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11.若关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +k=0$经配方后，得到$(x-2)^2=1$，则$k=$
3
。答案
11.3
解析
【分析】
我们可以通过两种思路求解k的值：思路一：将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与原方程对比常数项即可求出k；思路二：直接对原方程进行配方，将得到的配方结果与题目给出的配方结果联立，解方程即可求出k。两种方法都基于配方法的基本原理，操作简单易懂。
【解析】
方法1：展开配方后的式子对比系数
将$(x-2)^2=1$展开，得：
$x^2 -4x +4 = 1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -4x + 3 = 0$
已知原一元二次方程为$x^2 -4x +k=0$，两个方程为同一方程，对应常数项相等，因此$k=3$。
方法2：对原方程配方后对比
对原方程$x^2 -4x +k=0$移项，得：
$x^2 -4x = -k$
等式两边同时加一次项系数一半的平方，即$(-4÷2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = 4 -k$
配方得$(x-2)^2=4 -k$
由题可知配方后结果为$(x-2)^2=1$，因此：
$4 -k = 1$
解得$k=3$
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程的配方步骤，或理解多项式恒等时对应项系数相等的规律，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
我们可以通过两种思路求解k的值：思路一：将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与原方程对比常数项即可求出k；思路二：直接对原方程进行配方，将得到的配方结果与题目给出的配方结果联立，解方程即可求出k。两种方法都基于配方法的基本原理，操作简单易懂。
【解析】
方法1：展开配方后的式子对比系数
将$(x-2)^2=1$展开，得：
$x^2 -4x +4 = 1$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -4x + 3 = 0$
已知原一元二次方程为$x^2 -4x +k=0$，两个方程为同一方程，对应常数项相等，因此$k=3$。
方法2：对原方程配方后对比
对原方程$x^2 -4x +k=0$移项，得：
$x^2 -4x = -k$
等式两边同时加一次项系数一半的平方，即$(-4÷2)^2=4$，得：
$x^2 -4x +4 = 4 -k$
配方得$(x-2)^2=4 -k$
由题可知配方后结果为$(x-2)^2=1$，因此：
$4 -k = 1$
解得$k=3$
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程的配方步骤，或理解多项式恒等时对应项系数相等的规律，整体计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
12.用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$x^2 - 5x = 6$；
(3)$x^2 + 6x = -3$；
(4)$8x + 16 = -x^2$。
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$x^2 - 5x = 6$；
(3)$x^2 + 6x = -3$；
(4)$8x + 16 = -x^2$。
答案
12.解:(1)$x_1=4,x_2=-2$。
(2)$x_1=6,x_2=-1$。
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$。
(4)$x_1=x_2=-4$。
(2)$x_1=6,x_2=-1$。
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$。
(4)$x_1=x_2=-4$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为完全平方式等于常数的形式，通用解题思路如下：①先整理方程，将二次项系数化为1，把常数项移到等号右侧；②在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方的形式；③把方程写成$(x+m)^2=n$的形式，若$n≥0$，直接开平方即可求出方程的根，若$n＜0$则方程无实根。按照这个步骤依次求解4个小题即可。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x = 8$，
配方，两边同时加1（一次项系数-2的一半的平方），得$x^2 - 2x + 1 = 8 + 1$，
即$(x - 1)^2 = 9$，
开平方，得$x - 1 = \pm3$，
解得$x_1 = 1 + 3 = 4$，$x_2 = 1 - 3 = -2$。
(2) 方程已经是二次项系数为1、常数项在右侧的形式，
配方，两边同时加$\frac{25}{4}$（一次项系数-5的一半的平方），得$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$，
即$(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$，
开平方，得$x - \frac{5}{2} = \pm\frac{7}{2}$，
解得$x_1 = \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6$，$x_2 = \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = -1$。
(3) 方程已经是二次项系数为1、常数项在右侧的形式，
配方，两边同时加9（一次项系数6的一半的平方），得$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$，
即$(x + 3)^2 = 6$，
开平方，得$x + 3 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = -3 + \sqrt{6}$，$x_2 = -3 - \sqrt{6}$。
(4) 移项整理，得$x^2 + 8x = -16$，
配方，两边同时加16（一次项系数8的一半的平方），得$x^2 + 8x + 16 = -16 + 16$，
即$(x + 4)^2 = 0$，
开平方，得$x + 4 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = -4$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；(2)$x_1=6,x_2=-1$；(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$；(4)$x_1=x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的步骤应用，解题时要注意移项要变号，配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.85
