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2. 毕业前夕,班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福信息,全班一共发送870条,这个班级的学生总人数是 ()
A.40
B.30
C.29
D.39
A.40
B.30
C.29
D.39
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确祝福信息的发送规则：每名同学要给除自己之外的其他所有同学各发1条信息。我们可以先设班级总人数为x，那么每名同学发送的信息数为(x-1)条，总发送信息数就是“总人数×每人发送的信息数”，据此可以列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个班级的学生总人数是x人。
根据题意，每名同学需要给其余(x-1)名同学发送祝福，因此全班总共发送的信息条数为x(x-1)条，已知总发送量为870条，可列方程：
$x(x-1)=870$
整理得：$x^2 - x - 870 = 0$
用公式法求解：判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-870) = 1 + 3480 = 3481 = 59^2$
$\therefore x = \frac{1\pm59}{2}$
解得$x_1 = \frac{1+59}{2}=30$，$x_2 = \frac{1-59}{2}=-29$
人数不能为负数，故舍去$x_2=-29$，即班级总人数为30人。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的互送类实际应用题，解题的核心是正确梳理总发送量与人数之间的等量关系，注意区分互送类问题和握手类问题的数量关系差异，求出方程的解后要结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确祝福信息的发送规则：每名同学要给除自己之外的其他所有同学各发1条信息。我们可以先设班级总人数为x，那么每名同学发送的信息数为(x-1)条，总发送信息数就是“总人数×每人发送的信息数”，据此可以列出一元二次方程，求解后结合人数为正整数的实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个班级的学生总人数是x人。
根据题意，每名同学需要给其余(x-1)名同学发送祝福，因此全班总共发送的信息条数为x(x-1)条，已知总发送量为870条，可列方程：
$x(x-1)=870$
整理得：$x^2 - x - 870 = 0$
用公式法求解：判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-870) = 1 + 3480 = 3481 = 59^2$
$\therefore x = \frac{1\pm59}{2}$
解得$x_1 = \frac{1+59}{2}=30$，$x_2 = \frac{1-59}{2}=-29$
人数不能为负数，故舍去$x_2=-29$，即班级总人数为30人。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的互送类实际应用题，解题的核心是正确梳理总发送量与人数之间的等量关系，注意区分互送类问题和握手类问题的数量关系差异，求出方程的解后要结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
3. (2025·威海)如图1,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
答案
解：设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
因为$ x=8 $时，$ 14 - 4x = -18 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
所以$ x = 0.5 $。
答：小路的宽度为$ 0.5 \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
因为$ x=8 $时，$ 14 - 4x = -18 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
所以$ x = 0.5 $。
答：小路的宽度为$ 0.5 \, \mathrm{m} $。
解析
【分析】
这是一道结合图形的一元二次方程实际应用题，核心思路是将分散的9个空白种植地块拼接为一个规则大矩形来简化计算。首先观察图形：竖直方向共有4条小路（左右边界各1条、内部2条分隔3列地块），每条宽$x\,\mathrm{m}$，因此拼接后空白矩形的长为原长减去4个小路宽度，即$(20-4x)\mathrm{m}$；水平方向也有4条小路（上下边界各1条、内部2条分隔3行地块），因此拼接后空白矩形的宽为原宽减去4个小路宽度，即$(14-4x)\mathrm{m}$。已知9个地块总面积为$9×24\,\mathrm{m^2}$，根据空白区域总面积相等即可列方程，求解后需检验根是否符合实际（边长不能为负），舍去不符合的根即得答案。
【解析】
解：设小路的宽度为$x \, \mathrm{m}$。
根据题意，9个地块拼接形成的矩形面积等于9个小地块面积之和，列方程得：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
展开整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
检验：当$x=8$时，$14 - 4x = -18 ＜ 0$，边长不能为负，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=0.5$。
【答案】
小路的宽度为$\boxed{0.5\,\mathrm{m}}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 方程根的合理性检验
【点评】
本题是典型的图形类方程应用题，解题关键是通过“拼接法”将分散的空白区域转化为规则矩形，降低列式难度；求解后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
这是一道结合图形的一元二次方程实际应用题，核心思路是将分散的9个空白种植地块拼接为一个规则大矩形来简化计算。首先观察图形：竖直方向共有4条小路（左右边界各1条、内部2条分隔3列地块），每条宽$x\,\mathrm{m}$，因此拼接后空白矩形的长为原长减去4个小路宽度，即$(20-4x)\mathrm{m}$；水平方向也有4条小路（上下边界各1条、内部2条分隔3行地块），因此拼接后空白矩形的宽为原宽减去4个小路宽度，即$(14-4x)\mathrm{m}$。已知9个地块总面积为$9×24\,\mathrm{m^2}$，根据空白区域总面积相等即可列方程，求解后需检验根是否符合实际（边长不能为负），舍去不符合的根即得答案。
【解析】
解：设小路的宽度为$x \, \mathrm{m}$。
根据题意，9个地块拼接形成的矩形面积等于9个小地块面积之和，列方程得：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 9 × 24$
展开整理得：
$2x^2 - 17x + 8 = 0$
因式分解得$(2x-1)(x-8)=0$，解得：
$x_1 = 0.5,\quad x_2 = 8$
检验：当$x=8$时，$14 - 4x = -18 ＜ 0$，边长不能为负，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=0.5$。
【答案】
小路的宽度为$\boxed{0.5\,\mathrm{m}}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 方程根的合理性检验
【点评】
本题是典型的图形类方程应用题，解题关键是通过“拼接法”将分散的空白区域转化为规则矩形，降低列式难度；求解后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
