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4 一元二次方程的解法(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1.利用配方法解一元二次方程，当二次项系数为1时，在方程两边同时加上
2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是：
①
；
②
③
④
⑤求解。
3.配方法的关键在于利用完全平方式，将方程配成
课堂精要·梳理内容
1.利用配方法解一元二次方程，当二次项系数为1时，在方程两边同时加上
一次项系数一半的平方
，将方程左边配成一个完全平方式
。2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤是：
①
；②
配方
；③
移项
；④
开平方
；⑤求解。
3.配方法的关键在于利用完全平方式，将方程配成
$(x+m)^2=n(n≥0)$
的形式，进一步体会转化的数学思想。答案
1. 一次项系数一半的平方 完全平方式
2. ①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
3. $(x+m)^2=n(n≥0)$
2. ①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
3. $(x+m)^2=n(n≥0)$
解析
【分析】
这道题考查配方法解一元二次方程的基础概念，解题时需结合完全平方公式的结构特征回忆配方法的原理和操作步骤。首先结合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，明确配方法凑完全平方式的规律，再梳理二次项系数不为1时配方法的操作顺序，最后明确配方法的最终变形目标即可完成作答。
【解析】
1. 当二次项系数为1时，一元二次方程含未知数的项可写为$x^2+bx$的形式，根据完全平方公式，需要在方程两边同时加上$(\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数一半的平方，此时方程左边就可以化为$(x+\frac{b}{2})^2$，即完全平方式。
2. 解二次项系数不为1的一元二次方程时：
① 先化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数，将方程转化为二次项系数为1的形式，方便后续配方；
② 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，将含未知数的项凑成完全平方式；
③ 移项：把常数项移到等号右侧，使等号左侧仅为完全平方式；
④ 开平方：当右侧常数非负时，对等式两边开平方，将一元二次方程降次为一元一次方程，最后求解。
3. 配方法的核心是利用完全平方公式变形，最终将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，也就是$(x+m)^2=n(n\ge0)$的形式，实现降次求解，体现转化的数学思想。
【答案】
1. 一次项系数一半的平方 完全平方式
2. ①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
3. $(x+m)^2=n(n≥0)$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对配方法原理和操作步骤的记忆与理解，掌握这些基础内容是熟练运用配方法求解一元二次方程的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查配方法解一元二次方程的基础概念，解题时需结合完全平方公式的结构特征回忆配方法的原理和操作步骤。首先结合完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，明确配方法凑完全平方式的规律，再梳理二次项系数不为1时配方法的操作顺序，最后明确配方法的最终变形目标即可完成作答。
【解析】
1. 当二次项系数为1时，一元二次方程含未知数的项可写为$x^2+bx$的形式，根据完全平方公式，需要在方程两边同时加上$(\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数一半的平方，此时方程左边就可以化为$(x+\frac{b}{2})^2$，即完全平方式。
2. 解二次项系数不为1的一元二次方程时：
① 先化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数，将方程转化为二次项系数为1的形式，方便后续配方；
② 配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方，将含未知数的项凑成完全平方式；
③ 移项：把常数项移到等号右侧，使等号左侧仅为完全平方式；
④ 开平方：当右侧常数非负时，对等式两边开平方，将一元二次方程降次为一元一次方程，最后求解。
3. 配方法的核心是利用完全平方公式变形，最终将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式，也就是$(x+m)^2=n(n\ge0)$的形式，实现降次求解，体现转化的数学思想。
【答案】
1. 一次项系数一半的平方 完全平方式
2. ①化二次项系数为1 ②配方 ③移项 ④开平方
3. $(x+m)^2=n(n≥0)$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对配方法原理和操作步骤的记忆与理解，掌握这些基础内容是熟练运用配方法求解一元二次方程的前提。
【难度系数】
0.9
1. 用配方法解一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$时，此方程可变形为（
A.$2(x-1)^2=\frac{1}{2}$
B.$2(x-1)^2=\frac{3}{2}$
C.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
D
）。A.$2(x-1)^2=\frac{1}{2}$
B.$2(x-1)^2=\frac{3}{2}$
C.$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题按照配方法的标准步骤推进即可：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后整理得到变形后的方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -4x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数$-2$的一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 整理：左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得$(x-1)^2=\frac{3}{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法的常规操作步骤，解题时需注意配方时等式两边要同时加减相同的数，避免出现漏加右侧常数项、或者未先化简二次项系数就盲目配方的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题按照配方法的标准步骤推进即可：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后整理得到变形后的方程，对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -4x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{1}{2}$；
3. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数$-2$的一半的平方，即$(-1)^2=1$，得：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 整理：左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得$(x-1)^2=\frac{3}{2}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，重点考查配方法的常规操作步骤，解题时需注意配方时等式两边要同时加减相同的数，避免出现漏加右侧常数项、或者未先化简二次项系数就盲目配方的错误。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解下列方程，配方有错的是(
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 -7x -4 =0$ 化为 $(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x +4)^2 =7$
D.$3x^2 +8x -3=0$ 化为 $3(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
D
)。A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 -7x -4 =0$ 化为 $(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
C.$x^2 +8x +9=0$ 化为 $(x +4)^2 =7$
D.$3x^2 +8x -3=0$ 化为 $3(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个选项配方错误，需按照配方法解一元二次方程的步骤，依次对每个选项的方程进行配方，再和选项给出的配方结果对比，不一致的即为错误选项。配方法的一般步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，或先提取二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号左边写成完全平方的形式，化简右侧常数即可。
【解析】
我们逐一验证各选项的配方过程：
A. 对于$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$，可得：
$x^2 -2x +1 = 99+1$，即$(x-1)^2=100$，A配方正确，不符合题意。
B. 对于$2x^2 -7x -4 =0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0$
移项得：$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$
两边加一次项系数$-\frac{7}{2}$一半的平方$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，可得：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$，B配方正确，不符合题意。
C. 对于$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数8一半的平方$4^2=16$，可得：
$x^2 +8x +16 = -9 +16$，即$(x+4)^2=7$，C配方正确，不符合题意。
D. 对于$3x^2 +8x -3=0$
先提取二次项系数3：$3(x^2 + \frac{8}{3}x) -3 = 0$
移项得：$3(x^2 + \frac{8}{3}x) = 3$
括号内配方，加一次项系数$\frac{8}{3}$一半的平方$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，注意括号内添加的项要和提取的系数3相乘：
$3[(x+\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}] = 3$
展开整理得：$3(x+\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{3}$，与选项给出的$\frac{25}{9}$不符，D配方错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握配方的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，添加的常数项要和提取的二次项系数相乘，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项配方错误，需按照配方法解一元二次方程的步骤，依次对每个选项的方程进行配方，再和选项给出的配方结果对比，不一致的即为错误选项。配方法的一般步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，或先提取二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号左边写成完全平方的形式，化简右侧常数即可。
【解析】
我们逐一验证各选项的配方过程：
A. 对于$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数-2一半的平方$(-1)^2=1$，可得：
$x^2 -2x +1 = 99+1$，即$(x-1)^2=100$，A配方正确，不符合题意。
B. 对于$2x^2 -7x -4 =0$
先将二次项系数化为1，两边除以2得：$x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0$
移项得：$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$
两边加一次项系数$-\frac{7}{2}$一半的平方$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，可得：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$，B配方正确，不符合题意。
C. 对于$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数8一半的平方$4^2=16$，可得：
$x^2 +8x +16 = -9 +16$，即$(x+4)^2=7$，C配方正确，不符合题意。
D. 对于$3x^2 +8x -3=0$
先提取二次项系数3：$3(x^2 + \frac{8}{3}x) -3 = 0$
移项得：$3(x^2 + \frac{8}{3}x) = 3$
括号内配方，加一次项系数$\frac{8}{3}$一半的平方$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，注意括号内添加的项要和提取的系数3相乘：
$3[(x+\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}] = 3$
展开整理得：$3(x+\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{3}$，与选项给出的$\frac{25}{9}$不符，D配方错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握配方的步骤，尤其注意二次项系数不为1时，添加的常数项要和提取的二次项系数相乘，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3.填上适当的数,使下列等式成立:
