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1. 如图10，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F。若⊙I的半径为r，∠A=α，则(BF+CE−BC)的值和∠FDE的大小分别为（）
A.$2r,90°-α$
B.$0,90°-α$
C.$2r,90°-\frac{α}{2}$
D.$0,90°-\frac{α}{2}$
A.$2r,90°-α$
B.$0,90°-α$
C.$2r,90°-\frac{α}{2}$
D.$0,90°-\frac{α}{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知的内切圆条件出发：1. 求BF+CE−BC的值，首先联想到切线长定理，内切圆切点到三角形顶点的切线长相等，将BF、CE转化为BC边上的BD、CD，即可快速计算差值；2. 求∠FDE的大小，需连接圆心I和两个切点F、E，利用切线的性质得到两个直角，再结合四边形内角和求出圆心角∠FIE，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠FDE的度数，最后匹配选项即可。
【解析】
① 计算BF+CE−BC的值：
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、AC分别相切于F、D、E，根据切线长定理可得：BF=BD，CE=CD，
∴BF+CE=BD+CD=BC，
∴BF+CE−BC=BC−BC=0。
② 计算∠FDE的度数：
连接IF、IE，
∵AB、AC是⊙I的切线，F、E为切点，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，即∠AFI=∠AEI=90°。
在四边形AFIE中，内角和为360°，已知∠A=α，
∴∠FIE=360°−∠AFI−∠AEI−∠A=360°−90°−90°−α=180°−α。
∵∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FIE是弧FE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠FDE=½∠FIE=½×(180°−α)=90°−½α。
综上，BF+CE−BC=0，∠FDE=90°−½α，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础综合题，解题的关键是熟练运用切线相关性质和圆周角定理，求角度时注意通过连接圆心和切点构造直角，将已知角和待求角通过圆心角关联起来即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的内切圆条件出发：1. 求BF+CE−BC的值，首先联想到切线长定理，内切圆切点到三角形顶点的切线长相等，将BF、CE转化为BC边上的BD、CD，即可快速计算差值；2. 求∠FDE的大小，需连接圆心I和两个切点F、E，利用切线的性质得到两个直角，再结合四边形内角和求出圆心角∠FIE，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠FDE的度数，最后匹配选项即可。
【解析】
① 计算BF+CE−BC的值：
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、AC分别相切于F、D、E，根据切线长定理可得：BF=BD，CE=CD，
∴BF+CE=BD+CD=BC，
∴BF+CE−BC=BC−BC=0。
② 计算∠FDE的度数：
连接IF、IE，
∵AB、AC是⊙I的切线，F、E为切点，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，即∠AFI=∠AEI=90°。
在四边形AFIE中，内角和为360°，已知∠A=α，
∴∠FIE=360°−∠AFI−∠AEI−∠A=360°−90°−90°−α=180°−α。
∵∠FDE是弧FE所对的圆周角，∠FIE是弧FE所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠FDE=½∠FIE=½×(180°−α)=90°−½α。
综上，BF+CE−BC=0，∠FDE=90°−½α，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础综合题，解题的关键是熟练运用切线相关性质和圆周角定理，求角度时注意通过连接圆心和切点构造直角，将已知角和待求角通过圆心角关联起来即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图11，点O是$△ ABC$外接圆的圆心，点I是$△ ABC$的内心，连接OB，IA. 若$∠ CAI=35°$，则$∠ OBC$的度数为（）
A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
C
解析
【分析】
解题需分三步推导角度：首先利用三角形内心的性质求∠BAC的度数，内心是三角形角平分线的交点，AI平分∠BAC，结合已知∠CAI=35°即可算出∠BAC；其次利用圆周角定理求∠BOC的度数，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC对应的圆心角为∠BOC、圆周角为∠BAC，即可推导∠BOC；最后结合等腰三角形性质求∠OBC，OB和OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，利用内角和即可算出底角∠OBC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵点I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，
∴$∠ BAC=2∠ CAI=2×35°=70°$。
2. 求∠BOC的度数：
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×70°=140°$。
3. 求∠OBC的度数：
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴$OB=OC$，△OBC为等腰三角形，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
C
【知识点】
内心的性质，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形内心、外心的性质结合考查，解题的核心是理清角度之间的转化关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题需分三步推导角度：首先利用三角形内心的性质求∠BAC的度数，内心是三角形角平分线的交点，AI平分∠BAC，结合已知∠CAI=35°即可算出∠BAC；其次利用圆周角定理求∠BOC的度数，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC对应的圆心角为∠BOC、圆周角为∠BAC，即可推导∠BOC；最后结合等腰三角形性质求∠OBC，OB和OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，利用内角和即可算出底角∠OBC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵点I是△ABC的内心，AI是∠BAC的角平分线，
∴$∠ BAC=2∠ CAI=2×35°=70°$。
2. 求∠BOC的度数：
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×70°=140°$。
3. 求∠OBC的度数：
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴$OB=OC$，△OBC为等腰三角形，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
C
【知识点】
内心的性质，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形内心、外心的性质结合考查，解题的核心是理清角度之间的转化关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. (2025·滨州)如图12，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
首先利用正方形四个角均为直角的性质，设AF的长度为x，用含x的式子表示出Rt△AEF的两条直角边长度，结合已知EF的长度，通过勾股定理列方程求解x的取值，得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式即可求出结果。
【解析】
解：设$AF=x$，
