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8.用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$，配方正确的是（
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
A
）。A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
答案
8. A
解析
【分析】
要解决这道用配方法解方程的题目，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步移项把常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后计算右侧结果再和选项对比即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 3x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半为$-\dfrac{3}{4}$，平方为$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
左边：$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = (x - \dfrac{3}{4})^2$
右边：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方结果为$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的步骤，尤其注意要先将二次项系数化为1再配方，配方时需给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加或计算错误。
【难度系数】
0.75
要解决这道用配方法解方程的题目，首先回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步移项把常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后计算右侧结果再和选项对比即可。
【解析】
解：对原方程$2x^2 - 3x -1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半为$-\dfrac{3}{4}$，平方为$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
左边：$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = (x - \dfrac{3}{4})^2$
右边：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{17}{16}$
因此配方结果为$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的步骤，尤其注意要先将二次项系数化为1再配方，配方时需给等式两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加或计算错误。
【难度系数】
0.75
9.多项式$x^2 + y^2 -4x +6y +12$的最小值是（
A.－2
B.－1
C.0
D.12
B
）。A.－2
B.－1
C.0
D.12
答案
9. B
解析
【分析】
要求该多项式的最小值，我们可以用配方法将多项式变形：先把含x的项、含y的项分别分组，再对两组分别配方，转化为“完全平方+常数”的形式，再利用完全平方的非负性（任何实数的平方都大于等于0），就可以求出多项式的最小值。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -4x +6y +12&=(x^2-4x)+(y^2+6y)+12\\&=(x^2-4x+4 -4)+(y^2+6y+9 -9)+12\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9 +12\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=2$、$y=-3$时，两个平方项的值都为0，此时多项式取得最小值，最小值为$0+0-1=-1$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题考查配方法在求代数式最值中的应用，解题的核心是对含不同未知数的项分别配方，将代数式转化为平方和加常数的形式，再结合非负数的性质求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要求该多项式的最小值，我们可以用配方法将多项式变形：先把含x的项、含y的项分别分组，再对两组分别配方，转化为“完全平方+常数”的形式，再利用完全平方的非负性（任何实数的平方都大于等于0），就可以求出多项式的最小值。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -4x +6y +12&=(x^2-4x)+(y^2+6y)+12\\&=(x^2-4x+4 -4)+(y^2+6y+9 -9)+12\\&=(x-2)^2 -4 + (y+3)^2 -9 +12\\&=(x-2)^2 + (y+3)^2 -1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，因此$(x-2)^2 + (y+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=2$、$y=-3$时，两个平方项的值都为0，此时多项式取得最小值，最小值为$0+0-1=-1$。
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题考查配方法在求代数式最值中的应用，解题的核心是对含不同未知数的项分别配方，将代数式转化为平方和加常数的形式，再结合非负数的性质求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10.已知关于$x$的一元二次方程$m(x-h)^2 -k=0$（$m,h,k$均为常数，且$m≠0$）的解是$x_1=2,x_2=5$，则关于$x$的一元二次方程$m(x-h+3)^2=k$的解是（
A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=2,x_2=5$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=2$
D
）。A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=2,x_2=5$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=2$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时先观察两个方程的结构特征，二者形式高度相似，可采用整体换元的思路简化运算，无需计算未知常数$m,h,k$的值。首先把已知方程变形为$m(x-h)^2=k$，明确其解的意义：当括号内的$x-h$取对应值时方程成立；再把待求解的方程变形为$m[(x+3)-h]^2=k$，对比可知待解方程中的$(x+3)$就等价于已知方程中的$x$，因此直接令$x+3$等于已知方程的两个解，即可快速求出待解方程的根。
【解析】
第一步：整理已知方程
