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6. 如图3,已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24 cm.以r为半径作⊙P.
(1)若r=12 cm,试判断⊙P与OB位置关系；
(2)若⊙P与OB相离,试求出r需满足的条件.
(1)若r=12 cm,试判断⊙P与OB位置关系；
(2)若⊙P与OB相离,试求出r需满足的条件.
答案
解：
过点P作PC⊥OB，垂足为C，
∵ ∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴ PC = $\frac{1}{2}$OP = 12 cm，即圆心P到直线OB的距离d=12 cm。
(1) 当r=12 cm时，d=r=12 cm，
∴ ⊙P与OB相切。
(2) 若⊙P与OB相离，则d ＞ r，
即12 ＞ r，
又∵ 圆的半径r＞0，
∴ r需满足的条件是0 cm ＜ r ＜ 12 cm。
过点P作PC⊥OB，垂足为C，
∵ ∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴ PC = $\frac{1}{2}$OP = 12 cm，即圆心P到直线OB的距离d=12 cm。
(1) 当r=12 cm时，d=r=12 cm，
∴ ⊙P与OB相切。
(2) 若⊙P与OB相离，则d ＞ r，
即12 ＞ r，
又∵ 圆的半径r＞0，
∴ r需满足的条件是0 cm ＜ r ＜ 12 cm。
解析
【分析】
要判断⊙P与OB的位置关系，核心是比较圆心P到直线OB的距离d和圆半径r的大小：d=r时相切，d＞r时相离，d＜r时相交。首先过点P作OB的垂线段PC，得到d的长度，结合已知∠AOB=30°、OP=24cm，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出PC的长度，再分别对应两问的条件比较d和r的大小就能求解。
【解析】
过点P作PC⊥OB，垂足为C，
∵ ∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴ PC = $\frac{1}{2}$OP = 12 cm，即圆心P到直线OB的距离d=12 cm。
(1) 当r=12 cm时，d=r=12 cm，
∴ ⊙P与OB相切。
(2) 若⊙P与OB相离，则d ＞ r，
即12 ＞ r，
又
∵ 圆的半径r＞0，
∴ r需满足的条件是0 cm ＜ r ＜ 12 cm。
【答案】
(1) ⊙P与OB相切；
(2) $0\mathrm{cm}＜r＜12\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是先求出圆心到直线的距离，再根据位置关系对应的d与r的大小关系列式求解，需注意圆的半径一定为正数，不要遗漏取值范围的下限。
【难度系数】
0.8
要判断⊙P与OB的位置关系，核心是比较圆心P到直线OB的距离d和圆半径r的大小：d=r时相切，d＞r时相离，d＜r时相交。首先过点P作OB的垂线段PC，得到d的长度，结合已知∠AOB=30°、OP=24cm，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出PC的长度，再分别对应两问的条件比较d和r的大小就能求解。
【解析】
过点P作PC⊥OB，垂足为C，
∵ ∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴ PC = $\frac{1}{2}$OP = 12 cm，即圆心P到直线OB的距离d=12 cm。
(1) 当r=12 cm时，d=r=12 cm，
∴ ⊙P与OB相切。
(2) 若⊙P与OB相离，则d ＞ r，
即12 ＞ r，
又
∵ 圆的半径r＞0，
∴ r需满足的条件是0 cm ＜ r ＜ 12 cm。
【答案】
(1) ⊙P与OB相切；
(2) $0\mathrm{cm}＜r＜12\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是先求出圆心到直线的距离，再根据位置关系对应的d与r的大小关系列式求解，需注意圆的半径一定为正数，不要遗漏取值范围的下限。
【难度系数】
0.8
1. (2025·福建)如图4，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C. AB//PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，得到垂直关系。首先连接OA，利用切线性质得到∠OAP=90°，结合已知∠P=30°可求出∠AOP的度数；再根据AB//PC的平行线性质，结合同圆半径相等推出△OAB是等边三角形，得到∠AOB的度数；进而求出∠BOC的度数，最后利用等腰△OBC的内角和性质即可求出∠BCP的大小。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴∠AOP=90°-∠P=60°，
∵AB//PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
又
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵PO的延长线交⊙O于点C，即P、O、C三点共线，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=180°-60°-60°=60°，
又
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴△OBC为等腰三角形，
∴∠BCP=∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-60°)÷2=60°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的常见辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质进行角度推导，难度适中。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，得到垂直关系。首先连接OA，利用切线性质得到∠OAP=90°，结合已知∠P=30°可求出∠AOP的度数；再根据AB//PC的平行线性质，结合同圆半径相等推出△OAB是等边三角形，得到∠AOB的度数；进而求出∠BOC的度数，最后利用等腰△OBC的内角和性质即可求出∠BCP的大小。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴∠AOP=90°-∠P=60°，
∵AB//PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
又
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵PO的延长线交⊙O于点C，即P、O、C三点共线，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=180°-60°-60°=60°，
又
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴△OBC为等腰三角形，
∴∠BCP=∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-60°)÷2=60°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的常见辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的性质进行角度推导，难度适中。
【难度系数】
0.7
2. 如图5,点A,B,D在$\odot O$上,$∠ A=25°$,OD的延长线交直线BC于点C,且$∠ OCB=40°$,直线BC与$\odot O$的位置关系为.
