如图，$A_1(1,4)$，$B_1(3,0)$，$C_1(4,3)$；
(2) 点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
用坐标表示轴对称，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础常考题，既考查了轴对称变换的坐标规律，又结合了坐标系内三角形面积的计算，解题时需注意距离的非负性会产生两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点的坐标，再描点、顺次连线即可得到对称图形。
(2) 求x轴上满足△MAB面积为6的点M坐标时，因x轴上的点纵坐标为0，可设M(x,0)；△MAB的底为线段MB的长度，即M、B横坐标差的绝对值，高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标4），代入三角形面积公式列方程，求解绝对值方程即可得到M的坐标，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，结合已知点坐标：
A(-1,4)的对称点A₁坐标为(1,4)，B(-3,0)的对称点B₁坐标为(3,0)，C(-4,3)的对称点C₁坐标为(4,3)；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接即得到△A₁B₁C₁。
(2) 设点M的坐标为$(x,0)$，则△MAB的底长为$|x-(-3)|=|x+3|$，高为点A到x轴的距离4；
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×|x+3|×4=6$
化简得$|x+3|=3$，即$x+3=3$或$x+3=-3$，解得$x=0$或$x=-6$。
【答案】
(1) 如图
，$A_1(1,4)$，$B_1(3,0)$，$C_1(4,3)$；(2) 点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-6,0)$。
【知识点】
用坐标表示轴对称，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础常考题，既考查了轴对称变换的坐标规律，又结合了坐标系内三角形面积的计算，解题时需注意距离的非负性会产生两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点在网格线交点上,最小正方形的边长为1.
(1)分别画出△ABC 关于 y 轴和 x 轴对称的图形△A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂；
(2)直接写出点 C₁ 的坐标；
(3)若 P(a,a−1)是△ABC 内部一点,点 P 关于 y 轴对称的点为 P',且 PP'=6,求点 P'的坐标.
(1)分别画出△ABC 关于 y 轴和 x 轴对称的图形△A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂；
(2)直接写出点 C₁ 的坐标；
(3)若 P(a,a−1)是△ABC 内部一点,点 P 关于 y 轴对称的点为 P',且 PP'=6,求点 P'的坐标.
答案
解 (1)如图,$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(2)点$C_1$的坐标为$(-5,1).$
(3)
∵点$P(a,a-1)$关于y轴的对称点为$P'$,
$\therefore P'(-a,a-1).$
$\because PP'=6,$
$\therefore a-(-a)=6,$
$\therefore a=3,\therefore$点$P'$的坐标为$(-3,2).$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于坐标轴的对称图形，首先需明确轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再计算对应对称点的坐标，最后描点、依次连线即可得到所求图形。
(2) 求点C₁的坐标，只需先得到原点C的坐标，再结合关于y轴对称的坐标变化规律直接计算即可。
(3) 先根据关于y轴对称的坐标规律写出P'的坐标，由于P和P'纵坐标相等，两点连线平行于x轴，因此两点距离等于横坐标差的绝对值，结合PP'=6列方程求解a，再结合P在△ABC内部的条件判断a的符号，代入即可得到P'的坐标。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：$A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(5,1)$。
① 画关于y轴对称的$△ A_1B_1C_1$：根据关于y轴对称的坐标规律，可得对应点坐标$A_1(-3,4)$，$B_1(-1,2)$，$C_1(-5,1)$，描点后依次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$；
② 画关于x轴对称的$△ A_2B_2C_2$：根据关于x轴对称的坐标规律，可得对应点坐标$A_2(3,-4)$，$B_2(1,-2)$，$C_2(5,-1)$，描点后依次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
(2) 由(1)中计算的对称点坐标，可得点$C_1$的坐标为$(-5,1)$。
(3)
∵ 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，点$P(a,a-1)$关于y轴对称的点为$P'$，
$\therefore P'$的坐标为$(-a,a-1)$。
∵ P和$P'$纵坐标相同，两点连线平行于x轴，
$\therefore PP'=|a-(-a)|=|2a|=6$。
又
∵ P是△ABC内部的点，△ABC所有点的横坐标均为正数，即$a＞0$，
$\therefore 2a=6$，解得$a=3$。
将$a=3$代入$P'$的坐标，得$-a=-3$，$a-1=2$，即$P'(-3,2)$。
【答案】
(1)如图,$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(2)点$C_1$的坐标为$(-5,1)$.
(3)点$P'$的坐标为$(-3,2)$.
【知识点】
用坐标表示轴对称，平面直角坐标系点的坐标特征，轴对称作图
【点评】
本题属于轴对称坐标应用的基础题型，既考查了轴对称作图的实操能力，也考查了坐标变化规律的灵活应用，结合平面内平行于坐标轴的两点距离计算，能有效检验学生对坐标轴对称性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于坐标轴的对称图形，首先需明确轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点的原始坐标，再计算对应对称点的坐标，最后描点、依次连线即可得到所求图形。
(2) 求点C₁的坐标，只需先得到原点C的坐标，再结合关于y轴对称的坐标变化规律直接计算即可。
(3) 先根据关于y轴对称的坐标规律写出P'的坐标，由于P和P'纵坐标相等，两点连线平行于x轴，因此两点距离等于横坐标差的绝对值，结合PP'=6列方程求解a，再结合P在△ABC内部的条件判断a的符号，代入即可得到P'的坐标。
【解析】
(1) 首先确定△ABC各顶点坐标：$A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(5,1)$。
① 画关于y轴对称的$△ A_1B_1C_1$：根据关于y轴对称的坐标规律，可得对应点坐标$A_1(-3,4)$，$B_1(-1,2)$，$C_1(-5,1)$，描点后依次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$；
② 画关于x轴对称的$△ A_2B_2C_2$：根据关于x轴对称的坐标规律，可得对应点坐标$A_2(3,-4)$，$B_2(1,-2)$，$C_2(5,-1)$，描点后依次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
(2) 由(1)中计算的对称点坐标，可得点$C_1$的坐标为$(-5,1)$。
(3)
∵ 关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，点$P(a,a-1)$关于y轴对称的点为$P'$，
$\therefore P'$的坐标为$(-a,a-1)$。
∵ P和$P'$纵坐标相同，两点连线平行于x轴，
$\therefore PP'=|a-(-a)|=|2a|=6$。
又
∵ P是△ABC内部的点，△ABC所有点的横坐标均为正数，即$a＞0$，
$\therefore 2a=6$，解得$a=3$。
将$a=3$代入$P'$的坐标，得$-a=-3$，$a-1=2$，即$P'(-3,2)$。
【答案】
(1)如图,$△ A_1B_1C_1$和$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(2)点$C_1$的坐标为$(-5,1)$.
(3)点$P'$的坐标为$(-3,2)$.
【知识点】
用坐标表示轴对称，平面直角坐标系点的坐标特征，轴对称作图
【点评】
本题属于轴对称坐标应用的基础题型，既考查了轴对称作图的实操能力，也考查了坐标变化规律的灵活应用，结合平面内平行于坐标轴的两点距离计算，能有效检验学生对坐标轴对称性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
