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3. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$，将它转化为$(x+a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为（）
A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
A.$-2027$
B.$2027$
C.$-1$
D.$1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再对照$(x+a)^2 = b$的形式确定$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到方程右边：
$x^2 - 2x = 2026$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，它的一半是$-1$，平方为$1$，给方程左右两边同时加$1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
第三步：将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2027$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2027$。
第四步：计算$a^b$：
$a^b = (-1)^{2027} = -1$
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方运算
【点评】
本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意配方时要给方程两边同时加一次项系数一半的平方，计算负数的乘方时要注意判断指数的奇偶性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再对照$(x+a)^2 = b$的形式确定$a$、$b$的值，最后计算$a^b$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到方程右边：
$x^2 - 2x = 2026$
第二步：配方，一次项系数为$-2$，它的一半是$-1$，平方为$1$，给方程左右两边同时加$1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$
第三步：将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项：
$(x - 1)^2 = 2027$
对照$(x+a)^2 = b$的形式，可得$a = -1$，$b = 2027$。
第四步：计算$a^b$：
$a^b = (-1)^{2027} = -1$
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方运算
【点评】
本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，注意配方时要给方程两边同时加一次项系数一半的平方，计算负数的乘方时要注意判断指数的奇偶性。
【难度系数】
0.7
4. (2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，下列结论正确的是（）
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
本题可通过两种思路解题：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算两根之和、两根之积，再匹配选项；思路二，先求解方程得到两个实数根，再计算两根的和与积后判断选项。首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先确定题干方程中$a、b、c$的取值，代入公式计算即可快速得到结果。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
已知一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据韦达定理，两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此A、B选项错误；
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项错误，D选项正确。
方法二：先解方程再验证
对$x^2 -4x +3=0$因式分解，得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
则$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，只有D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以直接利用韦达定理快速计算得到结果，也可以通过解方程求出根后验证结论，核心是对基础公式的掌握，解题时优先选择韦达定理可提高做题效率。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路解题：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算两根之和、两根之积，再匹配选项；思路二，先求解方程得到两个实数根，再计算两根的和与积后判断选项。首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先确定题干方程中$a、b、c$的取值，代入公式计算即可快速得到结果。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
已知一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据韦达定理，两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此A、B选项错误；
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此C选项错误，D选项正确。
方法二：先解方程再验证
对$x^2 -4x +3=0$因式分解，得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
则$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，只有D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以直接利用韦达定理快速计算得到结果，也可以通过解方程求出根后验证结论，核心是对基础公式的掌握，解题时优先选择韦达定理可提高做题效率。
【难度系数】
0.9
5. 一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的两根分别为.
答案
解：
对方程左边因式分解，得
$x(x-2)=0$
则$x=0$或$x-2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
对方程左边因式分解，得
$x(x-2)=0$
则$x=0$或$x-2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
解析
【分析】
本题要求解一元二次方程的两根，观察方程特征：左边仅含二次项和一次项，无常数项，适合采用因式分解法求解。解题思路为：首先对等式左边提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两根。
【解析】
对原方程左边提取公因式因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质可得：$x = 0$或$x - 2 = 0$
分别求解两个一元一次方程：
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；降次解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，只要熟练掌握提公因式因式分解的方法，理解降次的解题思路就能快速解答，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题要求解一元二次方程的两根，观察方程特征：左边仅含二次项和一次项，无常数项，适合采用因式分解法求解。解题思路为：首先对等式左边提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两根。
【解析】
对原方程左边提取公因式因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘积为0的性质可得：$x = 0$或$x - 2 = 0$
分别求解两个一元一次方程：
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；降次解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，只要熟练掌握提公因式因式分解的方法，理解降次的解题思路就能快速解答，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
6. (2025·苏州)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，有两种符合九年级知识要求的解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，直接代入已知根即可快速求出另一根，计算更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1 - m=0$，计算得$3-m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的性质的理解，两种解题方法都较为常规，熟练运用韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，有两种符合九年级知识要求的解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，直接代入已知根即可快速求出另一根，计算更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1 - m=0$，计算得$3-m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查对一元二次方程根的性质的理解，两种解题方法都较为常规，熟练运用韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
7. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$配方为$(x-2)^2 =k$,则k的值是.
