3. (2025·绵阳)如图13,小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿,将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处,然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时,看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m,竹竿CD长3 m,则大树的高度EF为 m.

解：过点B作BG⊥EF，垂足为G，交CD于点H。
由题意得，AB⊥AE，CD⊥AE，EF⊥AE，
∴ 四边形ABHC、ABGE、CHEG均为矩形，
∴ BH=AC=2 m，BG=AE=AC+CE=2+10=12 m，
DH=CD - CH=CD - AB=3 - 1.6=1.4 m，EG=AB=1.6 m。
∵ CD//EF，
∴ △BDH∽△BFG，
∴ $\frac{DH}{FG}=\frac{BH}{BG}$，
代入数据得 $\frac{1.4}{FG}=\frac{2}{12}$，
解得 FG=8.4 m，
∴ EF=FG+EG=8.4+1.6=10 m。
答：大树的高度EF为10 m。

【分析】这是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题时可按以下思路推导：首先构造辅助线，过点B作BG⊥EF，分别交CD、EF于点H、G，借助“所有垂直于地面的线段互相平行”的特点，可得到多个矩形，利用矩形对边相等的性质，先求出BH、BG、DH的长度，同时得到EG=AB；再由CD//EF可判定△BDH∽△BFG，根据相似三角形对应边成比例列方程，即可求出FG的长度；最后将FG与EG相加，就能得到大树EF的总高度。
【解析】解：过点B作BG⊥EF，垂足为G，交CD于点H。
由题意得，AB⊥AE，CD⊥AE，EF⊥AE，
∴ 四边形ABHC、ABGE、CHEG均为矩形，
∴ BH=AC=2 m，BG=AE=AC+CE=2+10=12 m，
DH=CD - CH=CD - AB=3 - 1.6=1.4 m，EG=AB=1.6 m。
∵ CD//EF，
∴ △BDH∽△BFG，
∴ $\frac{DH}{FG}=\frac{BH}{BG}$，
代入数据得 $\frac{1.4}{FG}=\frac{2}{12}$，
解得 FG=8.4 m，
∴ EF=FG+EG=8.4+1.6=10 m。
【答案】10
【知识点】相似三角形的应用；矩形的性质
【点评】本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题转化为相似三角形的几何模型，计算时要注意找准相似三角形的对应边，避免对应关系混淆。
【难度系数】0.7

4. 周末,小凯和同学带着皮尺,去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图14,由于无法直接测量,小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF,通过在直线EF上选点观测,发现当他位于N点时,他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处;当他位于N'点时,视线从M'点通过D点正好落在遮阳篷B点处,这样观测到的两个点A和B间的距离即为遮阳篷的宽.已知$AB// CD// EF$,点C在AG上,AG,DE,MN,$M'N'$均垂直于EF,$MN=M'N'$,露台的宽$CD=GE$.测得$GE=5\ \mathrm{m},EN=12.3\ \mathrm{m},NN'=6.2\ \mathrm{m}$. 请你根据以上信息,求出遮阳篷的宽AB是多少米.(结果精确到$0.01\ \mathrm{m}$)

解：
∵ AB//CD//EF，AG、DE、MN、M'N'均垂直于EF，
∴ AC⊥CD，MN⊥EF，AC//MN，∠ACD=∠MNE=90°，
又∵ ∠ADC=∠MEN？不对，∠ADC=∠MDN，
∴ △DAC ∽ △DMN，
∴ $\frac{AC}{MN}=\frac{CD}{EN}$ ①
同理，过点B作BP⊥CD于点P，可得BP//M'N'，BP=AC，
∴ △DBP ∽ △DM'N'，
∴ $\frac{BP}{M'N'}=\frac{DP}{EN'}$
∵ MN=M'N'，DP=CD-AB，EN'=EN-NN'，
代入得：$\frac{AC}{MN}=\frac{CD-AB}{EN-NN'}$ ②
联立①②得：$\frac{CD}{EN}=\frac{CD-AB}{EN-NN'}$
将CD=GE=5 m，EN=12.3 m，NN'=6.2 m代入：
$\frac{5}{12.3}=\frac{5-AB}{12.3-6.2}$
整理得：$12.3×(5-AB)=5×6.1$
解得：$AB=\frac{5×6.2}{12.3}\approx2.52\ \mathrm{m}$
答：遮阳篷的宽AB约是2.52米。

