登录
7. 将下列方程化成一般形式,分别指出它们是否为一元二次方程,若是,分别指出它们的各项系数和常数项.
(1) $2x(x-3)=10$；
(2) $3m^2+2=2(2m+1)$；
(3) $(2k-3)(k+5)=7k$.
(1) $2x(x-3)=10$；
(2) $3m^2+2=2(2m+1)$；
(3) $(2k-3)(k+5)=7k$.
答案
解：
(1) 去括号，得：$2x^2 - 6x = 10$
移项整理为一般形式：$2x^2 - 6x - 10 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-10。
(2) 去括号，得：$3m^2 + 2 = 4m + 2$
移项、合并同类项整理为一般形式：$3m^2 - 4m = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
(3) 去括号，得：$2k^2 + 10k - 3k -15 =7k$
移项、合并同类项整理为一般形式：$2k^2 -15 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-15。
(1) 去括号，得：$2x^2 - 6x = 10$
移项整理为一般形式：$2x^2 - 6x - 10 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-10。
(2) 去括号，得：$3m^2 + 2 = 4m + 2$
移项、合并同类项整理为一般形式：$3m^2 - 4m = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
(3) 去括号，得：$2k^2 + 10k - 3k -15 =7k$
移项、合并同类项整理为一般形式：$2k^2 -15 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-15。
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），解题可按以下步骤进行：第一步对原方程去括号，第二步将所有项移到方程左侧，合并同类项后整理为左侧按未知数降幂排列、右侧为0的形式，第三步判断最高次项次数是否为2且二次项系数不为0，确定是否为一元二次方程，第四步对应一般形式找出各项系数和常数项，注意系数要包含前面的符号，缺少的项对应系数为0。
【解析】
(1) 去括号，得：$2x^2 - 6x = 10$
移项整理为一般形式：$2x^2 - 6x - 10 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-10。
(2) 去括号，得：$3m^2 + 2 = 4m + 2$
移项、合并同类项整理为一般形式：$3m^2 - 4m = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
(3) 去括号，得：$2k^2 + 10k - 3k -15 =7k$
移项、合并同类项整理为一般形式：$2k^2 -15 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-15。
【答案】
(1) 一般形式为$2x^2 - 6x - 10 = 0$，是一元二次方程，二次项系数2，一次项系数-6，常数项-10；
(2) 一般形式为$3m^2 - 4m = 0$，是一元二次方程，二次项系数3，一次项系数-4，常数项0；
(3) 一般形式为$2k^2 -15 = 0$，是一元二次方程，二次项系数2，一次项系数0，常数项-15。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程的判定及一般形式的相关概念，解题时需注意各项系数要携带对应符号，若方程缺少一次项或常数项，对应系数为0，避免因忽略符号或缺项系数出现错误。
【难度系数】
0.8
解决这类问题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），解题可按以下步骤进行：第一步对原方程去括号，第二步将所有项移到方程左侧，合并同类项后整理为左侧按未知数降幂排列、右侧为0的形式，第三步判断最高次项次数是否为2且二次项系数不为0，确定是否为一元二次方程，第四步对应一般形式找出各项系数和常数项，注意系数要包含前面的符号，缺少的项对应系数为0。
【解析】
(1) 去括号，得：$2x^2 - 6x = 10$
移项整理为一般形式：$2x^2 - 6x - 10 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-10。
(2) 去括号，得：$3m^2 + 2 = 4m + 2$
移项、合并同类项整理为一般形式：$3m^2 - 4m = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0。
(3) 去括号，得：$2k^2 + 10k - 3k -15 =7k$
移项、合并同类项整理为一般形式：$2k^2 -15 = 0$
该方程是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-15。
【答案】
(1) 一般形式为$2x^2 - 6x - 10 = 0$，是一元二次方程，二次项系数2，一次项系数-6，常数项-10；
(2) 一般形式为$3m^2 - 4m = 0$，是一元二次方程，二次项系数3，一次项系数-4，常数项0；
(3) 一般形式为$2k^2 -15 = 0$，是一元二次方程，二次项系数2，一次项系数0，常数项-15。
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程的判定及一般形式的相关概念，解题时需注意各项系数要携带对应符号，若方程缺少一次项或常数项，对应系数为0，避免因忽略符号或缺项系数出现错误。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x$的方程$(k^2 -1)x^2 - (k+1)x -2 =0$.
(1)当$k$取何值时,此方程为一元一次方程?
