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10. (2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
答案
解：
(1) 原方程整理为：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
由根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=-1$代入上式，得 $-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$
把$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$
即 $m^2=6$，解得 $m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明：由根与系数的关系，得 $x_1x_2=2 - m^2$，$x_1+x_2=3$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开变形：
$\begin{aligned}(x_1-1)(x_2-1)&=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1\\&=(2 - m^2) - 3 + 1\\&=-m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$，
∴ $-m^2\le0$，
即 $(x_1-1)(x_2-1)\le0$，得证。
(1) 原方程整理为：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
由根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=-1$代入上式，得 $-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$
把$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$
即 $m^2=6$，解得 $m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明：由根与系数的关系，得 $x_1x_2=2 - m^2$，$x_1+x_2=3$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开变形：
$\begin{aligned}(x_1-1)(x_2-1)&=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1\\&=(2 - m^2) - 3 + 1\\&=-m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$，
∴ $-m^2\le0$，
即 $(x_1-1)(x_2-1)\le0$，得证。
解析
【分析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，已知一个根$x_1=-1$，可优先利用根与系数的关系（韦达定理）的两根之和公式快速求出$x_2$，再将已知根代入原方程即可求出$m$的值，该方法比先求$m$再解方程求$x_2$更简便。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，首先将该代数式展开整理，再结合韦达定理得到的两根之和、两根之积代入化简，最后利用平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$(x-1)(x-2)=m^2$得 $x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=-1$代入上式：$-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$
再把$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$
计算得 $m^2=6$，解得 $m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明：由根与系数的关系可得，方程$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$中，$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 - m^2$
将待证式子展开变形：
$\begin{aligned}(x_1-1)(x_2-1)&=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1\\&=x_1x_2 -(x_1+x_2)+1\end{aligned}$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 - m^2$代入上式：
原式$=(2 - m^2) - 3 + 1=-m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$
∴ $-m^2\le0$，即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，原式得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，第一问考查根的定义和韦达定理的基础运用，计算量小；第二问需要掌握代数式的展开变形技巧，结合非负性完成证明，主要考察代数运算能力和逻辑推导能力，考查方向偏向基础。
【难度系数】
0.7
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，已知一个根$x_1=-1$，可优先利用根与系数的关系（韦达定理）的两根之和公式快速求出$x_2$，再将已知根代入原方程即可求出$m$的值，该方法比先求$m$再解方程求$x_2$更简便。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，首先将该代数式展开整理，再结合韦达定理得到的两根之和、两根之积代入化简，最后利用平方数的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$(x-1)(x-2)=m^2$得 $x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
将$x_1=-1$代入上式：$-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$
再把$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$
计算得 $m^2=6$，解得 $m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明：由根与系数的关系可得，方程$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$中，$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 - m^2$
将待证式子展开变形：
$\begin{aligned}(x_1-1)(x_2-1)&=x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1\\&=x_1x_2 -(x_1+x_2)+1\end{aligned}$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 - m^2$代入上式：
原式$=(2 - m^2) - 3 + 1=-m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2\ge0$
∴ $-m^2\le0$，即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$，原式得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方的非负性
3. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，第一问考查根的定义和韦达定理的基础运用，计算量小；第二问需要掌握代数式的展开变形技巧，结合非负性完成证明，主要考察代数运算能力和逻辑推导能力，考查方向偏向基础。
【难度系数】
0.7
11. 关于x的一元二次方程$x^2 -3x +k=0$有实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m-1)x^2 +x +m-3=0$与方程$x^2 -3x +k=0$有一个相同的根,求此时m的值.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程$(m-1)x^2 +x +m-3=0$与方程$x^2 -3x +k=0$有一个相同的根,求此时m的值.