答案
相切
解析
【分析】
要判断直线BC与$\odot O$的位置关系，结合切线的判定定理，只需证明半径OB与BC垂直即可。首先利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的$∠ A$求出对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再在$△ OBC$中利用三角形内角和求出$∠ OBC$的度数，若$∠ OBC$为$90°$即可证明垂直，进而得到BC是圆的切线。
【解析】
解：
∵ 圆周角$∠ A$和圆心角$∠ BOD$都对应弧BD，
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOD = 2∠ A = 2×25° = 50°$，
在$△ OBC$中，$∠ BOC=50°$，$∠ OCB=40°$，
∴ $∠ OBC = 180° - ∠ BOC - ∠ OCB = 180° - 50° - 40° = 90°$，
∴ $OB⊥ BC$，
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和，切线的判定
【点评】
本题是圆的位置关系判定的基础题，解题的核心是明确切线的判定条件，结合圆周角定理和三角形内角和公式推导垂直关系，掌握相关定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断直线BC与$\odot O$的位置关系，结合切线的判定定理，只需证明半径OB与BC垂直即可。首先利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的$∠ A$求出对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再在$△ OBC$中利用三角形内角和求出$∠ OBC$的度数，若$∠ OBC$为$90°$即可证明垂直，进而得到BC是圆的切线。
【解析】
解：
∵ 圆周角$∠ A$和圆心角$∠ BOD$都对应弧BD，
∴ 根据圆周角定理，$∠ BOD = 2∠ A = 2×25° = 50°$，
在$△ OBC$中，$∠ BOC=50°$，$∠ OCB=40°$，
∴ $∠ OBC = 180° - ∠ BOC - ∠ OCB = 180° - 50° - 40° = 90°$，
∴ $OB⊥ BC$，
又
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ 直线BC与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和，切线的判定
【点评】
本题是圆的位置关系判定的基础题，解题的核心是明确切线的判定条件，结合圆周角定理和三角形内角和公式推导垂直关系，掌握相关定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. (2025·安徽)如图6,AB是$\odot O$的弦,PB与$\odot O$相切于点B,圆心O在线段PA上.已知$∠ P=50°$,则$∠ PAB$的大小为°.
答案
20
解析
【分析】
要求∠PAB的度数，首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，可得OB⊥PB，结合已知∠P的度数可求出∠POB的度数；再根据OA=OB可知△OAB是等腰三角形，∠PAB=∠OBA，最后利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的大小。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构建直角三角形，再结合三角形的相关性质计算角度，难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要求∠PAB的度数，首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB，可得OB⊥PB，结合已知∠P的度数可求出∠POB的度数；再根据OA=OB可知△OAB是等腰三角形，∠PAB=∠OBA，最后利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的大小。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△OAB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构建直角三角形，再结合三角形的相关性质计算角度，难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. (2025·黑龙江)如图7,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,AC是直径,∠BAC=35°,∠P=°.
答案
$\boldsymbol{70}$
解析
【分析】
首先根据切线的性质：切线与过切点的半径垂直，可得PA垂直于直径AC，先计算出∠PAB的度数；再根据切线长定理可知PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和定理就能求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥OA，即∠CAP=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB = ∠CAP - ∠BAC = 90° - 35° = 55°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA = PB，
∴∠PAB = ∠PBA = 55°，
在△PAB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠P = 180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 55° - 55° = 70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题属于圆相关知识的基础考查题，解题关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据切线的性质：切线与过切点的半径垂直，可得PA垂直于直径AC，先计算出∠PAB的度数；再根据切线长定理可知PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两个底角相等，最后结合三角形内角和定理就能求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴PA⊥OA，即∠CAP=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠PAB = ∠CAP - ∠BAC = 90° - 35° = 55°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴PA = PB，
∴∠PAB = ∠PBA = 55°，
在△PAB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠P = 180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 55° - 55° = 70°。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和
【点评】
本题属于圆相关知识的基础考查题，解题关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
