登录
6. 如图9,AB是$\odot O$的弦,直径$CM⊥ AB$于点E,延长CM到点D,连接AD,CB,使$∠ BAD=2∠ BCD$.
(1)求证:AD是$\odot O$的切线;
(2)若$DE:OE=5:1$,且$\odot O$的半径是$\sqrt{6}$,求弦AB的长.
(1)求证:AD是$\odot O$的切线;
(2)若$DE:OE=5:1$,且$\odot O$的半径是$\sqrt{6}$,求弦AB的长.
答案
(1) 证明：
连接OA，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠BCD，
∴ ∠AOM=∠OAC+∠BCD=2∠BCD，
又∵ ∠BAD=2∠BCD，
∴ ∠AOM=∠BAD。
∵ CM⊥AB，
∴ ∠AEO=90°，
∴ ∠OAE+∠AOM=90°，
∴ ∠OAE+∠BAD=90°，即∠OAD=90°，
∴ OA⊥AD，
又∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
设OE=x，由DE:OE=5:1，得DE=5x，
∴ OD=OE+DE=6x。
∵ ∠AEO=∠OAD=90°，∠AOE=∠DOA，
∴ △OAE∽△ODA，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OA}$，即 $OA^2=OE· OD$。
∵ ⊙O的半径$OA=\sqrt{6}$，
∴ $(\sqrt{6})^2=x· 6x$，
即$6=6x^2$，
解得$x=1$（$x＞0$，舍去负根），
∴ OE=1。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$，
∵ 直径CM⊥AB，由垂径定理得AB=2AE，
∴ $AB=2\sqrt{5}$。
答：弦AB的长为$2\sqrt{5}$。
连接OA，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠BCD，
∴ ∠AOM=∠OAC+∠BCD=2∠BCD，
又∵ ∠BAD=2∠BCD，
∴ ∠AOM=∠BAD。
∵ CM⊥AB，
∴ ∠AEO=90°，
∴ ∠OAE+∠AOM=90°，
∴ ∠OAE+∠BAD=90°，即∠OAD=90°，
∴ OA⊥AD，
又∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
设OE=x，由DE:OE=5:1，得DE=5x，
∴ OD=OE+DE=6x。
∵ ∠AEO=∠OAD=90°，∠AOE=∠DOA，
∴ △OAE∽△ODA，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OA}$，即 $OA^2=OE· OD$。
∵ ⊙O的半径$OA=\sqrt{6}$，
∴ $(\sqrt{6})^2=x· 6x$，
即$6=6x^2$，
解得$x=1$（$x＞0$，舍去负根），
∴ OE=1。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$，
∵ 直径CM⊥AB，由垂径定理得AB=2AE，
∴ $AB=2\sqrt{5}$。
答：弦AB的长为$2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OA垂直于AD，因此先连接OA。已知∠BAD=2∠BCD，结合OA=OC可得∠OAC=∠BCD，由三角形外角性质推出∠AOM=2∠BCD，即可得∠AOM=∠BAD；再由CM⊥AB得∠AEO=90°，即∠OAE+∠AOM=90°，等量代换后可得∠OAD=90°，即可证明AD为切线。
（2）求弦AB的长，根据垂径定理可知直径CM⊥AB时AB=2AE，因此只需计算AE的长度即可。已知DE:OE=5:1，可设OE=x，则DE=5x、OD=6x；观察图形可得△OAE和△ODA有公共角∠AOE，且均含直角，因此两三角形相似，利用相似性质列比例式可求出x的值，再通过勾股定理计算AE，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OA，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠BCD，
∴ ∠AOM=∠OAC+∠BCD=2∠BCD，
又
∵ ∠BAD=2∠BCD，
∴ ∠AOM=∠BAD。
∵ CM⊥AB，
∴ ∠AEO=90°，
∴ ∠OAE+∠AOM=90°，
∴ ∠OAE+∠BAD=90°，即∠OAD=90°，
∴ OA⊥AD，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
设OE=x，由DE:OE=5:1，得DE=5x，
∴ OD=OE+DE=6x。
∵ ∠AEO=∠OAD=90°，∠AOE=∠DOA，
∴ △OAE∽△ODA，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OA}$，即 $OA^2=OE· OD$。
∵ ⊙O的半径$OA=\sqrt{6}$，
∴ $(\sqrt{6})^2=x· 6x$，
即$6=6x^2$，
解得$x=1$（$x＞0$，舍去负根），
∴ OE=1。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$，
∵ 直径CM⊥AB，由垂径定理得AB=2AE，
∴ $AB=2\sqrt{5}$。
【答案】
（1）AD是⊙O的切线，证明成立；（2）弦AB的长为$2\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，既考查了切线证明的常用思路“连半径，证垂直”，也考查了圆的性质与相似、勾股定理结合的线段计算，解题时要注意挖掘角的等量关系，结合方程思想简化计算。
【难度系数】
0.6
（1）要证明AD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明半径OA垂直于AD，因此先连接OA。已知∠BAD=2∠BCD，结合OA=OC可得∠OAC=∠BCD，由三角形外角性质推出∠AOM=2∠BCD，即可得∠AOM=∠BAD；再由CM⊥AB得∠AEO=90°，即∠OAE+∠AOM=90°，等量代换后可得∠OAD=90°，即可证明AD为切线。
（2）求弦AB的长，根据垂径定理可知直径CM⊥AB时AB=2AE，因此只需计算AE的长度即可。已知DE:OE=5:1，可设OE=x，则DE=5x、OD=6x；观察图形可得△OAE和△ODA有公共角∠AOE，且均含直角，因此两三角形相似，利用相似性质列比例式可求出x的值，再通过勾股定理计算AE，乘2即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OA，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠BCD，
