4. (2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.

解：
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，
根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（不符合实际，舍去）。
(2) 2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据题意列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
整理得：$-5m ≤ -200$
解得：$m ≥ 40$。
答：(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2) 最少购进40件甲种商品。

【分析】
(1) 第一问求乙种商品进价的年平均下降率，可利用平均变化率公式求解：初始量×(1-下降率)ⁿ=变化n次后的量。乙商品2022年进价为初始量125元，经过2年到2024年进价为80元，设下降率为x代入公式列一元二次方程即可，最后需结合实际意义取舍解，下降率不能大于1，不符合的解要舍去。
(2) 第二问是不等式应用问题，首先先计算2024年甲商品的进价：2022年到2024年共2年，每年进价下降25元，可算出2024年甲的进价。再设购进甲商品m件，乙商品就是(100-m)件，根据总进货资金不超过7800元的不等关系列一元一次不等式，解出m的取值范围后，取最小正整数即为最少购进甲商品的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，
根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
整理得：$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
(2) 2024年甲种商品每件的进价为：$125 - 25×2 = 75$元，
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$(100-m)$件，
根据题意列不等式：
$75m + 80(100 - m) ≤ 7800$
整理得：$-5m ≤ -200$
解得：$m ≥ 40$。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；(2) 最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以超市进货的生活场景为载体，考查方程与不等式的实际应用，解题关键是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，同时要注意实际问题中解的取值要符合现实逻辑，是典型的应用型基础题。
【难度系数】
0.7