(1)$2x^2 -12x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$-m^2 + 2\sqrt{3}m - \_\_\_\_\_\_ = -(m - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$3x^2 -12x + \_\_\_\_\_\_ = 3(x - 2)^2$;
(4)$16x^2 +12x + \_\_\_\_\_\_ =16(x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$2x^2 -12x + \_\_\_\_\_\_ = 2(x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$-m^2 + 2\sqrt{3}m - \_\_\_\_\_\_ = -(m - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$3x^2 -12x + \_\_\_\_\_\_ = 3(x - 2)^2$;
(4)$16x^2 +12x + \_\_\_\_\_\_ =16(x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
3. (1)18 3 (2)3 $\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
本题考查配方法将二次三项式转化为完全平方式的应用，解题思路如下：首先将二次项系数提取出来，使括号内的二次项系数为1；再根据完全平方公式“$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$”，给括号内加上一次项系数一半的平方，最后对应计算出原式需要补充的常数项和完全平方式里的常数即可。
【解析】
(1) 先提取二次项系数2：$2x^2-12x=2(x^2-6x)$，括号内一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，因此需要补充的常数项为$2×9=18$，可得$2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$，故依次填18、3。
(2) 先提取负号：$-m^2+2\sqrt{3}m=-(m^2-2\sqrt{3}m)$，括号内一次项系数为$-2\sqrt{3}$，其一半的平方为$(-\sqrt{3})^2=3$，因此需要补充的常数项为3，可得$-(m^2-2\sqrt{3}m+3)=-(m-\sqrt{3})^2$，故依次填3、$\sqrt{3}$。
(3) 展开右侧完全平方式：$3(x-2)^2=3(x^2-4x+4)=3x^2-12x+12$，对比左侧式子，故填12。
(4) 先提取二次项系数16：$16x^2+12x=16(x^2+\frac{3}{4}x)$，括号内一次项系数为$\frac{3}{4}$，其一半的平方为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，因此需要补充的常数项为$16×\frac{9}{64}=\frac{9}{4}$，可得$16(x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64})=16(x+\frac{3}{8})^2$，故依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)18；3 (2)3；$\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{8}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法“先提二次项系数，再加一次项系数一半的平方”的操作步骤，牢记完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法将二次三项式转化为完全平方式的应用，解题思路如下：首先将二次项系数提取出来，使括号内的二次项系数为1；再根据完全平方公式“$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$”，给括号内加上一次项系数一半的平方，最后对应计算出原式需要补充的常数项和完全平方式里的常数即可。
【解析】
(1) 先提取二次项系数2：$2x^2-12x=2(x^2-6x)$，括号内一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(-3)^2=9$，因此需要补充的常数项为$2×9=18$，可得$2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$，故依次填18、3。
(2) 先提取负号：$-m^2+2\sqrt{3}m=-(m^2-2\sqrt{3}m)$，括号内一次项系数为$-2\sqrt{3}$，其一半的平方为$(-\sqrt{3})^2=3$，因此需要补充的常数项为3，可得$-(m^2-2\sqrt{3}m+3)=-(m-\sqrt{3})^2$，故依次填3、$\sqrt{3}$。
(3) 展开右侧完全平方式：$3(x-2)^2=3(x^2-4x+4)=3x^2-12x+12$，对比左侧式子，故填12。
(4) 先提取二次项系数16：$16x^2+12x=16(x^2+\frac{3}{4}x)$，括号内一次项系数为$\frac{3}{4}$，其一半的平方为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，因此需要补充的常数项为$16×\frac{9}{64}=\frac{9}{4}$，可得$16(x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64})=16(x+\frac{3}{8})^2$，故依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{8}$。
【答案】
(1)18；3 (2)3；$\sqrt{3}$ (3)12 (4)$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{8}$
【知识点】
完全平方公式，配方法，整式恒等变形
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法“先提二次项系数，再加一次项系数一半的平方”的操作步骤，牢记完全平方公式的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.当$a=$
-1
时，$a^2+2a+19$有最小
值，为18
。答案
4. -1 小 18
解析
【分析】
首先观察所求代数式是二次项系数为正的二次三项式，因此存在最小值，可利用配方法将代数式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性求解最值及对应a的值。具体思路：第一步对含a的二次项、一次项进行配方，第二步根据平方数恒大于等于0的性质，确定完全平方式取0时整个代数式取得最小值，第三步解出此时a的值和对应的最值即可。
【解析】
对代数式$a^2+2a+19$进行配方：
$\begin{aligned}a^2+2a+19&=(a^2+2a+1) -1 +19\\&=(a+1)^2 + 18\end{aligned}$
∵任意实数的平方为非负数，即$(a+1)^2≥0$，
∴当$(a+1)^2=0$时，原式取得最小值，
此时$a+1=0$，解得$a=-1$，最小值为$0+18=18$。
【答案】
-1；小；18
【知识点】