∴ ∠AOM=∠OAC+∠BCD=2∠BCD，
又
∵ ∠BAD=2∠BCD，
∴ ∠AOM=∠BAD。
∵ CM⊥AB，
∴ ∠AEO=90°，
∴ ∠OAE+∠AOM=90°，
∴ ∠OAE+∠BAD=90°，即∠OAD=90°，
∴ OA⊥AD，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AD是⊙O的切线。
(2) 解：
设OE=x，由DE:OE=5:1，得DE=5x，
∴ OD=OE+DE=6x。
∵ ∠AEO=∠OAD=90°，∠AOE=∠DOA，
∴ △OAE∽△ODA，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OA}$，即 $OA^2=OE· OD$。
∵ ⊙O的半径$OA=\sqrt{6}$，
∴ $(\sqrt{6})^2=x· 6x$，
即$6=6x^2$，
解得$x=1$（$x＞0$，舍去负根），
∴ OE=1。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-1^2}=\sqrt{5}$，
∵ 直径CM⊥AB，由垂径定理得AB=2AE，
∴ $AB=2\sqrt{5}$。
【答案】
（1）AD是⊙O的切线，证明成立；（2）弦AB的长为$2\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，既考查了切线证明的常用思路“连半径，证垂直”，也考查了圆的性质与相似、勾股定理结合的线段计算，解题时要注意挖掘角的等量关系，结合方程思想简化计算。
【难度系数】
0.6
7. (2025·潍坊)如图10,在$△ ABC$中,点D,E,G分别是边AB,AC,BC的中点,DE与AG相交于点F,连接CF,AG=AC.求证:
(1)$\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$;
(2)$△ ADF ≌ △ CFE$.
(1)$\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$;
(2)$△ ADF ≌ △ CFE$.
答案
证明：
(1) ∵ 点D,E分别是边AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，点D是AB的中点，
∴ 在△ABG中，DF是中位线，
∴ F是AG的中点，即$AF=\frac{1}{2}AG$，$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$。
(2) ∵ 点G是BC的中点，
∴ $BG=GC$。
由(1)知，DF是△ABG的中位线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BG$。
同理可得EF是△AGC的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}GC$，
∴ $DF=EF$。
∵ F是AG中点，E是AC中点，$AG=AC$，
∴ $AF=\frac{1}{2}AG$，$EC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $AF=EC$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ CEF + ∠ ACB = 180°$，$∠ AFD = ∠ AGB$。
∵ $AG=AC$，
∴ $∠ AGC = ∠ ACB$。
又∵ $∠ AGB + ∠ AGC = 180°$，
∴ $∠ AGB + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ CEF = ∠ AGB = ∠ AFD$。
在△ADF和△CFE中：
$\begin{cases}AF=EC \\∠ AFD = ∠ CEF \\DF=EF\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CFE$（SAS）。
(1) ∵ 点D,E分别是边AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，点D是AB的中点，
∴ 在△ABG中，DF是中位线，
∴ F是AG的中点，即$AF=\frac{1}{2}AG$，$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$。
(2) ∵ 点G是BC的中点，
∴ $BG=GC$。
由(1)知，DF是△ABG的中位线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BG$。
同理可得EF是△AGC的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}GC$，
∴ $DF=EF$。
∵ F是AG中点，E是AC中点，$AG=AC$，
∴ $AF=\frac{1}{2}AG$，$EC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $AF=EC$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ CEF + ∠ ACB = 180°$，$∠ AFD = ∠ AGB$。
∵ $AG=AC$，
∴ $∠ AGC = ∠ ACB$。
又∵ $∠ AGB + ∠ AGC = 180°$，
∴ $∠ AGB + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ CEF = ∠ AGB = ∠ AFD$。
在△ADF和△CFE中：
$\begin{cases}AF=EC \\∠ AFD = ∠ CEF \\DF=EF\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CFE$（SAS）。
解析
【分析】
（1）要证明两个比值相等，可分别计算两个比值的大小：首先看到D、E是AB、AC的中点，优先想到三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，直接推出$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$；再结合DE//BC、D是AB中点，可推出DF是△ABG的中位线，得到F是AG中点，因此$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$，即可证明两个比值相等。
（2）要证明△ADF≌△CFE，可选择SAS判定定理推导对应条件：首先由中位线性质结合G是BC中点，可得DF=EF；再由F是AG中点、E是AC中点，结合已知AG=AC可得AF=EC；最后利用平行线的同旁内角互补、等腰三角形底角相等、邻补角和为180°的性质，推导得到夹角∠AFD=∠CEF，满足SAS的判定条件，即可证明全等。