答案
解：
移项，得$x^2 - 4x = -3$，
配方，两边同时加上$(-2)^2$，得
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$，
即$(x-2)^2 = 1$，
所以$k=1$。
移项，得$x^2 - 4x = -3$，
配方，两边同时加上$(-2)^2$，得
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$，
即$(x-2)^2 = 1$，
所以$k=1$。
解析
【分析】
要解决本题，需回忆配方法的操作步骤：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，此时等号右侧的常数即为k的值。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
一次项系数为-4，其一半的平方为$(-2)^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
整理左侧为完全平方式，得：
$(x-2)^2 = 1$
对照题目给出的配方形式$(x-2)^2 =k$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方的操作步骤，解题时需注意配方时等号左右两边要同时加上相同的数，避免只给左边加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需回忆配方法的操作步骤：首先将一元二次方程的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，此时等号右侧的常数即为k的值。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
一次项系数为-4，其一半的平方为$(-2)^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
整理左侧为完全平方式，得：
$(x-2)^2 = 1$
对照题目给出的配方形式$(x-2)^2 =k$，可得$k=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方的操作步骤，解题时需注意配方时等号左右两边要同时加上相同的数，避免只给左边加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.9
8. 不解方程,判断一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$的根的情况是.
答案
解：在一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$中，
$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 9 ＞ 0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 9 ＞ 0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
不解一元二次方程判断根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干给出的方程中对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
在一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9$，
$\because 9＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算规则以及判别式和根的对应关系，注意常数项的符号，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
不解一元二次方程判断根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干给出的方程中对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步将$a、b、c$的值代入判别式公式计算$\Delta$的结果；第三步根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
在一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=-1$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9$，
$\because 9＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，只要牢记判别式的计算规则以及判别式和根的对应关系，注意常数项的符号，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 解方程：
(1)$x^2 -7x = -12$；
(2)$(2x+3)^2 = (3x+2)^2$；
(3)$x(x-7)=8(7-x)$。
(1)$x^2 -7x = -12$；
(2)$(2x+3)^2 = (3x+2)^2$；
(3)$x(x-7)=8(7-x)$。
答案
解：
(1) 移项，得：
$x^2 -7x +12=0$
因式分解，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 移项，得：
$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$
由平方差公式因式分解，得：
$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$
整理得：
$(5x+5)(-x+1)=0$
则$5x+5=0$或$-x+1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(3) 移项，得：
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得：
$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$。
(1) 移项，得：
$x^2 -7x +12=0$
因式分解，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 移项，得：
$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$
由平方差公式因式分解，得：
$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$
整理得：
$(5x+5)(-x+1)=0$
则$5x+5=0$或$-x+1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(3) 移项，得：
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得：
$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$。
解析
【分析】
这三道一元二次方程均适合用因式分解法求解，核心逻辑是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可将二次方程降次为一次方程求解，具体解题思路如下：
(1) 先移项将方程化为右侧为0的一元二次方程一般形式，再对二次三项式用十字相乘法因式分解；
(2) 无需先展开平方项，将右侧整体移到左侧后，直接用平方差公式因式分解，简化计算；
(3) 注意(x-7)和(7-x)互为相反数，移项后统一公因式再提取即可分解，切记不可直接两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 -7x +12=0$
因式分解，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 移项，得：
$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$
由平方差公式因式分解，得：
$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$
整理得：
$(5x+5)(-x+1)=0$
则$5x+5=0$或$-x+1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(3) 移项，得：
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得：
$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=4$；(2)$x_1=-1$，$x_2=1$；(3)$x_1=7$，$x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提取公因式法
【点评】
这三道是解一元二次方程的基础常规题型，重点考察因式分解法的灵活应用，解题时优先观察方程结构选择简便的因式分解方法，处理含互为相反数公因式的题型时，要注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
这三道一元二次方程均适合用因式分解法求解，核心逻辑是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可将二次方程降次为一次方程求解，具体解题思路如下：
(1) 先移项将方程化为右侧为0的一元二次方程一般形式，再对二次三项式用十字相乘法因式分解；
(2) 无需先展开平方项，将右侧整体移到左侧后，直接用平方差公式因式分解，简化计算；
(3) 注意(x-7)和(7-x)互为相反数，移项后统一公因式再提取即可分解，切记不可直接两边除以含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 -7x +12=0$
因式分解，得：
$(x-3)(x-4)=0$
则$x-3=0$或$x-4=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(2) 移项，得：
$(2x+3)^2 - (3x+2)^2=0$
由平方差公式因式分解，得：
$[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0$
整理得：
$(5x+5)(-x+1)=0$
则$5x+5=0$或$-x+1=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
(3) 移项，得：
$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得：
$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=3$，$x_2=4$；(2)$x_1=-1$，$x_2=1$；(3)$x_1=7$，$x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提取公因式法
【点评】
这三道是解一元二次方程的基础常规题型，重点考察因式分解法的灵活应用，解题时优先观察方程结构选择简便的因式分解方法，处理含互为相反数公因式的题型时，要注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
