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5. (2025·宁夏)如图14，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A=54°$，则$∠ BOC=$°。
答案
$\boldsymbol{117}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB；2. 利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；3. 再求出两个角的一半（即∠OBC与∠OCB）的和；4. 最后在△BOC中再次使用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠A=54°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 54° = 126°，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×126° = 63°。
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 63° = 117°。
【答案】
$\boldsymbol{117}$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题的核心是明确三角形内切圆圆心（内心）是内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，解题时注意推导逻辑要清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB；2. 利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的度数和；3. 再求出两个角的一半（即∠OBC与∠OCB）的和；4. 最后在△BOC中再次使用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠A=54°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 54° = 126°，
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×126° = 63°。
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 63° = 117°。
【答案】
$\boldsymbol{117}$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题的核心是明确三角形内切圆圆心（内心）是内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，解题时注意推导逻辑要清晰。
【难度系数】
0.8
6. (2025·攀枝花) 如图15, ⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F, ∠DOE=120°,∠EOF=150°.
(1)求△ABC的三个内角的大小;
(2)设⊙O的直径为d,证明:d=AB+AC−BC.
(1)求△ABC的三个内角的大小;
(2)设⊙O的直径为d,证明:d=AB+AC−BC.
答案
解：(1)
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴ ∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。
在四边形OECF中，内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠OEC - ∠OFC - ∠EOF = 360° - 90° - 90° - 150° = 30°。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°。
即△ABC的三个内角分别为∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°。
证明：(2)
由切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
∴ AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE)
= AD + BD + AF + CF - BE - CE
∵ BD=BE，CF=CE，
∴ AB + AC - BC = AD + AF。
∵ ∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF，
∴ 四边形ADOF是正方形，
∴ AD=OD。
∵ ⊙O的直径d=2OD，
∴ AD = $\frac{d}{2}$，
∴ AD + AF = 2AD = d，
即 $d=AB+AC-BC$，得证。
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴ ∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。
在四边形OECF中，内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠OEC - ∠OFC - ∠EOF = 360° - 90° - 90° - 150° = 30°。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°。
即△ABC的三个内角分别为∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°。
证明：(2)
由切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
∴ AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE)
= AD + BD + AF + CF - BE - CE
∵ BD=BE，CF=CE，
∴ AB + AC - BC = AD + AF。
∵ ∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF，
∴ 四边形ADOF是正方形，
∴ AD=OD。
∵ ⊙O的直径d=2OD，
∴ AD = $\frac{d}{2}$，
∴ AD + AF = 2AD = d，
即 $d=AB+AC-BC$，得证。
解析
【分析】
(1) 求解三角形内角可先利用内切圆切线垂直于过切点的半径的性质，得到切点处的角均为90°，再分别在包含已知圆心角的两个四边形中，用四边形内角和为360°计算出∠B和∠C，最后结合三角形内角和定理求出∠A。
(2) 证明边长等式可先运用切线长定理得到三组相等的切线长，将AB+AC-BC拆分后代入等量关系化简，再结合第一问得到的∠A=90°，判定四边形ADOF为正方形，将切线长与圆的半径建立关联，最终推导出直径d和三边的关系。
【解析】
(1)
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴ ∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。
在四边形OECF中，内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠OEC - ∠OFC - ∠EOF = 360° - 90° - 90° - 150° = 30°。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°。
(2) 证明：由切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
∴ AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE)
= AD + BD + AF + CF - BE - CE
∵ BD=BE，CF=CE，
∴ AB + AC - BC = AD + AF。
∵ ∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF，
∴ 四边形ADOF是正方形，
∴ AD=OD。
∵ ⊙O的直径d=2OD，
∴ AD = $\frac{d}{2}$，
∴ AD + AF = 2AD = d，
即 $d=AB+AC-BC$，得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质；切线长定理；正方形的判定
【点评】
本题聚焦三角形内切圆相关知识点，既涉及基础的角度计算，又需要通过等量代换推导边长关系，难度适中，侧重对基础定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解三角形内角可先利用内切圆切线垂直于过切点的半径的性质，得到切点处的角均为90°，再分别在包含已知圆心角的两个四边形中，用四边形内角和为360°计算出∠B和∠C，最后结合三角形内角和定理求出∠A。
(2) 证明边长等式可先运用切线长定理得到三组相等的切线长，将AB+AC-BC拆分后代入等量关系化简，再结合第一问得到的∠A=90°，判定四边形ADOF为正方形，将切线长与圆的半径建立关联，最终推导出直径d和三边的关系。
【解析】
(1)
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴ ∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，
∴ ∠B = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°。
在四边形OECF中，内角和为360°，
∴ ∠C = 360° - ∠OEC - ∠OFC - ∠EOF = 360° - 90° - 90° - 150° = 30°。
在△ABC中，∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°。