已知一元二次方程$m(x-h)^2 -k=0$的解为$x_1=2,x_2=5$，移项得：$m(x-h)^2 =k$ ①
第二步：整理待解方程
将方程$m(x-h+3)^2 =k$变形，把含$x$的部分凑成和①式括号内一致的结构：
$m[(x+3)-h]^2 =k$ ②
第三步：利用整体换元求解
对比①②两式可得，②式中$(x+3)$的取值和①式中$x$的取值完全相同，因此列方程：
$x+3=2$ 或 $x+3=5$
分别解得：
当$x+3=2$时，$x=-1$；
当$x+3=5$时，$x=2$。
即待求方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；整体换元法；一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查对一元二次方程解的理解，灵活运用整体换元思想能规避求解未知参数的繁琐步骤，降低运算量，解题的核心是抓住两个方程的结构共性，将未知问题转化为已知条件求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个方程的结构特征，二者形式高度相似，可采用整体换元的思路简化运算，无需计算未知常数$m,h,k$的值。首先把已知方程变形为$m(x-h)^2=k$，明确其解的意义：当括号内的$x-h$取对应值时方程成立；再把待求解的方程变形为$m[(x+3)-h]^2=k$，对比可知待解方程中的$(x+3)$就等价于已知方程中的$x$，因此直接令$x+3$等于已知方程的两个解，即可快速求出待解方程的根。
【解析】
第一步：整理已知方程
已知一元二次方程$m(x-h)^2 -k=0$的解为$x_1=2,x_2=5$，移项得：$m(x-h)^2 =k$ ①
第二步：整理待解方程
将方程$m(x-h+3)^2 =k$变形，把含$x$的部分凑成和①式括号内一致的结构：
$m[(x+3)-h]^2 =k$ ②
第三步：利用整体换元求解
对比①②两式可得，②式中$(x+3)$的取值和①式中$x$的取值完全相同，因此列方程：
$x+3=2$ 或 $x+3=5$
分别解得：
当$x+3=2$时，$x=-1$；
当$x+3=5$时，$x=2$。
即待求方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；整体换元法；一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查对一元二次方程解的理解，灵活运用整体换元思想能规避求解未知参数的繁琐步骤，降低运算量，解题的核心是抓住两个方程的结构共性，将未知问题转化为已知条件求解。
【难度系数】
0.7
11.用配方法解下列方程：
(1)$3x^2=4x-1$；
(2)$2x(x-1)=x-1$；
(3)$(x-2)^2 -4(x-2)-5=0$；
(4)$x^2 -2ax -3a^2=0$。
(1)$3x^2=4x-1$；
(2)$2x(x-1)=x-1$；
(3)$(x-2)^2 -4(x-2)-5=0$；
(4)$x^2 -2ax -3a^2=0$。
答案
11. 解:(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$。(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$。
(3)$x_1=7,x_2=1$。
(4)$x_1=3a,x_2=-a$。
(3)$x_1=7,x_2=1$。
(4)$x_1=3a,x_2=-a$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；②将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④右边为非负数时直接开平方求解，若为负数则方程无实根。对于含括号的方程，可先观察是否可将整体作为未知数配方，简化计算过程。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 - 4x = -1$
二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3}$
配方，两边加$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = -\frac{1}{3} + \frac{4}{9}$
即$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9}$
开平方得：$x - \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{3}$
解得：$x_1 = 1$，$x_2=\frac{1}{3}$
(2) 展开并移项整理得：$2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1：$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，两边加$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$：
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
开平方得：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得：$x_1 = 1$，$x_2=\frac{1}{2}$
(3) 令$y=x-2$，原方程转化为：$y^2 - 4y = 5$
配方，两边加$(-2)^2=4$：
$y^2 - 4y + 4 = 5 + 4$
即$(y-2)^2=9$
开平方得：$y-2=\pm3$
当$y-2=3$时，$y=5$，即$x-2=5$，$x_1=7$
当$y-2=-3$时，$y=-1$，即$x-2=-1$，$x_2=1$
(4) 移项得：$x^2 - 2ax = 3a^2$
配方，两边加$(-a)^2=a^2$：
$x^2 - 2ax + a^2 = 3a^2 + a^2$
即$(x - a)^2 = 4a^2$
开平方得：$x - a = \pm 2a$
解得：$x_1=3a$，$x_2=-a$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$；(3)$x_1=7,x_2=1$；(4)$x_1=3a,x_2=-a$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，整体代换
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的步骤应用，不同结构的方程需先整理为适合配方的形式，部分题目运用整体代换可大幅简化计算，解题时需注意配方时等号两边需同时添加相同的常数，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式的形式，再通过开平方求解。通用解题步骤为：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；②将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④右边为非负数时直接开平方求解，若为负数则方程无实根。对于含括号的方程，可先观察是否可将整体作为未知数配方，简化计算过程。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 - 4x = -1$
二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x = -\frac{1}{3}$
