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5. 把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x(cm)，宽不变，所得长方形的面积为$y(\mathrm{cm}^2)$。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式。
（2）当$y=25\ \mathrm{cm}^2$时，求自变量$x$的值。
（1）求$y$关于$x$的函数表达式。
（2）当$y=25\ \mathrm{cm}^2$时，求自变量$x$的值。
答案
(1) $y=-5x+50$ (2) $x=5$
解析
【分析】
（1）求解y关于x的函数表达式，首先先明确变化后长方形的边长：原长10cm，减少x cm后长为$(10-x)$cm，宽保持5cm不变，再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，代入对应边长即可得到y与x的关系式，最后化简即可，同时注意自变量x的取值要保证长为正数且x非负。
（2）已知y的值求x时，直接将y的取值代入第一问得到的函数表达式，得到关于x的一元一次方程，解方程后验证结果是否符合自变量取值范围即可。
【解析】
（1）由题意得，长减少x cm后，所得长方形的长为$(10-x)\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：
$y=5(10-x)$
化简得：$y=-5x+50$（自变量取值范围：$0≤ x＜10$）
（2）当$y=25\ \mathrm{cm}^2$时，将$y=25$代入$y=-5x+50$中，得：
$25=-5x+50$
移项计算得：$5x=50-25=25$
系数化为1得：$x=5$
经检验，$x=5$符合自变量的取值范围，结果成立。
【答案】
(1) $y=-5x+50$ (2) $x=5$
【知识点】
长方形面积计算，一次函数解析式求解，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础应用类题目，结合几何图形的面积关系考查函数表达式的列写和代入求值能力，熟练掌握基础公式和方程解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
（1）求解y关于x的函数表达式，首先先明确变化后长方形的边长：原长10cm，减少x cm后长为$(10-x)$cm，宽保持5cm不变，再根据长方形面积公式“面积=长×宽”，代入对应边长即可得到y与x的关系式，最后化简即可，同时注意自变量x的取值要保证长为正数且x非负。
（2）已知y的值求x时，直接将y的取值代入第一问得到的函数表达式，得到关于x的一元一次方程，解方程后验证结果是否符合自变量取值范围即可。
【解析】
（1）由题意得，长减少x cm后，所得长方形的长为$(10-x)\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：
$y=5(10-x)$
化简得：$y=-5x+50$（自变量取值范围：$0≤ x＜10$）
（2）当$y=25\ \mathrm{cm}^2$时，将$y=25$代入$y=-5x+50$中，得：
$25=-5x+50$
移项计算得：$5x=50-25=25$
系数化为1得：$x=5$
经检验，$x=5$符合自变量的取值范围，结果成立。
【答案】
(1) $y=-5x+50$ (2) $x=5$
【知识点】
长方形面积计算，一次函数解析式求解，一元一次方程解法
【点评】
本题是基础应用类题目，结合几何图形的面积关系考查函数表达式的列写和代入求值能力，熟练掌握基础公式和方程解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
6. 如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先明确正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），本题中集合A的元素是自变量$x$的取值，集合B的元素是对应的函数值$y$的取值。我们可以先利用已知的对应关系“$x=1$时$y=3$”求出比例系数$k$，确定函数解析式，再利用“$x=a$时$y=2$”的对应关系代入解析式，即可求出$a$的值。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y = kx$（$k ≠ 0$）。
由图中对应关系可知，当$x=1$时，$y=3$，将其代入解析式得：
$3 = k×1$，解得$k=3$，因此该正比例函数的解析式为$y=3x$。
又知当$x=a$时，$y=2$，将其代入$y=3x$得：
$2 = 3a$，解得$a=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的概念；待定系数法求解析式；函数的对应关系
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心是利用已知对应关系确定函数解析式，再代入求解未知量，熟练掌握正比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），本题中集合A的元素是自变量$x$的取值，集合B的元素是对应的函数值$y$的取值。我们可以先利用已知的对应关系“$x=1$时$y=3$”求出比例系数$k$，确定函数解析式，再利用“$x=a$时$y=2$”的对应关系代入解析式，即可求出$a$的值。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y = kx$（$k ≠ 0$）。
由图中对应关系可知，当$x=1$时，$y=3$，将其代入解析式得：
$3 = k×1$，解得$k=3$，因此该正比例函数的解析式为$y=3x$。
又知当$x=a$时，$y=2$，将其代入$y=3x$得：
$2 = 3a$，解得$a=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的概念；待定系数法求解析式；函数的对应关系
【点评】
本题属于正比例函数的基础应用题，核心是利用已知对应关系确定函数解析式，再代入求解未知量，熟练掌握正比例函数的基本形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 定义$[p,q]$为一次函数$y=px+q$的特征数。若特征数为$[k-1,k^2-1]$的一次函数为正比例函数，则k的值为
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
首先理解题目给出的“特征数”新定义：特征数的第一个数对应一次函数的一次项系数，第二个数对应常数项，据此先写出题干中特征数对应的一次函数表达式。接下来回忆正比例函数的判定条件：正比例函数是特殊的一次函数，需要同时满足两个要求，一是常数项为0，二是一次项系数不能为0，两个条件缺一不可。最后根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解，即可得到k的正确值。