【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解遮阳篷宽度。首先，根据题目给出的$AB// CD// EF$，及多组线段垂直于$EF$的条件，可找到两组相似三角形；其次，分别写出两组相似三角形对应边成比例的式子，利用已知$MN=M'N'$、两个比例式左侧相等的特点，消去$AC$、$MN$等中间未知量，得到仅含$AB$的方程，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，$AG$、$DE$、$MN$、$M'N'$均垂直于$EF$，
$\therefore AC⊥ CD$，$MN⊥ EF$，$AC// MN$，$∠ ACD=∠ MNE=90°$，
又$\because ∠ ADC=∠ MDN$，
$\therefore △ DAC ∽ △ DMN$，
$\therefore \frac{AC}{MN}=\frac{CD}{EN}$ ①
过点$B$作$BP⊥ CD$于点$P$，同理可得$BP// M'N'$，$∠ BPD=∠ M'N'E=90°$，$∠ BDP=∠ M'DN'$，
$\therefore △ DBP ∽ △ DM'N'$，
$\therefore \frac{BP}{M'N'}=\frac{DP}{EN'}$
$\because MN=M'N'$，$BP=AC$，$DP=CD-AB$，$EN'=EN-NN'$，
代入得：$\frac{AC}{MN}=\frac{CD-AB}{EN-NN'}$ ②
联立①②得：$\frac{CD}{EN}=\frac{CD-AB}{EN-NN'}$
将$CD=GE=5\ \mathrm{m}$，$EN=12.3\ \mathrm{m}$，$NN'=6.2\ \mathrm{m}$代入：
$\frac{5}{12.3}=\frac{5-AB}{12.3-6.2}$
交叉相乘整理得：$12.3×(5-AB)=5×6.1$
解得：$AB=\frac{31}{12.3}\approx2.52\ \mathrm{m}$
【答案】
$\boxed{2.52}$米
【知识点】
相似三角形的应用；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形在实际测量中的应用题型，解题核心是通过平行、垂直关系构造相似三角形，利用比例性质消去中间未知量，建立待求量的方程求解，有效考查了学生把实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6

5. (2025·河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心. 某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.

根据以上信息，解决下列问题.
(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA，请说明理由.
(2)求纪念碑AB的高度.
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m. 查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m. 请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大，并分析误差较大的可能原因(写出一条即可).

解：(1) 由题意得，$DE⊥ FC$，$AC⊥ FC$，
同一时刻太阳光线平行，即$EF// AD$，
$\therefore ∠ FDE=∠ DCA=90°$，$∠ F=∠ ADC$，
$\because DE=2.1\ \mathrm{m}$，$DF=2.1\ \mathrm{m}$，$\therefore DE=DF$，
$\therefore △ DEF$是等腰直角三角形，$∠ F=45°$，
$\therefore ∠ ADC=45°$，
又$\because ∠ ACD=90°$，$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=CA$。
(2) 过点$N$作水平直线，交$DE$于点$P$，交$AB$于点$Q$。
由题意可知，四边形$NMDP$、四边形$PDCQ$均为矩形，
$\therefore PQ=DC$，$NP=DM=1\ \mathrm{m}$，$MN=DP=BQ=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore EP=DE-DP=2.1-1.2=0.9\ \mathrm{m}$，$AQ=AB$。
$\because EP// AQ$，$\therefore △ NEP∽△ NAQ$，
$\therefore \dfrac{EP}{AQ}=\dfrac{NP}{NQ}$。
$\because NQ=NP+PQ=1+CD$，
由(1)知$CA=CD$，又$CA=AB+BC$，$BC=MN=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=AB+1.2$。
将$AQ=AB$，$NQ=1+CD$代入比例式得：
$\dfrac{0.9}{AB}=\dfrac{1}{1+AB+1.2}$
整理得：$AB = 0.9AB + 1.98$，
解得：$AB=19.8\ \mathrm{m}$。
即纪念碑$AB$的高度为$19.8\ \mathrm{m}$。
(3) 计算误差：$|18.5 - 19.64|=1.14\ \mathrm{m}$，$|19.8 - 19.64|=0.16\ \mathrm{m}$，
$\because 1.14＞0.16$，$\therefore$ 小红的结果误差较大。
可能原因：间接测量$CD$长度时，测量工具精度不足，导致$CD$的测量值存在较大偏差。