配方，两边加$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = -\frac{1}{3} + \frac{4}{9}$
即$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9}$
开平方得：$x - \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{3}$
解得：$x_1 = 1$，$x_2=\frac{1}{3}$
(2) 展开并移项整理得：$2x^2 - 3x = -1$
二次项系数化为1：$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，两边加$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$：
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{9}{16}$
即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
开平方得：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$
解得：$x_1 = 1$，$x_2=\frac{1}{2}$
(3) 令$y=x-2$，原方程转化为：$y^2 - 4y = 5$
配方，两边加$(-2)^2=4$：
$y^2 - 4y + 4 = 5 + 4$
即$(y-2)^2=9$
开平方得：$y-2=\pm3$
当$y-2=3$时，$y=5$，即$x-2=5$，$x_1=7$
当$y-2=-3$时，$y=-1$，即$x-2=-1$，$x_2=1$
(4) 移项得：$x^2 - 2ax = 3a^2$
配方，两边加$(-a)^2=a^2$：
$x^2 - 2ax + a^2 = 3a^2 + a^2$
即$(x - a)^2 = 4a^2$
开平方得：$x - a = \pm 2a$
解得：$x_1=3a$，$x_2=-a$
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$；(3)$x_1=7,x_2=1$；(4)$x_1=3a,x_2=-a$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，整体代换
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的步骤应用，不同结构的方程需先整理为适合配方的形式，部分题目运用整体代换可大幅简化计算，解题时需注意配方时等号两边需同时添加相同的常数，开平方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x$的方程$(a^2 -4a +5)x^2 +2ax +4=0$。小聪认为，无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母$a$的取值。你认为谁的判断是正确的？请简述理由。
答案
12. 解:小聪的判断是正确的。理由如下：
$\because a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a-2)^2 + 1$,
又$\because (a-2)^2≥0$,
$\therefore (a-2)^2 + 1＞0$,
即该方程的二次项系数不为0。
$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
$\because a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a-2)^2 + 1$,
又$\because (a-2)^2≥0$,
$\therefore (a-2)^2 + 1＞0$,
即该方程的二次项系数不为0。
$\therefore$无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
解析
【分析】
要判断两人的观点谁正确，首先明确一元二次方程的核心判定条件：方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否恒不为0。我们可以通过配方法对这个二次三项式变形，再结合偶次幂的非负性判断它的取值范围，即可得出结论。
【解析】
小聪的判断是正确的，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a-2)^2 + 1$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a-2)^2≥0$
∴ $(a-2)^2 + 1≥1＞0$，即无论$a$取何实数，该方程的二次项系数恒不为0
根据一元二次方程的定义，无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【答案】
小聪的判断是正确的。因为$a^2 -4a +5=(a-2)^2 +1$，由$(a-2)^2≥0$可得$(a-2)^2 +1＞0$，即方程的二次项系数恒不为0，因此无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法；偶次幂的非负性
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题核心是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定条件，通过配方变形结合非负数性质即可求解，能很好地检验学生对代数变形方法和基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断两人的观点谁正确，首先明确一元二次方程的核心判定条件：方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。因此本题的解题关键是判断二次项系数$a^2-4a+5$是否恒不为0。我们可以通过配方法对这个二次三项式变形，再结合偶次幂的非负性判断它的取值范围，即可得出结论。
【解析】
小聪的判断是正确的，理由如下：
对二次项系数配方可得：
$a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a-2)^2 + 1$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a-2)^2≥0$
∴ $(a-2)^2 + 1≥1＞0$，即无论$a$取何实数，该方程的二次项系数恒不为0
根据一元二次方程的定义，无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【答案】
小聪的判断是正确的。因为$a^2 -4a +5=(a-2)^2 +1$，由$(a-2)^2≥0$可得$(a-2)^2 +1＞0$，即方程的二次项系数恒不为0，因此无论$a$为何实数，这个方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法；偶次幂的非负性
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题核心是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定条件，通过配方变形结合非负数性质即可求解，能很好地检验学生对代数变形方法和基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