【解析】
(1)
∵ 点D,E分别是边AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，点D是AB的中点，
∴ 在△ABG中，DF是中位线，
∴ F是AG的中点，即$AF=\frac{1}{2}AG$，$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$。
(2)
∵ 点G是BC的中点，
∴ $BG=GC$。
由(1)知，DF是△ABG的中位线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BG$。
同理可得EF是△AGC的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}GC$，
∴ $DF=EF$。
∵ F是AG中点，E是AC中点，$AG=AC$，
∴ $AF=\frac{1}{2}AG$，$EC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $AF=EC$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ CEF + ∠ ACB = 180°$，$∠ AFD = ∠ AGB$。
∵ $AG=AC$，
∴ $∠ AGC = ∠ ACB$。
又
∵ $∠ AGB + ∠ AGC = 180°$，
∴ $∠ AGB + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ CEF = ∠ AGB = ∠ AFD$。
在△ADF和△CFE中：
$\begin{cases}AF=EC \\∠ AFD = ∠ CEF \\DF=EF\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CFE$（SAS）。
【答案】
(1) $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$得证；
(2) $△ ADF ≌ △ CFE$得证，证明过程如上。
【知识点】
三角形中位线定理；全等三角形SAS判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考察三角形中位线、全等判定、等腰三角形性质的结合应用，解题核心是熟练掌握中位线的数量与位置关系，再结合已知条件逐步推导全等所需的边、角相等条件，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两个比值相等，可分别计算两个比值的大小：首先看到D、E是AB、AC的中点，优先想到三角形中位线定理，可得DE是△ABC的中位线，直接推出$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$；再结合DE//BC、D是AB中点，可推出DF是△ABG的中位线，得到F是AG中点，因此$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$，即可证明两个比值相等。
（2）要证明△ADF≌△CFE，可选择SAS判定定理推导对应条件：首先由中位线性质结合G是BC中点，可得DF=EF；再由F是AG中点、E是AC中点，结合已知AG=AC可得AF=EC；最后利用平行线的同旁内角互补、等腰三角形底角相等、邻补角和为180°的性质，推导得到夹角∠AFD=∠CEF，满足SAS的判定条件，即可证明全等。
【解析】
(1)
∵ 点D,E分别是边AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $DE// BC$，点D是AB的中点，
∴ 在△ABG中，DF是中位线，
∴ F是AG的中点，即$AF=\frac{1}{2}AG$，$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$。
(2)
∵ 点G是BC的中点，
∴ $BG=GC$。
由(1)知，DF是△ABG的中位线，
∴ $DF=\frac{1}{2}BG$。
同理可得EF是△AGC的中位线，
∴ $EF=\frac{1}{2}GC$，
∴ $DF=EF$。
∵ F是AG中点，E是AC中点，$AG=AC$，
∴ $AF=\frac{1}{2}AG$，$EC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $AF=EC$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ CEF + ∠ ACB = 180°$，$∠ AFD = ∠ AGB$。
∵ $AG=AC$，
∴ $∠ AGC = ∠ ACB$。
又
∵ $∠ AGB + ∠ AGC = 180°$，
∴ $∠ AGB + ∠ ACB = 180°$，
∴ $∠ CEF = ∠ AGB = ∠ AFD$。
在△ADF和△CFE中：
$\begin{cases}AF=EC \\∠ AFD = ∠ CEF \\DF=EF\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CFE$（SAS）。
【答案】
(1) $\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$得证；
(2) $△ ADF ≌ △ CFE$得证，证明过程如上。
【知识点】
三角形中位线定理；全等三角形SAS判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考察三角形中位线、全等判定、等腰三角形性质的结合应用，解题核心是熟练掌握中位线的数量与位置关系，再结合已知条件逐步推导全等所需的边、角相等条件，能够锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图11,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD ⊥ BC$,垂足为点D.下列结论错误的是 ()
A.$AB^2 = BD · BC$
B.$AC^2 = DC · BC$
C.$AD^2 = BD · DC$
D.$BC^2 = AB · AC$
A.$AB^2 = BD · BC$
B.$AC^2 = DC · BC$
C.$AD^2 = BD · DC$
D.$BC^2 = AB · AC$
答案
D
解析
【分析】
本题中△ABC是直角三角形，AD为斜边BC上的高，首先可通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△CAD∽△CBA，再结合相似三角形对应边成比例的性质，将各选项的等积式转化为比例式，验证是否符合相似三角形的对应边关系，即可找出错误结论。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
