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1. 下列函数中，属于一次函数的是
①$y=2x$，②$y=\frac{2}{3}x+200$，③$y=\frac{200}{x}$，④$y=6-5x$，⑤$y=-x^2+50$。
①②④
（填序号，下同），属于正比例函数的是①
。①$y=2x$，②$y=\frac{2}{3}x+200$，③$y=\frac{200}{x}$，④$y=6-5x$，⑤$y=-x^2+50$。
答案
①②④;①
解析
【分析】
解决本题首先要明确一次函数和正比例函数的核心定义，先回忆两类函数的标准形式：一次函数形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$），要求自变量$x$的次数为1且一次项系数不为0；正比例函数是特殊的一次函数，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），即一次函数中常数项$b=0$的情况。解题时逐个分析给出的5个函数，先筛选出符合一次函数定义的选项，再从一次函数中找出常数项为0的，就是正比例函数。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$），自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），是$b=0$的特殊一次函数。
逐个判断函数类型：
①$y=2x$：符合$y=kx$（$k=2\ne0$），既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=\frac{2}{3}x+200$：符合$y=kx+b$（$k=\frac{2}{3}\ne0$，$b=200$），是一次函数，不是正比例函数；
③$y=\frac{200}{x}$：自变量$x$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合一次函数要求；
④$y=6-5x$：整理为$y=-5x+6$，符合$y=kx+b$（$k=-5\ne0$，$b=6$），是一次函数，不是正比例函数；
⑤$y=-x^2+50$：自变量$x$的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数要求。
因此一次函数为①②④，正比例函数为①。
【答案】
①②④;①
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记一次函数和正比例函数的形式特征，注意区分一次函数与反比例函数、二次函数的差异，同时要明确正比例函数是特殊的一次函数这一从属关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确一次函数和正比例函数的核心定义，先回忆两类函数的标准形式：一次函数形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$），要求自变量$x$的次数为1且一次项系数不为0；正比例函数是特殊的一次函数，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），即一次函数中常数项$b=0$的情况。解题时逐个分析给出的5个函数，先筛选出符合一次函数定义的选项，再从一次函数中找出常数项为0的，就是正比例函数。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne0$），自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），是$b=0$的特殊一次函数。
逐个判断函数类型：
①$y=2x$：符合$y=kx$（$k=2\ne0$），既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=\frac{2}{3}x+200$：符合$y=kx+b$（$k=\frac{2}{3}\ne0$，$b=200$），是一次函数，不是正比例函数；
③$y=\frac{200}{x}$：自变量$x$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合一次函数要求；
④$y=6-5x$：整理为$y=-5x+6$，符合$y=kx+b$（$k=-5\ne0$，$b=6$），是一次函数，不是正比例函数；
⑤$y=-x^2+50$：自变量$x$的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数要求。
因此一次函数为①②④，正比例函数为①。
【答案】
①②④;①
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记一次函数和正比例函数的形式特征，注意区分一次函数与反比例函数、二次函数的差异，同时要明确正比例函数是特殊的一次函数这一从属关系。
【难度系数】
0.8
2. 分别写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b。
答案
-3,0;-1,-1;-3,1
解析
【分析】