答案
解：
(1) ∵一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ≥ 0$，
即$9 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 由$k ≤ \frac{9}{4}$，得符合条件的最大整数$k=2$，
此时方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
将相同根分别代入方程$(m-1)x^2 + x + m - 3 = 0$：
① 若相同根为$x=1$，代入得：
$(m-1)×1^2 + 1 + m - 3 = 0$，
化简得$2m - 3 = 0$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
此时$m-1=\frac{1}{2}≠0$，符合一元二次方程要求。
② 若相同根为$x=2$，代入得：
$(m-1)×2^2 + 2 + m - 3 = 0$，
化简得$5m - 5 = 0$，
解得$m=1$，
此时二次项系数$m-1=0$，不符合一元二次方程定义，舍去。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
(1) ∵一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ≥ 0$，
即$9 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 由$k ≤ \frac{9}{4}$，得符合条件的最大整数$k=2$，
此时方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
将相同根分别代入方程$(m-1)x^2 + x + m - 3 = 0$：
① 若相同根为$x=1$，代入得：
$(m-1)×1^2 + 1 + m - 3 = 0$，
化简得$2m - 3 = 0$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
此时$m-1=\frac{1}{2}≠0$，符合一元二次方程要求。
② 若相同根为$x=2$，代入得：
$(m-1)×2^2 + 2 + m - 3 = 0$，
化简得$5m - 5 = 0$，
解得$m=1$，
此时二次项系数$m-1=0$，不符合一元二次方程定义，舍去。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
对于第(1)问，已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，代入方程对应系数即可列出关于$k$的不等式，求解就能得到$k$的取值范围。对于第(2)问，先根据第(1)问得到的$k$的范围找到符合条件的最大整数$k$，解出此时第一个方程的两个根，再将两个根分别代入第二个一元二次方程求出对应的$m$值，最后要注意第二个方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，需要对求出的$m$进行检验，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1)
∵一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ≥ 0$，
即$9 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 由$k ≤ \frac{9}{4}$，得符合条件的最大整数$k=2$，
此时方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
将相同根分别代入一元二次方程$(m-1)x^2 + x + m - 3 = 0$：
① 若相同根为$x=1$，代入得：
$(m-1)×1^2 + 1 + m - 3 = 0$，
化简得$2m - 3 = 0$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
此时$m-1=\frac{1}{2}≠0$，符合一元二次方程要求。
② 若相同根为$x=2$，代入得：
$(m-1)×2^2 + 2 + m - 3 = 0$，
化简得$5m - 5 = 0$，
解得$m=1$，
此时二次项系数$m-1=0$，不符合一元二次方程定义，故舍去。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{9}{4}$；(2) $m=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解方程
3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题目，解题时需注意“一元二次方程的二次项系数不为0”这一隐含条件，避免出现多解未检验的错误。
【难度系数】
0.65
对于第(1)问，已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，代入方程对应系数即可列出关于$k$的不等式，求解就能得到$k$的取值范围。对于第(2)问，先根据第(1)问得到的$k$的范围找到符合条件的最大整数$k$，解出此时第一个方程的两个根，再将两个根分别代入第二个一元二次方程求出对应的$m$值，最后要注意第二个方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，需要对求出的$m$进行检验，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1)
∵一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有实数根，
∴判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k ≥ 0$，
即$9 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ \frac{9}{4}$。
(2) 由$k ≤ \frac{9}{4}$，得符合条件的最大整数$k=2$，
此时方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$。
将相同根分别代入一元二次方程$(m-1)x^2 + x + m - 3 = 0$：
① 若相同根为$x=1$，代入得：
$(m-1)×1^2 + 1 + m - 3 = 0$，
化简得$2m - 3 = 0$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
此时$m-1=\frac{1}{2}≠0$，符合一元二次方程要求。
② 若相同根为$x=2$，代入得：
$(m-1)×2^2 + 2 + m - 3 = 0$，
化简得$5m - 5 = 0$，
解得$m=1$，
此时二次项系数$m-1=0$，不符合一元二次方程定义，故舍去。
综上，$m$的值为$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{9}{4}$；(2) $m=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解方程
3. 一元二次方程的定义
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题目，解题时需注意“一元二次方程的二次项系数不为0”这一隐含条件，避免出现多解未检验的错误。
【难度系数】
0.65
1.某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人,则可得到方程 ()
A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
A.$x+(1+x)=36$
B.$2(1+x)=36$
C.$1+x+x(1+x)=36$
D.$1+x+x^2=36$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道传染问题的列方程题，我们可以分步骤梳理每一轮的患病人数变化：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，接着以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源基数，算出第二轮新增的患病人数，最后根据“两轮传染后总患病人数为36人”的等量关系列出方程即可。
【解析】
1. 初始状态：共有1人患流感。
2. 第一轮传染：平均1人传染x人，因此第一轮新增x名患者，第一轮传染结束后总患病人数为$1+x$人。
3. 第二轮传染：此时每一个患流感的人都会传染x人，传染源是第一轮结束后的$1+x$个患者，因此第二轮新增$x(1+x)$名患者。
4. 两轮传染后的总患病人数为第一轮总人数加第二轮新增人数，已知总人数为36，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题等量关系
【点评】
这道题是传播类方程应用的典型题型，解题的核心是准确找到每一轮传染的传染源基数，避免错误认为第二轮仅初始的1名患者作为传染源，理清数量变化逻辑就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.75
要解决这道传染问题的列方程题，我们可以分步骤梳理每一轮的患病人数变化：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，接着以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源基数，算出第二轮新增的患病人数，最后根据“两轮传染后总患病人数为36人”的等量关系列出方程即可。
【解析】
1. 初始状态：共有1人患流感。
2. 第一轮传染：平均1人传染x人，因此第一轮新增x名患者，第一轮传染结束后总患病人数为$1+x$人。
3. 第二轮传染：此时每一个患流感的人都会传染x人，传染源是第一轮结束后的$1+x$个患者，因此第二轮新增$x(1+x)$名患者。
4. 两轮传染后的总患病人数为第一轮总人数加第二轮新增人数，已知总人数为36，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播类问题等量关系
【点评】
这道题是传播类方程应用的典型题型，解题的核心是准确找到每一轮传染的传染源基数，避免错误认为第二轮仅初始的1名患者作为传染源，理清数量变化逻辑就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.75
