4. (2025·宿迁)如图19,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接AC,则$∠ ACD$的度数为°.

$\boldsymbol{72}$

【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一：先利用正多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数，再结合正五边形各边相等的性质，计算等腰△ABC的底角∠ACB，最后用∠BCD减去∠ACB得到∠ACD的度数；思路二：利用圆周角定理，先求出正五边形每条边对应弧的度数，找到∠ACD所对弧的度数，再根据圆周角等于所对弧度数的一半计算结果。
【解析】
方法1：
1. 计算正五边形内角度数：根据正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角的度数为$540°÷5=108°$，因此$∠ B=∠ BCD=108°$。
2. 正五边形各边相等，即$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，因此$∠ ACB=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 所以$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=108°-36°=72°$。
方法2：
1. 正五边形内接于$\odot O$，每条边对应的劣弧度数为$360°÷5=72°$。
2. $∠ ACD$是圆周角，所对的劣弧$\overset{\frown}{AD}$包含2条正五边形的边，$\overset{\frown}{AD}$的度数为$72°×2=144°$。
3. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于所对弧度数的一半，因此$∠ ACD=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
$\boldsymbol{72}$
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题考查正多边形与圆的结合应用，解题方法灵活，既可以用多边形内角相关知识求解，也可以通过圆周角定理求解，需要熟练掌握正多边形的基本性质和相关几何定理。
【难度系数】
0.7

5. 如图20,AB是$\odot O$的内接正$n$边形的一边,点C在$\odot O$上,$∠ ACB=18°$,则$n=$.

$\boldsymbol{10}$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，明确∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；第二步，AB是圆内接正n边形的一边，正n边形的中心角等于弧AB对应的圆心角，结合正n边形中心角公式$\frac{360°}{n}$即可求出n的值。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB = 2∠ ACB$
已知$∠ ACB=18°$，代入得：
$∠ AOB = 2×18°=36°$
因为AB是$\odot O$的内接正$n$边形的一边，所以正$n$边形的中心角等于$∠ AOB$，而正$n$边形的中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，因此列方程：
$\frac{360°}{n}=36°$
解得：$n=360°÷36°=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心是建立圆周角和正多边形中心角之间的关联，掌握圆周角定理和正多边形中心角公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图21,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,P为$\overset{\frown}{DE}$上一点,连接AP,FP.
(1)求$∠ APF$的度数;
(2)当点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点时,PE是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.

解：
(1) 连接OA，OF。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 正六边形每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即$∠ AOF=60°$。
∵ $∠ APF$是$\overset{\frown}{AF}$所对的圆周角，
∴ $∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OD，OE，OP。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ $∠ DOE=60°$。
∵ P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{DP}=\overset{\frown}{PE}$，
∴ $∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=30°$。
∵ 圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，PE对应的中心角为$30°$，
∴ $\frac{360°}{n}=30°$，
解得$n=12$。
综上，(1) $∠ APF=30°$；(2) $n=12$。

【分析】
(1) 求∠APF的度数时，首先观察角的特点：∠APF是$\overset{\frown}{AF}$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，因此只需先求出$\overset{\frown}{AF}$对应的圆心角即可。正六边形内接于圆时，每条边对应的圆心角相等，用周角360°除以边数6就能得到单条边的圆心角，再代入圆周角定理计算即可。
(2) 求n的值时，已知圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此只需先求出PE对应的圆心角。先得到正六边形中$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角，再结合P是$\overset{\frown}{DE}$中点的条件，求出$\overset{\frown}{PE}$的圆心角，代入正多边形中心角公式即可解得n。
【解析】
(1) 连接OA，OF。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ 正六边形每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，即$∠AOF=60°$。
∵ $∠APF$是$\overset{\frown}{AF}$所对的圆周角，
∴ $∠APF=\frac{1}{2}∠AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OD，OE，OP。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ $∠DOE=60°$。
∵ P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{DP}=\overset{\frown}{PE}$，
∴ $∠POE=\frac{1}{2}∠DOE=30°$。
∵ 圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，PE对应的中心角为$30°$，
∴ $\frac{360°}{n}=30°$，
解得$n=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是掌握圆周角和圆心角的对应关系、正多边形内接于圆的圆心角规律，计算量小，只要能准确找到角对应的弧，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7