A选项：在△ABC和△DBA中，∠B为公共角，∠BAC=∠ADB=90°，
∴△ABC∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$，A结论正确，不符合题意。
B选项：在△ABC和△DAC中，∠C为公共角，∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=DC·BC$，B结论正确，不符合题意。
C选项：
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
又
∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·DC$，C结论正确，不符合题意。
D选项：根据勾股定理可得$BC^2=AB^2+AC^2$，显然$BC^2≠AB·AC$；也可通过面积验证：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，即$AB·AC=BC·AD$，若$BC^2=AB·AC$则$BC=AD$，而直角三角形斜边长度一定大于斜边上的高，该式不成立，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例的基本性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形相似的典型应用题型，掌握“直角三角形斜边上的高分出的两个小直角三角形均与原三角形相似”的结论可快速解题，做题时注意将等积式转化为比例式，验证对应边是否匹配即可避免出错。
【难度系数】
0.7
本题中△ABC是直角三角形，AD为斜边BC上的高，首先可通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△CAD∽△CBA，再结合相似三角形对应边成比例的性质，将各选项的等积式转化为比例式，验证是否符合相似三角形的对应边关系，即可找出错误结论。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°。
A选项：在△ABC和△DBA中，∠B为公共角，∠BAC=∠ADB=90°，
∴△ABC∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$，A结论正确，不符合题意。
B选项：在△ABC和△DAC中，∠C为公共角，∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=DC·BC$，B结论正确，不符合题意。
C选项：
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
又
∵∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·DC$，C结论正确，不符合题意。
D选项：根据勾股定理可得$BC^2=AB^2+AC^2$，显然$BC^2≠AB·AC$；也可通过面积验证：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，即$AB·AC=BC·AD$，若$BC^2=AB·AC$则$BC=AD$，而直角三角形斜边长度一定大于斜边上的高，该式不成立，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例的基本性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形相似的典型应用题型，掌握“直角三角形斜边上的高分出的两个小直角三角形均与原三角形相似”的结论可快速解题，做题时注意将等积式转化为比例式，验证对应边是否匹配即可避免出错。
【难度系数】
0.7
2. (2025·内江)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图12①,这
是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图12②所示,动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$,$BD=20\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长度是 ()
A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图12②所示,动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$,$BD=20\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长度是 ()
A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
答案
B
解析
【分析】
首先观察图形特征：AC和BD都垂直于AB，因此△OAC和△OBD均为直角三角形；其次两个三角形有一组对顶角∠AOC和∠BOD相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$
∴$∠ A=∠ B=90°$
又
∵$∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等）
∴$△ OAC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$
解得：$AC=60\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中杠杆的实际情境，考查相似三角形的应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：AC和BD都垂直于AB，因此△OAC和△OBD均为直角三角形；其次两个三角形有一组对顶角∠AOC和∠BOD相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵$AC⊥ AB$，$BD⊥ AB$
∴$∠ A=∠ B=90°$
又
∵$∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等）
∴$△ OAC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$
解得：$AC=60\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中杠杆的实际情境，考查相似三角形的应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