解题的核心是明确一次函数的标准形式：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数为一次函数，其中$k$是一次项系数，$b$是常数项。解题时，我们先把每个函数整理为“因变量=系数×自变量+常数”的形式，若原式不是标准形式，先通过去括号、合并同类项化简，再对应找到$k$和$b$的值即可。
【解析】
1. 函数$p=-3q$可变形为$p=-3q+0$，对应一次函数标准形式，可得一次项系数$k=-3$，常数项$b=0$；
2. 函数$y=-x-1$是标准形式，可写为$y=-1· x + (-1)$，可得一次项系数$k=-1$，常数项$b=-1$；
3. 先化简函数$m=-3(n-1)-2$：
去括号得$m=-3n+3-2$，合并同类项得$m=-3n+1$，对应标准形式可得一次项系数$k=-3$，常数项$b=1$。
【答案】
-3,0；-1,-1；-3,1
【知识点】
一次函数的定义，整式化简
【点评】
本题主要考查一次函数基本结构的识别，解题时要注意不是标准形式的函数需先化简再判断，同时要注意系数和常数项的正负号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确一次函数的标准形式：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数为一次函数，其中$k$是一次项系数，$b$是常数项。解题时，我们先把每个函数整理为“因变量=系数×自变量+常数”的形式，若原式不是标准形式，先通过去括号、合并同类项化简，再对应找到$k$和$b$的值即可。
【解析】
1. 函数$p=-3q$可变形为$p=-3q+0$，对应一次函数标准形式，可得一次项系数$k=-3$，常数项$b=0$；
2. 函数$y=-x-1$是标准形式，可写为$y=-1· x + (-1)$，可得一次项系数$k=-1$，常数项$b=-1$；
3. 先化简函数$m=-3(n-1)-2$：
去括号得$m=-3n+3-2$，合并同类项得$m=-3n+1$，对应标准形式可得一次项系数$k=-3$，常数项$b=1$。
【答案】
-3,0；-1,-1；-3,1
【知识点】
一次函数的定义，整式化简
【点评】
本题主要考查一次函数基本结构的识别，解题时要注意不是标准形式的函数需先化简再判断，同时要注意系数和常数项的正负号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
3. 写出下列各题中 y 与 x 之间的函数表达式，并判断 y 是否为 x 的一次函数，是否为正比例函数。
（1）某品牌乒乓球每个 4 元，购买这种乒乓球的总价 y（元）与购买数量 x（个）之间的关系。
（2）小华用 500 元购买单价为 3 元的商品，剩余的钱 y（元）与购买这种商品的数量 x（件）之间的关系。
（1）某品牌乒乓球每个 4 元，购买这种乒乓球的总价 y（元）与购买数量 x（个）之间的关系。
（2）小华用 500 元购买单价为 3 元的商品，剩余的钱 y（元）与购买这种商品的数量 x（件）之间的关系。
答案
(1) $y=4x$,是一次函数,也是正比例函数。
(2) $y=500-3x$,是一次函数,但不是正比例函数。
(2) $y=500-3x$,是一次函数,但不是正比例函数。
解析
【分析】
解决本题需分两步完成：第一步先根据实际问题中的等量关系列出y与x的函数表达式；第二步结合一次函数、正比例函数的定义判断函数类型。其中一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数是一次函数；当一次函数中的$b=0$时，函数为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
第（1）题可依据“总价=单价×购买数量”列关系式，第（2）题可依据“剩余钱数=总钱数-花费的钱数”列关系式，再分别对照定义判断即可。
【解析】
（1）已知乒乓球单价为4元，根据总价的计算公式可得：
$y=4x$（$x$为非负整数）
该式符合$y=kx+b$的形式，其中$k=4\ne 0$，$b=0$，因此$y$是$x$的一次函数，同时也是正比例函数。
（2）已知总钱数为500元，每件商品单价3元，购买$x$件花费$3x$元，根据剩余钱数的计算公式可得：
$y=500-3x$，整理为$y=-3x+500$（$x$为非负整数且$3x\le 500$）
该式符合$y=kx+b$的形式，其中$k=-3\ne 0$，$b=500\ne 0$，因此$y$是$x$的一次函数，但不是正比例函数。
【答案】
(1) $y=4x$，是一次函数，也是正比例函数。
(2) $y=500-3x$，是一次函数，但不是正比例函数。
【知识点】
列实际问题函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与正比例函数的辨析，解题关键是准确提取实际问题中的等量关系列出函数式，牢记两类函数的定义，明确正比例函数是常数项为0的特殊一次函数即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解决本题需分两步完成：第一步先根据实际问题中的等量关系列出y与x的函数表达式；第二步结合一次函数、正比例函数的定义判断函数类型。其中一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne 0$）的函数是一次函数；当一次函数中的$b=0$时，函数为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
