5. (2025·湖南)如图8,△ABC的顶点A,C在⊙O上,圆心O在边AB上,∠ACB=120°,BC与⊙O相切于点C,连接OC.
(1)求∠ACO的度数；
(2)求证:AC=BC.

解：(1)
∵ BC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥BC，即∠OCB=90°。
又∵ ∠ACB=120°，
∴ ∠ACO = ∠ACB - ∠OCB = 120° - 90° = 30°。
(2) 证明：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠A = ∠ACO = 30°。
在△ABC中，∠ACB=120°，∠A=30°，
∴ ∠B = 180° - ∠ACB - ∠A = 180° - 120° - 30° = 30°，
∴ ∠A = ∠B，
∴ AC=BC。

【分析】
（1）求解∠ACO的度数时，首先观察到BC是⊙O的切线，根据切线的性质可直接得到OC⊥BC，即∠OCB=90°，已知∠ACB=120°，用∠ACB减去∠OCB就能求出∠ACO的度数。
（2）要证明AC=BC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠A=∠B即可。首先由OA、OC都是圆的半径可得OA=OC，推出∠A=∠ACO=30°，再利用三角形内角和为180°，结合已知的∠ACB=120°，计算出∠B的度数，对比∠A和∠B的度数就能完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ BC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥BC，即∠OCB=90°，
又
∵ ∠ACB=120°，
∴ ∠ACO = ∠ACB - ∠OCB = 120° - 90° = 30°。
(2) 证明：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠A = ∠ACO = 30°，
在△ABC中，∠ACB=120°，∠A=30°，
∴ ∠B = 180° - ∠ACB - ∠A = 180° - 120° - 30° = 30°，
∴ ∠A = ∠B，
∴ AC=BC。
【答案】
(1) ∠ACO的度数为30°；
(2) AC=BC，证明成立。
【知识点】
1. 切线的性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，将切线的性质、角度计算、等腰三角形的判定等知识点融合考查，解题的突破口是利用切线的性质得到垂直关系，再通过角度推导得到等角进而证明边相等，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

6. (2025·南京)如图9,O是$□ ABCD$的对称中心,BC与$\odot O$相切于点E.
(1)求证:直线AD是$\odot O$的切线.
小明说:“可以过点O作AD的垂线……”
小红说:“也可以连接EO并延长……”
选择其中一位同学的想法,完成证明.
(2)当AB与$\odot O$相切时,$□ ABCD$是菱形吗?说明理由.

(1) 选择小红的想法完成证明：
证明：连接$EO$并延长，交$AD$于点$F$。
$\because BC$与$\odot O$相切于点$E$，
$\therefore OE⊥ BC$，$OE$是$\odot O$的半径。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore OF⊥ AD$。
$\because O$是$□ ABCD$的对称中心，
$\therefore OB=OD$，$∠ B=∠ D$，
又$\because ∠ OEB=∠ OFD=90°$，
$\therefore △ OEB≌△ OFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OF=OE$，即$OF$是$\odot O$的半径，
又$\because OF⊥ AD$，
$\therefore$ 直线$AD$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
当$AB$与$\odot O$相切时，$□ ABCD$是菱形，理由如下：
设$AB$与$\odot O$相切于点$G$，连接$OG$、$OB$。
$\because AB$与$\odot O$相切，$BC$与$\odot O$相切，
$\therefore OG⊥ AB$，$OE⊥ BC$，且$OG=OE$（均为$\odot O$的半径）。
$\because O$是$□ ABCD$的对称中心，
$\therefore O$是平行四边形对角线的交点，
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COB}$。
又$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OG$，$S_{△ COB}=\frac{1}{2}BC· OE$，
$\therefore \frac{1}{2}AB· OG=\frac{1}{2}BC· OE$，
$\because OG=OE$，
$\therefore AB=BC$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore □ ABCD$是菱形。

【分析】
(1) 证明直线是圆的切线需满足两个条件：一是圆心到直线的距离等于半径，二是直线与该垂线段垂直。选择小红的思路解题时，首先根据切线的性质得到$OE⊥BC$且$OE$是$\odot O$的半径；再结合平行四边形对边平行的性质，可得延长$EO$交$AD$的线段$OF$与$AD$垂直；最后利用平行四边形对称中心的性质证明$△ OEB≌△ OFD$，得到$OF=OE$，即$OF$是$\odot O$的半径，结合$OF⊥AD$即可得证。
(2) 判定平行四边形是菱形只需证明一组邻边相等。已知$AB$、$BC$都是$\odot O$的切线，可得圆心到两条边的距离（即半径）相等；再结合平行四边形对称中心的性质，可知$△ AOB$和$△ COB$面积相等，利用三角形面积公式推导即可得到$AB=BC$，进而判定平行四边形为菱形。
【解析】
(1) 选择小红的想法完成证明：
证明：连接$EO$并延长，交$AD$于点$F$。
$\because BC$与$\odot O$相切于点$E$，
$\therefore OE⊥ BC$，$OE$是$\odot O$的半径。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore OF⊥ AD$。
$\because O$是$□ ABCD$的对称中心，
$\therefore OB=OD$，$∠ B=∠ D$，
又$\because ∠ OEB=∠ OFD=90°$，
$\therefore △ OEB≌△ OFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OF=OE$，即$OF$是$\odot O$的半径，
又$\because OF⊥ AD$，
$\therefore$ 直线$AD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：当$AB$与$\odot O$相切时，$□ ABCD$是菱形，理由如下：
设$AB$与$\odot O$相切于点$G$，连接$OG$、$OB$。
$\because AB$与$\odot O$相切，$BC$与$\odot O$相切，
$\therefore OG⊥ AB$，$OE⊥ BC$，且$OG=OE$（均为$\odot O$的半径）。
$\because O$是$□ ABCD$的对称中心，
$\therefore O$是平行四边形对角线的交点，
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ COB}$。
又$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OG$，$S_{△ COB}=\frac{1}{2}BC· OE$，
$\therefore \frac{1}{2}AB· OG=\frac{1}{2}BC· OE$，
$\because OG=OE$，
$\therefore AB=BC$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore □ ABCD$是菱形。
【答案】
(1) 直线$AD$是$\odot O$的切线，证明见上述过程；
(2) $□ ABCD$是菱形，理由见上述过程。
【知识点】
切线的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，融合了平行四边形、圆、菱形的相关知识，重点考查逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质，结合图形的中心对称特征找到等量关系完成推导。
【难度系数】
0.6