【解析】
根据特征数的定义，特征数为$[k-1,k^2-1]$的一次函数表达式为：
$y=(k-1)x + (k^2-1)$
已知该函数为正比例函数，根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}k^2-1=0 \\k-1≠0\end{cases}$
解方程$k^2-1=0$，得$k=1$或$k=-1$；
解不等式$k-1≠0$，得$k≠1$；
综上，$k$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义理解、正比例函数的定义、方程与不等式求解
【点评】
本题结合新定义考查正比例函数的判定，解题时要注意不能只记得正比例函数常数项为0的要求，遗漏一次项系数不为0的限制，否则会出现多解的错误，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先理解题目给出的“特征数”新定义：特征数的第一个数对应一次函数的一次项系数，第二个数对应常数项，据此先写出题干中特征数对应的一次函数表达式。接下来回忆正比例函数的判定条件：正比例函数是特殊的一次函数，需要同时满足两个要求，一是常数项为0，二是一次项系数不能为0，两个条件缺一不可。最后根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后排除不符合要求的解，即可得到k的正确值。
【解析】
根据特征数的定义，特征数为$[k-1,k^2-1]$的一次函数表达式为：
$y=(k-1)x + (k^2-1)$
已知该函数为正比例函数，根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}k^2-1=0 \\k-1≠0\end{cases}$
解方程$k^2-1=0$，得$k=1$或$k=-1$；
解不等式$k-1≠0$，得$k≠1$；
综上，$k$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义理解、正比例函数的定义、方程与不等式求解
【点评】
本题结合新定义考查正比例函数的判定，解题时要注意不能只记得正比例函数常数项为0的要求，遗漏一次项系数不为0的限制，否则会出现多解的错误，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
8. 高空的气温与距地面的高度有关。某地距地面的高度每升高1 km，气温下降$6\ °\mathrm{C}$，已知地面气温为$24\ °\mathrm{C}$。
（1）写出该地空中气温$T(°\mathrm{C})$与高度$h(\mathrm{km})$之间的函数表达式。
（2）求距地面3 km处的气温$T$。
（3）求气温为$-6\ °\mathrm{C}$处距地面的高度$h$。
（1）写出该地空中气温$T(°\mathrm{C})$与高度$h(\mathrm{km})$之间的函数表达式。
（2）求距地面3 km处的气温$T$。
（3）求气温为$-6\ °\mathrm{C}$处距地面的高度$h$。
答案
(1) $T=-6h+24$ (2) $6\ ℃$ (3) $5\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
解题思路如下：（1）首先明确变量关系：空中气温=地面气温-随高度升高下降的总温度，已知每升高1km气温降6℃，升高h km时总降温为6h℃，地面气温为24℃，据此即可列出T与h的函数表达式；（2）求距地面3km处的气温，是已知自变量h=3，将其代入函数表达式即可求出对应的函数值T；（3）求气温为-6℃处的高度，是已知函数值T=-6，将其代入函数表达式，解一元一次方程即可求出对应的自变量h的值。
【解析】
（1）已知距地面高度每升高1km，气温下降$6\ °\mathrm{C}$，则高度为$h\ \mathrm{km}$时，气温共下降$6h\ °\mathrm{C}$，又地面气温为$24\ °\mathrm{C}$，因此气温$T$与高度$h$的函数表达式为：
$T=24-6h$，即$T=-6h+24$
（2）将$h=3$代入$T=-6h+24$，得：
$T=-6×3+24=-18+24=6$
即距地面3km处的气温为$6\ °\mathrm{C}$。
（3）将$T=-6$代入$T=-6h+24$，得方程：
$-6=-6h+24$
移项得：$6h=24+6$
计算得：$6h=30$，解得$h=5$
即气温为$-6\ °\mathrm{C}$处距地面的高度为5km。
【答案】
(1) $T=-6h+24$ (2) $6\ ℃$ (3) $5\ \mathrm{km}$
【知识点】
一次函数的实际应用；代入法求值；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用，侧重考查对变量间数量关系的梳理能力，以及代入法求解一次函数相关问题的基本技能，掌握一次函数的基础性质和一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：（1）首先明确变量关系：空中气温=地面气温-随高度升高下降的总温度，已知每升高1km气温降6℃，升高h km时总降温为6h℃，地面气温为24℃，据此即可列出T与h的函数表达式；（2）求距地面3km处的气温，是已知自变量h=3，将其代入函数表达式即可求出对应的函数值T；（3）求气温为-6℃处的高度，是已知函数值T=-6，将其代入函数表达式，解一元一次方程即可求出对应的自变量h的值。
【解析】
（1）已知距地面高度每升高1km，气温下降$6\ °\mathrm{C}$，则高度为$h\ \mathrm{km}$时，气温共下降$6h\ °\mathrm{C}$，又地面气温为$24\ °\mathrm{C}$，因此气温$T$与高度$h$的函数表达式为：
$T=24-6h$，即$T=-6h+24$
（2）将$h=3$代入$T=-6h+24$，得：
$T=-6×3+24=-18+24=6$
即距地面3km处的气温为$6\ °\mathrm{C}$。
（3）将$T=-6$代入$T=-6h+24$，得方程：
$-6=-6h+24$
移项得：$6h=24+6$
计算得：$6h=30$，解得$h=5$
即气温为$-6\ °\mathrm{C}$处距地面的高度为5km。
【答案】
(1) $T=-6h+24$ (2) $6\ ℃$ (3) $5\ \mathrm{km}$
【知识点】
一次函数的实际应用；代入法求值；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用，侧重考查对变量间数量关系的梳理能力，以及代入法求解一次函数相关问题的基本技能，掌握一次函数的基础性质和一元一次方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
