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1. 下列方程是一元二次方程的是 （）
A.$xy=2$
B.$2x^2 - x = 0$
C.$x^2 + \frac{1}{x} = 2$
D.$3x^3 = 1$
A.$xy=2$
B.$2x^2 - x = 0$
C.$x^2 + \frac{1}{x} = 2$
D.$3x^3 = 1$
答案
B
解析
【分析】
要判断是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（等号两边均为整式，不含未知数在分母的项）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时只需逐个对照选项验证上述条件即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）逐一分析选项：
A. $xy=2$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. $2x^2 - x = 0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
C. $x^2 + \frac{1}{x} = 2$中$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D. $3x^3 = 1$中未知数$x$的最高次数是3，属于一元三次方程，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别；方程次数的判断
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，判断时不要只看未知数的最高次数，还要注意验证方程是否为整式、未知数的个数，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
要判断是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（等号两边均为整式，不含未知数在分母的项）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件需同时满足。解题时只需逐个对照选项验证上述条件即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）逐一分析选项：
A. $xy=2$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. $2x^2 - x = 0$只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
C. $x^2 + \frac{1}{x} = 2$中$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D. $3x^3 = 1$中未知数$x$的最高次数是3，属于一元三次方程，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的识别；方程次数的判断
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，判断时不要只看未知数的最高次数，还要注意验证方程是否为整式、未知数的个数，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
2. (2026·扬州)关于x的一元二次方程$x^2+kx-1=0$根的情况是 ()
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。首先从给定方程中找出$a、b、c$的取值，代入公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+kx-1=0$中，$a=1$，$b=k$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$k^2≥0$
∴ $k^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时注意准确识别方程各项系数，结合非负数的性质判断判别式符号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，没有实数根。首先从给定方程中找出$a、b、c$的取值，代入公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+kx-1=0$中，$a=1$，$b=k$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$k^2≥0$
∴ $k^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta＞0$
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时注意准确识别方程各项系数，结合非负数的性质判断判别式符号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. (2025·绵阳)若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则a的值为.
答案
解：
把$x=1$代入方程$x^2 -6x +a=0$，得
$1^2 - 6×1 + a = 0$
化简得$1 - 6 + a = 0$
解得$a=5$
把$x=1$代入方程$x^2 -6x +a=0$，得
$1^2 - 6×1 + a = 0$
化简得$1 - 6 + a = 0$
解得$a=5$
解析
【分析】
已知1是给定一元二次方程的根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，我们只需将x=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 -6x +a=0$，得
$1^2 - 6×1 + a = 0$
化简得$1 - 6 + a = 0$
解得$a=5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的概念的应用，代入根求参数是这类题型的常规解法，计算难度低，掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
已知1是给定一元二次方程的根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，我们只需将x=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 -6x +a=0$，得
$1^2 - 6×1 + a = 0$
化简得$1 - 6 + a = 0$
解得$a=5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的概念的应用，代入根求参数是这类题型的常规解法，计算难度低，掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 一元二次方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，注意系数要包含本身的符号。接下来只需对应找到题干方程的三个系数，再相加求和即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$：
1. 二次项为$2x^2$，因此二次项系数为$2$；
2. 一次项为$4x$，因此一次项系数为$4$；
3. 不含未知数的常数项为$-1$。
将三者求和可得：$2 + 4 + (-1) = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需注意常数项的符号，避免因忽略负号出现计算错误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，注意系数要包含本身的符号。接下来只需对应找到题干方程的三个系数，再相加求和即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$：
1. 二次项为$2x^2$，因此二次项系数为$2$；
2. 一次项为$4x$，因此一次项系数为$4$；
3. 不含未知数的常数项为$-1$。
将三者求和可得：$2 + 4 + (-1) = 5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需注意常数项的符号，避免因忽略负号出现计算错误。
【难度系数】
0.9
5. 方程$2x - 4 = 0$的解也是关于x的方程$x^2 + mx + 2 = 0$的一个解，则m的值为.
答案
解：
解方程$2x - 4 = 0$，
移项得$2x = 4$，
解得$x = 2$。
把$x=2$代入方程$x^2 + mx + 2 = 0$，得：
$2^2 + 2m + 2 = 0$，
化简得$4 + 2m + 2 = 0$，
$2m = -6$，
解得$m = -3$。
解方程$2x - 4 = 0$，
移项得$2x = 4$，
解得$x = 2$。
把$x=2$代入方程$x^2 + mx + 2 = 0$，得：
$2^2 + 2m + 2 = 0$，
化简得$4 + 2m + 2 = 0$，
$2m = -6$，
解得$m = -3$。
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解一元一次方程$2x-4=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程有相同的解”，把求出的x的值代入一元二次方程$x^2+mx+2=0$，就可以得到只含参数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。核心依据是：方程的解代入方程后，等式左右两边相等。
【解析】
1. 解方程$2x - 4 = 0$：
移项得$2x = 4$，
系数化为1得$x = 2$。
2. 把$x=2$代入方程$x^2 + mx + 2 = 0$：
代入得$2^2 + 2m + 2 = 0$，
化简得$4 + 2m + 2 = 0$，
移项合并得$2m = -6$，
系数化为1得$m = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 一元二次方程的解的定义
3. 代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，重点考察方程解的性质的应用，解题逻辑清晰，只要掌握“方程的解满足对应方程”这一核心知识点，即可快速求解，是方程章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步先求解一元一次方程$2x-4=0$，得到它的解；第二步根据“两个方程有相同的解”，把求出的x的值代入一元二次方程$x^2+mx+2=0$，就可以得到只含参数m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。核心依据是：方程的解代入方程后，等式左右两边相等。
【解析】
1. 解方程$2x - 4 = 0$：
移项得$2x = 4$，
系数化为1得$x = 2$。
2. 把$x=2$代入方程$x^2 + mx + 2 = 0$：
代入得$2^2 + 2m + 2 = 0$，
化简得$4 + 2m + 2 = 0$，
移项合并得$2m = -6$，
系数化为1得$m = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 一元二次方程的解的定义
3. 代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，重点考察方程解的性质的应用，解题逻辑清晰，只要掌握“方程的解满足对应方程”这一核心知识点，即可快速求解，是方程章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
6. 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根.