【分析】
(1) 要证明CD=CA，可先证明△ACD是等腰直角三角形：首先根据垂直定义得∠FDE=∠DCA=90°，同一时刻太阳光线平行可知EF//AD，推出∠ADC=∠F；结合DE=DF得△DEF是等腰直角三角形，∠F=45°，故∠ADC=45°，即可得△ACD为等腰直角三角形，得到CD=CA。
(2) 求AB高度需构造相似三角形：过N作水平直线分别交DE、AB于P、Q，先利用矩形性质得到各线段的长度关系，再由EP//AQ证明△NEP∽△NAQ，结合(1)中CD=CA的结论，把相关线段用AB表示，代入相似三角形的对应边成比例列方程求解即可。
(3) 要判断哪个误差大，分别计算两个测量值与实际值的差的绝对值，绝对值大的误差大；误差原因可从测量环节的影响因素分析，比如测量长度的工具精度、观测视线偏差等。
【解析】
(1) 由题意得，$DE⊥ FC$，$AC⊥ FC$，
同一时刻太阳光线平行，即$EF// AD$，
$\therefore ∠FDE=∠DCA=90°$，$∠F=∠ADC$，
$\because DE=2.1\ \mathrm{m}$，$DF=2.1\ \mathrm{m}$，$\therefore DE=DF$，
$\therefore △DEF$是等腰直角三角形，$∠F=45°$，
$\therefore ∠ADC=45°$，
又$\because ∠ACD=90°$，$\therefore △ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=CA$。
(2) 过点$N$作水平直线，交$DE$于点$P$，交$AB$于点$Q$。
由题意可知，四边形$NMDP$、四边形$PDCQ$均为矩形，
$\therefore PQ=DC$，$NP=DM=1\ \mathrm{m}$，$MN=DP=BQ=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore EP=DE-DP=2.1-1.2=0.9\ \mathrm{m}$，$AQ=AB$。
$\because EP// AQ$，$\therefore △NEP∽△NAQ$，
$\therefore \dfrac{EP}{AQ}=\dfrac{NP}{NQ}$。
$\because NQ=NP+PQ=1+CD$，
由(1)知$CA=CD$，又$CA=AB+BC$，$BC=MN=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=AB+1.2$。
将$AQ=AB$，$NQ=1+CD$代入比例式得：
$\dfrac{0.9}{AB}=\dfrac{1}{1+AB+1.2}$
整理得：$AB = 0.9AB + 1.98$，
解得：$AB=19.8\ \mathrm{m}$。
(3) 分别计算两个结果与实际高度的误差：
$|18.5 - 19.64|=1.14\ \mathrm{m}$，$|19.8 - 19.64|=0.16\ \mathrm{m}$，
$\because 1.14＞0.16$，$\therefore$小红的结果误差较大。
可能原因：间接测量$CD$长度时，测量工具精度不足，导致$CD$的测量值存在较大偏差（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 理由见解析；
(2) 纪念碑AB的高度为$\boldsymbol{19.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 小红的结果误差较大，原因示例：测量CD时测量工具精度不足导致偏差（合理即可）。
【知识点】
相似三角形的应用；等腰直角三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题以实际测量纪念碑高度为背景，将几何知识和实际问题结合，既考查了等腰直角三角形、相似三角形的基础性质，也考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及利用方程思想解决几何问题的应用意识。
【难度系数】
0.65