用配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为完全平方式等于常数的形式，通用解题思路如下：①先整理方程，将二次项系数化为1，把常数项移到等号右侧；②在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方的形式；③把方程写成$(x+m)^2=n$的形式，若$n≥0$，直接开平方即可求出方程的根，若$n＜0$则方程无实根。按照这个步骤依次求解4个小题即可。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x = 8$，
配方，两边同时加1（一次项系数-2的一半的平方），得$x^2 - 2x + 1 = 8 + 1$，
即$(x - 1)^2 = 9$，
开平方，得$x - 1 = \pm3$，
解得$x_1 = 1 + 3 = 4$，$x_2 = 1 - 3 = -2$。
(2) 方程已经是二次项系数为1、常数项在右侧的形式，
配方，两边同时加$\frac{25}{4}$（一次项系数-5的一半的平方），得$x^2 - 5x + \frac{25}{4} = 6 + \frac{25}{4}$，
即$(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{49}{4}$，
开平方，得$x - \frac{5}{2} = \pm\frac{7}{2}$，
解得$x_1 = \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6$，$x_2 = \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = -1$。
(3) 方程已经是二次项系数为1、常数项在右侧的形式，
配方，两边同时加9（一次项系数6的一半的平方），得$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$，
即$(x + 3)^2 = 6$，
开平方，得$x + 3 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1 = -3 + \sqrt{6}$，$x_2 = -3 - \sqrt{6}$。
(4) 移项整理，得$x^2 + 8x = -16$，
配方，两边同时加16（一次项系数8的一半的平方），得$x^2 + 8x + 16 = -16 + 16$，
即$(x + 4)^2 = 0$，
开平方，得$x + 4 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = -4$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；(2)$x_1=6,x_2=-1$；(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$；(4)$x_1=x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查配方法的步骤应用，解题时要注意移项要变号，配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.85
13.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例:已知$x$可取任意实数，试求二次三项式$x^2+6x-1$的最小值。
解:$x^2+6x-1=x^2+6x+3^2-3^2-1$
$=(x+3)^2-10$。
∵无论$x$取何实数，总有$(x+3)^2≥0$，
∴$(x+3)^2-10≥-10$，
即$x^2+6x-1$的最小值是$-10$。
问题:
(1)已知$y=x^2-4x+7$，求证:$y$是正数。
知识迁移:
(2)如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，点$P$在边$AC$上，从点$A$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$在边$CB$上，从点$C$向点$B$以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$的速度移动。若点$P$，$Q$同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止移动，设$△PCQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，求$S$的最大值。
例:已知$x$可取任意实数，试求二次三项式$x^2+6x-1$的最小值。
解:$x^2+6x-1=x^2+6x+3^2-3^2-1$
$=(x+3)^2-10$。
∵无论$x$取何实数，总有$(x+3)^2≥0$，
∴$(x+3)^2-10≥-10$，
即$x^2+6x-1$的最小值是$-10$。
问题:
(1)已知$y=x^2-4x+7$，求证:$y$是正数。
知识迁移:
(2)如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，点$P$在边$AC$上，从点$A$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$在边$CB$上，从点$C$向点$B$以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$的速度移动。若点$P$，$Q$同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止移动，设$△PCQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，求$S$的最大值。
答案
13.(1)证明: $y=x^2-4x+7=x^2-4x+4+3=(x-2)^2+3$。
$\because (x-2)^2≥0,\therefore (x-2)^2+3≥3,$
$\therefore y≥3,$
$\therefore y$是正数。
(2)解:由题意得 $AP=2t\ \mathrm{cm},CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm},$
$PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}(0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}),$
$\begin{aligned}\therefore S&=\frac{1}{2}PC· CQ\\&=\frac{1}{2}(6-2t)· \sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t)\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t+\frac{9}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}\\&=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}。\end{aligned}$
$\because (t-\frac{3}{2})^2≥0,$
$\therefore 当t=\frac{3}{2}时,S有最大值\frac{9\sqrt{3}}{4}。$
$\because (x-2)^2≥0,\therefore (x-2)^2+3≥3,$
$\therefore y≥3,$
$\therefore y$是正数。