(1) $x^2 - 2 = x$ ($x_1=-1, x_2=0, x_3=2$);
(2) $2x^2 + x -1 =0$ ($x_1=-1, x_2=1, x_3=\frac{1}{2}$).
(1) $x^2 - 2 = x$ ($x_1=-1, x_2=0, x_3=2$);
(2) $2x^2 + x -1 =0$ ($x_1=-1, x_2=1, x_3=\frac{1}{2}$).
答案
解：
(1) 当$x_1=-1$时，
左边$=(-1)^2 -2 = 1-2=-1$，右边$=-1$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_2=0$时，
左边$=0^2 -2 = -2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=0$不是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_3=2$时，
左边$=2^2 -2 = 4-2=2$，右边$=2$，
左边$=$右边，所以$x_3=2$是方程$x^2-2=x$的根。
(2) 当$x_1=-1$时，
左边$=2×(-1)^2 + (-1) -1 = 2-1-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_2=1$时，
左边$=2×1^2 + 1 -1 = 2+1-1=2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=1$不是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_3=\frac{1}{2}$时，
左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2+x-1=0$的根。
(1) 当$x_1=-1$时，
左边$=(-1)^2 -2 = 1-2=-1$，右边$=-1$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_2=0$时，
左边$=0^2 -2 = -2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=0$不是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_3=2$时，
左边$=2^2 -2 = 4-2=2$，右边$=2$，
左边$=$右边，所以$x_3=2$是方程$x^2-2=x$的根。
(2) 当$x_1=-1$时，
左边$=2×(-1)^2 + (-1) -1 = 2-1-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_2=1$时，
左边$=2×1^2 + 1 -1 = 2+1-1=2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=1$不是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_3=\frac{1}{2}$时，
左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2+x-1=0$的根。
解析
【分析】
判断未知数的值是否为方程的根的核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需将每个给定的x值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果后对比：若左右两边相等，则该值是方程的根；若不相等，则不是方程的根，按顺序逐个验证所有给出的数值即可。
【解析】
(1) 当$x_1=-1$时，
左边$=(-1)^2 -2 = 1-2=-1$，右边$=-1$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_2=0$时，
左边$=0^2 -2 = -2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=0$不是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_3=2$时，
左边$=2^2 -2 = 4-2=2$，右边$=2$，
左边$=$右边，所以$x_3=2$是方程$x^2-2=x$的根。
(2) 当$x_1=-1$时，
左边$=2×(-1)^2 + (-1) -1 = 2-1-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_2=1$时，
左边$=2×1^2 + 1 -1 = 2+1-1=2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=1$不是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_3=\frac{1}{2}$时，
左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2+x-1=0$的根。
【答案】
(1) $x_1=-1$、$x_3=2$是方程$x^2 - 2 = x$的根，$x_2=0$不是该方程的根；
(2) $x_1=-1$、$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2 + x -1 =0$的根，$x_2=1$不是该方程的根。
【知识点】
方程的根的定义；代入求值；一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查方程根的判定方法，解题过程中只需细心代入计算、对比左右两边结果即可得出正确结论，是学习一元二次方程相关内容的入门级题型，掌握该方法可为后续解方程、验根打好基础。
【难度系数】
0.9
判断未知数的值是否为方程的根的核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需将每个给定的x值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果后对比：若左右两边相等，则该值是方程的根；若不相等，则不是方程的根，按顺序逐个验证所有给出的数值即可。
【解析】
(1) 当$x_1=-1$时，
左边$=(-1)^2 -2 = 1-2=-1$，右边$=-1$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_2=0$时，
左边$=0^2 -2 = -2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=0$不是方程$x^2-2=x$的根；
当$x_3=2$时，
左边$=2^2 -2 = 4-2=2$，右边$=2$，
左边$=$右边，所以$x_3=2$是方程$x^2-2=x$的根。
(2) 当$x_1=-1$时，
左边$=2×(-1)^2 + (-1) -1 = 2-1-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_1=-1$是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_2=1$时，
左边$=2×1^2 + 1 -1 = 2+1-1=2$，右边$=0$，
左边$≠$右边，所以$x_2=1$不是方程$2x^2+x-1=0$的根；
当$x_3=\frac{1}{2}$时，
左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2+x-1=0$的根。
【答案】
(1) $x_1=-1$、$x_3=2$是方程$x^2 - 2 = x$的根，$x_2=0$不是该方程的根；
(2) $x_1=-1$、$x_3=\frac{1}{2}$是方程$2x^2 + x -1 =0$的根，$x_2=1$不是该方程的根。
【知识点】
方程的根的定义；代入求值；一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查方程根的判定方法，解题过程中只需细心代入计算、对比左右两边结果即可得出正确结论，是学习一元二次方程相关内容的入门级题型，掌握该方法可为后续解方程、验根打好基础。
【难度系数】
0.9