(2) 证明：由切线长定理可得：AD=AF，BD=BE，CE=CF。
∴ AB + AC - BC = (AD + BD) + (AF + CF) - (BE + CE)
= AD + BD + AF + CF - BE - CE
∵ BD=BE，CF=CE，
∴ AB + AC - BC = AD + AF。
∵ ∠A=90°，OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF，
∴ 四边形ADOF是正方形，
∴ AD=OD。
∵ ⊙O的直径d=2OD，
∴ AD = $\frac{d}{2}$，
∴ AD + AF = 2AD = d，
即 $d=AB+AC-BC$，得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质；切线长定理；正方形的判定
【点评】
本题聚焦三角形内切圆相关知识点，既涉及基础的角度计算，又需要通过等量代换推导边长关系，难度适中，侧重对基础定理的理解和运用。
【难度系数】
0.7
1. (2026·内江)如图16,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,$P$为$\overset{\frown}{BC}$上的一点(点$P$不与点$C$重合),则$∠ CPD$的度数为 ()
A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
A.$36°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$72°$
答案
A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先正五边形内接于圆时，各边对应的圆心角大小相等，我们先计算出弧CD对应的圆心角的度数；其次∠CPD是弧CD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠CPD的度数。
【解析】
连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正多边形各边对应的圆心角相等，
∴$∠ COD=360°÷5=72°$，
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形与圆 2.圆周角定理
【点评】
本题主要考查正多边形的中心角计算和圆周角定理的应用，解题关键是先求出对应弧的圆心角，再利用圆周角和圆心角的数量关系求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先正五边形内接于圆时，各边对应的圆心角大小相等，我们先计算出弧CD对应的圆心角的度数；其次∠CPD是弧CD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠CPD的度数。
【解析】
连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正多边形各边对应的圆心角相等，
∴$∠ COD=360°÷5=72°$，
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形与圆 2.圆周角定理
【点评】
本题主要考查正多边形的中心角计算和圆周角定理的应用，解题关键是先求出对应弧的圆心角，再利用圆周角和圆心角的数量关系求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图17,正方形ABCD内接于$\odot O$,点P在$\overset{\frown}{AB}$上,则$∠ BPC$的度数为（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
B
解析
【分析】
要求$∠ BPC$的度数，可利用圆周角定理求解：先找到$∠ BPC$所对的弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半计算。已知正方形ABCD内接于$\odot O$，正方形的四个顶点将圆四等分，因此可先求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数，再代入圆周角定理即可得到结果。
【解析】
连接OB、OC。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 正方形的四个顶点把$\odot O$的周角四等分，
∴ $\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC=360°÷4=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，正方形性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础题型，解题的核心是明确圆内接正方形将圆四等分的特点，结合圆周角定理即可快速求解，是同类型题中的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要求$∠ BPC$的度数，可利用圆周角定理求解：先找到$∠ BPC$所对的弧$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半计算。已知正方形ABCD内接于$\odot O$，正方形的四个顶点将圆四等分，因此可先求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角度数，再代入圆周角定理即可得到结果。
【解析】
连接OB、OC。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 正方形的四个顶点把$\odot O$的周角四等分，
∴ $\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC=360°÷4=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，正方形性质
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础题型，解题的核心是明确圆内接正方形将圆四等分的特点，结合圆周角定理即可快速求解，是同类型题中的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3. 如图18，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于$\odot O$，则$AD:AB=$（）
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
要求AD与AB的比值，可先设⊙O的半径为R，利用正多边形的外接圆性质，分别求出AD、AB对应的圆心角，再结合勾股定理、垂径定理将AD和AB用R表示，最后计算比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为R，连接OA、OD、OB：
1. 正方形ADEF内接于⊙O，其中心角$∠ AOD = 360°÷4 = 90°$，
在$Rt△ AOD$中，$OA=OD=R$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$；
2. 等边$△ ABC$内接于⊙O，其中心角$∠ AOB = 360°÷3 = 120°$，
过点O作$OG⊥ AB$于点G，由垂径定理得$AG=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
在$Rt△ AOG$中，$AG=OA·\sin60°=R×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$AB=2AG=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$；
3. 故$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是将同圆内正多边形的边长用外接圆半径表示，熟练掌握正多边形中心角的计算和垂径定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求AD与AB的比值，可先设⊙O的半径为R，利用正多边形的外接圆性质，分别求出AD、AB对应的圆心角，再结合勾股定理、垂径定理将AD和AB用R表示，最后计算比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为R，连接OA、OD、OB：
1. 正方形ADEF内接于⊙O，其中心角$∠ AOD = 360°÷4 = 90°$，
在$Rt△ AOD$中，$OA=OD=R$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$；
2. 等边$△ ABC$内接于⊙O，其中心角$∠ AOB = 360°÷3 = 120°$，
过点O作$OG⊥ AB$于点G，由垂径定理得$AG=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOG=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
在$Rt△ AOG$中，$AG=OA·\sin60°=R×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$AB=2AG=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$；
3. 故$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形和圆、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是将同圆内正多边形的边长用外接圆半径表示，熟练掌握正多边形中心角的计算和垂径定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.7