(2)当$k$取何值时,此方程为一元二次方程? 写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
(1)当$k$取何值时,此方程为一元一次方程?
(2)当$k$取何值时,此方程为一元二次方程? 写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
答案
解：
(1) 若该方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\ -(k+1) ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$-(k+1)≠0$，解得$k≠ -1$，
因此当$k=1$时，此方程为一元一次方程。
(2) 若该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - 1 ≠ 0$
解得$k≠ \pm1$。
此时这个一元二次方程的二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
(1) 若该方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\ -(k+1) ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$-(k+1)≠0$，解得$k≠ -1$，
因此当$k=1$时，此方程为一元一次方程。
(2) 若该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - 1 ≠ 0$
解得$k≠ \pm1$。
此时这个一元二次方程的二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
解析
【分析】
本题需要结合一元一次方程、一元二次方程的定义求解参数范围。（1）一元一次方程的核心特征是只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此本题需要让方程的二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立条件求解即可；（2）一元二次方程的核心特征是只含1个未知数、未知数最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0，再对应写出各项系数即可。
【解析】
(1) 若该方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\ -(k+1) ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$-(k+1)≠0$，解得$k≠ -1$，
因此当$k=1$时，此方程为一元一次方程。
(2) 若该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - 1 ≠ 0$
解得$k≠ \pm1$。
此时这个一元二次方程的二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
【答案】
(1) $k=1$；
(2) $k≠±1$，二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是方程概念的基础应用题，解题的关键是准确掌握两类方程的定义，易错点是求解一元一次方程的参数时，容易忽略一次项系数不为0的限制，错误得出$k=\pm1$的结论。
【难度系数】
0.8
本题需要结合一元一次方程、一元二次方程的定义求解参数范围。（1）一元一次方程的核心特征是只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此本题需要让方程的二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0，联立条件求解即可；（2）一元二次方程的核心特征是只含1个未知数、未知数最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0，再对应写出各项系数即可。
【解析】
(1) 若该方程为一元一次方程，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\ -(k+1) ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$-(k+1)≠0$，解得$k≠ -1$，
因此当$k=1$时，此方程为一元一次方程。
(2) 若该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，即：
$k^2 - 1 ≠ 0$
解得$k≠ \pm1$。
此时这个一元二次方程的二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
【答案】
(1) $k=1$；
(2) $k≠±1$，二次项系数为$k^2-1$，一次项系数为$-(k+1)$，常数项为$-2$。
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是方程概念的基础应用题，解题的关键是准确掌握两类方程的定义，易错点是求解一元一次方程的参数时，容易忽略一次项系数不为0的限制，错误得出$k=\pm1$的结论。
【难度系数】
0.8
1. 一元二次方程 $ x(x-2)=x-2 $ 的解是 （）
A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
答案
D
解析
【分析】
求解本题首先要注意，不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确解题思路为：先将方程右侧的项移到左侧，使方程右侧为0，再提取公因式将左侧因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，最后分别令两个一次式为0，即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=1$
因此方程的解为$x_1=1,x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，主要考查因式分解法的应用，易错点是直接两边除以含未知数的整式导致漏根，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
求解本题首先要注意，不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确解题思路为：先将方程右侧的项移到左侧，使方程右侧为0，再提取公因式将左侧因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，最后分别令两个一次式为0，即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=1$
因此方程的解为$x_1=1,x_2=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，主要考查因式分解法的应用，易错点是直接两边除以含未知数的整式导致漏根，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$,配方正确的是（）
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
A.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{13}{4}$
D.$(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{11}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，具体步骤为：①先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式，最后整理结果和选项对比即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$进行配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半为$-\dfrac{3}{4}$，平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，方程两边同时加$\dfrac{9}{16}$，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算得
$(x-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
因此配方结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是牢记配方前必须先将二次项系数化为1，计算一次项系数一半的平方时要注意符号和数值运算，属于对基本运算技能的考查。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤逐步推导：配方法的核心是将方程左边变形为完全平方式，具体步骤为：①先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式，最后整理结果和选项对比即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$进行配方：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-\dfrac{3}{2}$，其一半为$-\dfrac{3}{4}$，平方为$(-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，方程两边同时加$\dfrac{9}{16}$，得
$x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左边整理为完全平方式，右边通分计算得
$(x-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{17}{16}$
因此配方结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是牢记配方前必须先将二次项系数化为1，计算一次项系数一半的平方时要注意符号和数值运算，属于对基本运算技能的考查。
【难度系数】
0.75