配方法；平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的应用以及非负数性质的结合使用，解题的关键是准确对二次三项式完成配方，可根据二次项系数的正负直接判断最值类型：二次项系数为正时存在最小值，二次项系数为负时存在最大值。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式是二次项系数为正的二次三项式，因此存在最小值，可利用配方法将代数式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性求解最值及对应a的值。具体思路：第一步对含a的二次项、一次项进行配方，第二步根据平方数恒大于等于0的性质，确定完全平方式取0时整个代数式取得最小值，第三步解出此时a的值和对应的最值即可。
【解析】
对代数式$a^2+2a+19$进行配方：
$\begin{aligned}a^2+2a+19&=(a^2+2a+1) -1 +19\\&=(a+1)^2 + 18\end{aligned}$
∵任意实数的平方为非负数，即$(a+1)^2≥0$，
∴当$(a+1)^2=0$时，原式取得最小值，
此时$a+1=0$，解得$a=-1$，最小值为$0+18=18$。
【答案】
-1；小；18
【知识点】
配方法；平方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的应用以及非负数性质的结合使用，解题的关键是准确对二次三项式完成配方，可根据二次项系数的正负直接判断最值类型：二次项系数为正时存在最小值，二次项系数为负时存在最大值。
【难度系数】
0.8
5.如果$x^2 - 2(m+1)x +4$是一个完全平方式，那么$m=$
1或-3
。答案
5. 1或-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，包含和的平方、差的平方两种形式。首先确定给定多项式$x^2 - 2(m+1)x +4$的首尾两项：首项是$x^2$，对应$a^2$，即$a=x$；末项是$4=2^2$，对应$b^2$，即$b=2$。根据完全平方式的结构，中间项应等于$\pm2ab$，由此可列出关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值，注意不要遗漏中间项符号的两种情况。
【解析】
解：
∵$x^2 - 2(m+1)x +4$是完全平方式，
完全平方式的通用结构为$a^2\pm2ab+b^2$，
在给定多项式中$a=x$，$b^2=4$即$b=\pm2$，
∴中间项满足：$-2(m+1)x = \pm 2· x · 2$，
化简得：$-2(m+1) = \pm4$，
分两种情况计算：
①当$-2(m+1)=4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=-2$，
解得：$m=-3$；
②当$-2(m+1)=-4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=2$，
解得：$m=1$；
综上，$m$的取值为1或-3。
【答案】
1或-3
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的两种结构，避免因只考虑单一符号的情况出现漏解，是整式乘法模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，包含和的平方、差的平方两种形式。首先确定给定多项式$x^2 - 2(m+1)x +4$的首尾两项：首项是$x^2$，对应$a^2$，即$a=x$；末项是$4=2^2$，对应$b^2$，即$b=2$。根据完全平方式的结构，中间项应等于$\pm2ab$，由此可列出关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值，注意不要遗漏中间项符号的两种情况。
【解析】
解：
∵$x^2 - 2(m+1)x +4$是完全平方式，
完全平方式的通用结构为$a^2\pm2ab+b^2$，
在给定多项式中$a=x$，$b^2=4$即$b=\pm2$，
∴中间项满足：$-2(m+1)x = \pm 2· x · 2$，
化简得：$-2(m+1) = \pm4$，
分两种情况计算：
①当$-2(m+1)=4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=-2$，
解得：$m=-3$；
②当$-2(m+1)=-4$时，
两边同时除以$-2$得：$m+1=2$，
解得：$m=1$；
综上，$m$的取值为1或-3。
【答案】
1或-3
【知识点】
1. 完全平方式的特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的两种结构，避免因只考虑单一符号的情况出现漏解，是整式乘法模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6.已知代数式$x^2 - 2$比$2x + 1$小4，则$x=$
1
。答案
6. 1
解析
【分析】
解题时首先要把文字表述转化为数学等式：“$x^2 - 2$比$2x + 1$小4”意味着$x^2 - 2$的数值等于$2x + 1$的数值减去4；接下来把等式整理为一元二次方程的标准形式，观察方程特征可发现其符合完全平方公式的结构，用因式分解法即可快速求解，最终得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\begin{aligned}x^2 - 2 &= (2x + 1) - 4 \\x^2 - 2 &= 2x - 3 \\x^2 - 2x + 1 &= 0 \\(x-1)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=1$
【答案】
1
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对数量关系的理解和一元二次方程的基础解法，解题的关键是不要把大小关系对应的等式列反，熟练掌握解方程的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把文字表述转化为数学等式：“$x^2 - 2$比$2x + 1$小4”意味着$x^2 - 2$的数值等于$2x + 1$的数值减去4；接下来把等式整理为一元二次方程的标准形式，观察方程特征可发现其符合完全平方公式的结构，用因式分解法即可快速求解，最终得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\begin{aligned}x^2 - 2 &= (2x + 1) - 4 \\x^2 - 2 &= 2x - 3 \\x^2 - 2x + 1 &= 0 \\(x-1)^2 &= 0\end{aligned}$
解得$x_1=x_2=1$
【答案】
1
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对数量关系的理解和一元二次方程的基础解法，解题的关键是不要把大小关系对应的等式列反，熟练掌握解方程的方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7. 用配方法解下列方程：
(1) $-x^2 + 6x - 8 = 0$；
(2) $2x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3) $3x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4) $-3x^2 - 6x + 4 = 0$。
(1) $-x^2 + 6x - 8 = 0$；
(2) $2x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3) $3x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4) $-3x^2 - 6x + 4 = 0$。
答案
7. 解:(1)$x_1=2,x_2=4$。
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$。