∵ 正方形$ABCD$的边长$AB=17$，且$AF=DE=x$，
∴ $AE=AD-DE=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2+AF^2=EF^2$
代入已知$EF=13$得：$(17-x)^2+x^2=13^2$
展开整理得：$2x^2-34x+120=0$，化简为$x^2-17x+60=0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
∵ $CH=AF=x$，$GC=BC-BG=17-x$，$∠ C=90°$，
∴ $Rt△ GCH$的两条直角边长分别为5和12，斜边长$GH=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，直角三角形内切圆计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过设未知数结合勾股定理求出直角三角形的边长，牢记直角三角形内切圆半径公式可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
首先利用正方形四个角均为直角的性质，设AF的长度为x，用含x的式子表示出Rt△AEF的两条直角边长度，结合已知EF的长度，通过勾股定理列方程求解x的取值，得到Rt△GCH的两条直角边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式即可求出结果。
【解析】
解：设$AF=x$，
∵ 正方形$ABCD$的边长$AB=17$，且$AF=DE=x$，
∴ $AE=AD-DE=17-x$，
在$Rt△ AEF$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2+AF^2=EF^2$
代入已知$EF=13$得：$(17-x)^2+x^2=13^2$
展开整理得：$2x^2-34x+120=0$，化简为$x^2-17x+60=0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
∵ $CH=AF=x$，$GC=BC-BG=17-x$，$∠ C=90°$，
∴ $Rt△ GCH$的两条直角边长分别为5和12，斜边长$GH=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，直角三角形内切圆计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过设未知数结合勾股定理求出直角三角形的边长，牢记直角三角形内切圆半径公式可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
4. 刘徽是魏晋时期伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图13, $Rt△ ABC$中, $∠ C=90°$, $AB$, $BC$, $CA$的长分别为$c$, $a$, $b$.则可以用含$c$, $a$, $b$的式子表示出$△ ABC$的内切圆直径$d$,下列表达式错误的是 ()
A.$d=a+b-c$
B.$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
C.$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D.$d=|(a-b)(c-b)|$
A.$d=a+b-c$
B.$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
C.$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D.$d=|(a-b)(c-b)|$
答案
D
解析
【分析】
要判断四个表达式哪个错误，我们可以按以下思路分析：首先用切线长定理推导直角三角形内切圆直径的基础公式，验证A选项；再用面积法推导内切圆半径的通用公式，验证B选项；接着对基础直径公式平方，结合勾股定理展开验证C选项；最后用特殊值法代入常见勾股数验证D选项，即可找到错误表达式。
【解析】
设$Rt△ABC$内切圆半径为$r$，直径$d=2r$。
1. 验证选项A：
根据切线长定理，从点A引内切圆的两条切线长相等，均为$b-r$；从点B引内切圆的两条切线长相等，均为$a-r$。斜边AB的长等于两条切线长之和，即：
$(b-r)+(a-r)=c$
整理得$2r=a+b-c$，即$d=a+b-c$，故A选项正确。
2. 验证选项B：
$Rt△ABC$面积$S=\frac{1}{2}ab$，同时面积也等于内切圆半径乘周长的一半，即$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$，联立得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}r(a+b+c)$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$
则直径$d=2r=\frac{2ab}{a+b+c}$，故B选项正确。
3. 验证选项C：
将A选项的$d=a+b-c$平方得：
$d^2=(a+b-c)^2=a^2+2ab+b^2-2ac-2bc+c^2$
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，代入上式：
$d^2=c^2+c^2+2ab-2ac-2bc=2c^2-2ac-2bc+2ab=2(c^2-ac-bc+ab)=2(c-a)(c-b)$
因$d＞0$，故$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$，C选项正确。
4. 验证选项D：
取特殊值验证：取三边长为3、4、5的直角三角形，即$a=3$，$b=4$，$c=5$，此时内切圆直径$d=3+4-5=2$。
代入D选项表达式得：$|(3-4)(5-4)|=|(-1)×1|=1≠2$，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题结合古代数学文化考查直角三角形内切圆相关公式的推导，既可以通过定理直接推导公式判断正误，也可以用特殊值法快速得出结论，侧重对基础公式推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
要判断四个表达式哪个错误，我们可以按以下思路分析：首先用切线长定理推导直角三角形内切圆直径的基础公式，验证A选项；再用面积法推导内切圆半径的通用公式，验证B选项；接着对基础直径公式平方，结合勾股定理展开验证C选项；最后用特殊值法代入常见勾股数验证D选项，即可找到错误表达式。
【解析】
设$Rt△ABC$内切圆半径为$r$，直径$d=2r$。
1. 验证选项A：
根据切线长定理，从点A引内切圆的两条切线长相等，均为$b-r$；从点B引内切圆的两条切线长相等，均为$a-r$。斜边AB的长等于两条切线长之和，即：
$(b-r)+(a-r)=c$
整理得$2r=a+b-c$，即$d=a+b-c$，故A选项正确。
2. 验证选项B：
$Rt△ABC$面积$S=\frac{1}{2}ab$，同时面积也等于内切圆半径乘周长的一半，即$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$，联立得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}r(a+b+c)$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$
则直径$d=2r=\frac{2ab}{a+b+c}$，故B选项正确。
3. 验证选项C：
将A选项的$d=a+b-c$平方得：
$d^2=(a+b-c)^2=a^2+2ab+b^2-2ac-2bc+c^2$
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$，代入上式：
$d^2=c^2+c^2+2ab-2ac-2bc=2c^2-2ac-2bc+2ab=2(c^2-ac-bc+ab)=2(c-a)(c-b)$
因$d＞0$，故$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$，C选项正确。
4. 验证选项D：
取特殊值验证：取三边长为3、4、5的直角三角形，即$a=3$，$b=4$，$c=5$，此时内切圆直径$d=3+4-5=2$。
代入D选项表达式得：$|(3-4)(5-4)|=|(-1)×1|=1≠2$，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题结合古代数学文化考查直角三角形内切圆相关公式的推导，既可以通过定理直接推导公式判断正误，也可以用特殊值法快速得出结论，侧重对基础公式推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