(2)解:由题意得 $AP=2t\ \mathrm{cm},CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm},$
$PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}(0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}),$
$\begin{aligned}\therefore S&=\frac{1}{2}PC· CQ\\&=\frac{1}{2}(6-2t)· \sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t)\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t+\frac{9}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}\\&=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}。\end{aligned}$
$\because (t-\frac{3}{2})^2≥0,$
$\therefore 当t=\frac{3}{2}时,S有最大值\frac{9\sqrt{3}}{4}。$
解析
【分析】
(1) 要证明y是正数，只需证明y的最小值大于0即可。我们可以用配方法将二次三项式变形为“完全平方式+正数”的形式，再利用完全平方的非负性即可证明结论。
(2) 首先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出Rt△PCQ的两条直角边PC、CQ的长度，再结合直角三角形面积公式写出S关于t的函数表达式，最后用配方法将二次函数化为顶点式，结合t的取值范围即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 证明：
$y=x^2-4x+7=x^2-4x+4+3=(x-2)^2+3$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2+3≥3$，即$y≥3＞0$，因此y是正数。
(2) 解：
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm}$，
点P到终点C的时间为$6÷2=3\ \mathrm{s}$，点Q到终点B的时间为$4÷\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{s}＜3\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围为$0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时$PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}$。
$\begin{aligned}\therefore S&=\frac{1}{2}PC· CQ\\&=\frac{1}{2}(6-2t)· \sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t)\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t+\frac{9}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}\\&=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}。\end{aligned}$
$\because (t-\frac{3}{2})^2≥0$，且$t=\frac{3}{2}$在$0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$范围内，
$\therefore 当t=\frac{3}{2}时，S有最大值\frac{9\sqrt{3}}{4}。$
【答案】
(1) 无论x取何实数，y恒为正数；
(2) S的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
配方法应用，二次函数最值，动点面积计算
【点评】
本题围绕配方法的应用展开，第一问为基础配方练习，考查对完全平方式非负性的理解；第二问结合几何动点场景，需要先根据几何关系建立二次函数模型，再用配方法求最值，兼顾了代数运算能力和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明y是正数，只需证明y的最小值大于0即可。我们可以用配方法将二次三项式变形为“完全平方式+正数”的形式，再利用完全平方的非负性即可证明结论。
(2) 首先根据点P、Q的运动速度和运动时间t，分别表示出Rt△PCQ的两条直角边PC、CQ的长度，再结合直角三角形面积公式写出S关于t的函数表达式，最后用配方法将二次函数化为顶点式，结合t的取值范围即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 证明：
$y=x^2-4x+7=x^2-4x+4+3=(x-2)^2+3$
$\because (x-2)^2≥0$，$\therefore (x-2)^2+3≥3$，即$y≥3＞0$，因此y是正数。
(2) 解：
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$CQ=\sqrt{3}t\ \mathrm{cm}$，
点P到终点C的时间为$6÷2=3\ \mathrm{s}$，点Q到终点B的时间为$4÷\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{s}＜3\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围为$0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时$PC=(6-2t)\ \mathrm{cm}$。
$\begin{aligned}\therefore S&=\frac{1}{2}PC· CQ\\&=\frac{1}{2}(6-2t)· \sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t)\\&=-\sqrt{3}(t^2-3t+\frac{9}{4})+\frac{9\sqrt{3}}{4}\\&=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{4}。\end{aligned}$
$\because (t-\frac{3}{2})^2≥0$，且$t=\frac{3}{2}$在$0≤ t≤ \frac{4\sqrt{3}}{3}$范围内，
$\therefore 当t=\frac{3}{2}时，S有最大值\frac{9\sqrt{3}}{4}。$
【答案】
(1) 无论x取何实数，y恒为正数；
(2) S的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
配方法应用，二次函数最值，动点面积计算
【点评】
本题围绕配方法的应用展开，第一问为基础配方练习，考查对完全平方式非负性的理解；第二问结合几何动点场景，需要先根据几何关系建立二次函数模型，再用配方法求最值，兼顾了代数运算能力和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.7