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①先将二次项系数化为1，若二次项系数为负可先转化为正数降低出错率；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④直接开平方求解，注意开平方后结果有正负两个值，按照该步骤逐个求解即可。
【解析】
(1) 解方程$-x^2 + 6x - 8 = 0$
① 两边同乘$-1$将二次项系数化为1：$x^2 - 6x + 8 = 0$
② 移项：$x^2 - 6x = -8$
③ 配方，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$：$x^2 -6x +9 = -8+9$，即$(x-3)^2=1$
④ 开平方得$x-3=\pm1$，解得$x_1=4$，$x_2=2$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$
① 两边同除以2将二次项系数化为1：$x^2 + 2x - \frac{3}{2}=0$
② 移项：$x^2 +2x = \frac{3}{2}$
③ 配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$：$x^2+2x+1=\frac{3}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
④ 开平方得$x+1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，整理得$x=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$，即$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x - 1 = 0$
① 两边同除以3将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}=0$
② 移项：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{-\frac{4}{3}}{2})^2=\frac{4}{9}$：$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$
④ 开平方得$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，整理得$x=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4) 解方程$-3x^2 -6x +4=0$
① 先乘$-1$将二次项系数化为正，再除以3得：$x^2 +2x - \frac{4}{3}=0$
② 移项：$x^2 +2x = \frac{4}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$：$x^2+2x+1=\frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^2=\frac{7}{3}$
④ 开平方得$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$，整理得$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{3}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=4$
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时要注意符号变化，开平方时不要遗漏负根，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①先将二次项系数化为1，若二次项系数为负可先转化为正数降低出错率；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④直接开平方求解，注意开平方后结果有正负两个值，按照该步骤逐个求解即可。
【解析】
(1) 解方程$-x^2 + 6x - 8 = 0$
① 两边同乘$-1$将二次项系数化为1：$x^2 - 6x + 8 = 0$
② 移项：$x^2 - 6x = -8$
③ 配方，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$：$x^2 -6x +9 = -8+9$，即$(x-3)^2=1$
④ 开平方得$x-3=\pm1$，解得$x_1=4$，$x_2=2$
(2) 解方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$
① 两边同除以2将二次项系数化为1：$x^2 + 2x - \frac{3}{2}=0$
② 移项：$x^2 +2x = \frac{3}{2}$
③ 配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$：$x^2+2x+1=\frac{3}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
④ 开平方得$x+1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，整理得$x=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$，即$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3) 解方程$3x^2 - 4x - 1 = 0$
① 两边同除以3将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}=0$
② 移项：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{1}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{-\frac{4}{3}}{2})^2=\frac{4}{9}$：$x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{7}{9}$
④ 开平方得$x-\frac{2}{3}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，整理得$x=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，即$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4) 解方程$-3x^2 -6x +4=0$
① 先乘$-1$将二次项系数化为正，再除以3得：$x^2 +2x - \frac{4}{3}=0$
② 移项：$x^2 +2x = \frac{4}{3}$
③ 配方，两边加$(\frac{2}{2})^2=1$：$x^2+2x+1=\frac{4}{3}+1$，即$(x+1)^2=\frac{7}{3}$
④ 开平方得$x+1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$，整理得$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{3}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=4$
(2)$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4)$x_1=\frac{-3+\sqrt{21}}{3},x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时要注意符号变化，开平方时不要遗漏负根，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.75