第（1）题可依据“总价=单价×购买数量”列关系式，第（2）题可依据“剩余钱数=总钱数-花费的钱数”列关系式，再分别对照定义判断即可。
【解析】
（1）已知乒乓球单价为4元，根据总价的计算公式可得：
$y=4x$（$x$为非负整数）
该式符合$y=kx+b$的形式，其中$k=4\ne 0$，$b=0$，因此$y$是$x$的一次函数，同时也是正比例函数。
（2）已知总钱数为500元，每件商品单价3元，购买$x$件花费$3x$元，根据剩余钱数的计算公式可得：
$y=500-3x$，整理为$y=-3x+500$（$x$为非负整数且$3x\le 500$）
该式符合$y=kx+b$的形式，其中$k=-3\ne 0$，$b=500\ne 0$，因此$y$是$x$的一次函数，但不是正比例函数。
【答案】
(1) $y=4x$，是一次函数，也是正比例函数。
(2) $y=500-3x$，是一次函数，但不是正比例函数。
【知识点】
列实际问题函数关系式；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与正比例函数的辨析，解题关键是准确提取实际问题中的等量关系列出函数式，牢记两类函数的定义，明确正比例函数是常数项为0的特殊一次函数即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4. 已知Q是关于t的正比例函数，且当$t=5$时，$Q=-20$。
（1）求Q关于t的函数表达式。
（2）当$t=-5$时，求函数Q的值。
（3）当$Q=34$时，求自变量t的值。
（1）求Q关于t的函数表达式。
（2）当$t=-5$时，求函数Q的值。
（3）当$Q=34$时，求自变量t的值。
答案
(1) $Q=-4t$ (2) 20 (3) $-\frac{17}{2}$
解析
【分析】
本题考查正比例函数的相关计算，解题思路如下：
1. 第（1）问：已知函数是正比例函数，先回忆正比例函数的一般形式为$Q=kt$（$k$为常数，$k\ne0$），利用待定系数法，将已知的$t=5$、$Q=-20$代入表达式，求解出常数$k$，即可得到$Q$关于$t$的函数表达式。
2. 第（2）问：将$t=-5$直接代入第（1）问求出的函数表达式中，计算即可得到对应的$Q$值。
3. 第（3）问：将$Q=34$代入函数表达式，得到关于$t$的一元一次方程，解方程即可求出$t$的值。
【解析】
（1）设$Q$关于$t$的正比例函数表达式为$Q=kt$（$k$是常数，且$k\ne0$）。
将$t=5$，$Q=-20$代入表达式，得：
$-20=5k$
解得$k=-4$
因此$Q$关于$t$的函数表达式为$Q=-4t$。
（2）将$t=-5$代入$Q=-4t$，得：
$Q=-4×(-5)=20$
（3）将$Q=34$代入$Q=-4t$，得：
$34=-4t$
解得$t=-\frac{34}{4}=-\frac{17}{2}$
【答案】
(1) $Q=-4t$ (2) 20 (3) $-\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 正比例函数的定义 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值的计算
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查正比例函数的性质与基础计算，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及代入法求解对应值的技巧，熟练掌握本题解法可为后续学习一次函数相关内容打好基础。
【难度系数】
0.85
本题考查正比例函数的相关计算，解题思路如下：
1. 第（1）问：已知函数是正比例函数，先回忆正比例函数的一般形式为$Q=kt$（$k$为常数，$k\ne0$），利用待定系数法，将已知的$t=5$、$Q=-20$代入表达式，求解出常数$k$，即可得到$Q$关于$t$的函数表达式。
2. 第（2）问：将$t=-5$直接代入第（1）问求出的函数表达式中，计算即可得到对应的$Q$值。
3. 第（3）问：将$Q=34$代入函数表达式，得到关于$t$的一元一次方程，解方程即可求出$t$的值。
【解析】
（1）设$Q$关于$t$的正比例函数表达式为$Q=kt$（$k$是常数，且$k\ne0$）。
将$t=5$，$Q=-20$代入表达式，得：
$-20=5k$
解得$k=-4$
因此$Q$关于$t$的函数表达式为$Q=-4t$。
（2）将$t=-5$代入$Q=-4t$，得：
$Q=-4×(-5)=20$
（3）将$Q=34$代入$Q=-4t$，得：
$34=-4t$
解得$t=-\frac{34}{4}=-\frac{17}{2}$
【答案】
(1) $Q=-4t$ (2) 20 (3) $-\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 正比例函数的定义 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值的计算
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查正比例函数的性质与基础计算，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及代入法求解对应值的技巧，熟练掌握本题解法可为后续学习一次函数相关内容打好基础。
【难度系数】
0.85
