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17.(9分)如图14,已知△ABP,点C,D在边AB上,连接PC,PD,使∠ADP=60°,且△ACP∽△PDB.
(1)请判定△PCD的形状,并说明理由;
(2)若AC=2,BD=3,求△ABP的面积.
(1)请判定△PCD的形状,并说明理由;
(2)若AC=2,BD=3,求△ABP的面积.
答案
(1) 判定△PCD的形状
解：△PCD是等边三角形，理由如下：
∵ ∠ADP=60°，
∴ ∠PDC=60°，∠PDB=180°-∠ADP=120°。
∵ △ACP∽△PDB，
∴ ∠ACP=∠PDB=120°，
∴ ∠PCD=180°-∠ACP=60°。
在△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，
∴ ∠CPD=180°-60°-60°=60°，
即∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴ △PCD是等边三角形。
---
(2) 求△ABP的面积
解：∵ △ACP∽△PDB，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，即 $PC· PD = AC· BD$。
由(1)知△PCD是等边三角形，故 $PC=PD=CD$，代入得：
$CD^2 = AC· BD = 2×3 = 6$，
∵ $CD＞0$，∴ $CD=\sqrt{6}$。
过点P作$PH⊥ AB$于点H，
∵ △PCD是等边三角形，$PH⊥ CD$，
∴ $PH = PC· \sin60° = CD· \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
又∵ $AB = AC + CD + BD = 2+\sqrt{6}+3 = 5+\sqrt{6}$，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}· AB· PH = \frac{1}{2}×(5+\sqrt{6})×\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
答：△ABP的面积为$\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
解：△PCD是等边三角形，理由如下：
∵ ∠ADP=60°，
∴ ∠PDC=60°，∠PDB=180°-∠ADP=120°。
∵ △ACP∽△PDB，
∴ ∠ACP=∠PDB=120°，
∴ ∠PCD=180°-∠ACP=60°。
在△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，
∴ ∠CPD=180°-60°-60°=60°，
即∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴ △PCD是等边三角形。
---
(2) 求△ABP的面积
解：∵ △ACP∽△PDB，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，即 $PC· PD = AC· BD$。
由(1)知△PCD是等边三角形，故 $PC=PD=CD$，代入得：
$CD^2 = AC· BD = 2×3 = 6$，
∵ $CD＞0$，∴ $CD=\sqrt{6}$。
过点P作$PH⊥ AB$于点H，
∵ △PCD是等边三角形，$PH⊥ CD$，
∴ $PH = PC· \sin60° = CD· \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
又∵ $AB = AC + CD + BD = 2+\sqrt{6}+3 = 5+\sqrt{6}$，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}· AB· PH = \frac{1}{2}×(5+\sqrt{6})×\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
答：△ABP的面积为$\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
解析
【分析】
（1）判定△PCD形状时，先从已知∠ADP=60°推导∠PDC、∠PDB的度数，再结合△ACP∽△PDB的性质得到对应角∠ACP的度数，进而求出∠PCD的度数，最后通过三角形内角和验证△PCD的三个内角均为60°即可判定形状。
（2）求△ABP面积时，先利用相似三角形对应边成比例的性质，结合（1）中等边三角形三边相等的结论求出CD的长度，再作AB边上的高PH，利用等边三角形的性质求出高PH的长度，最后算出AB的总长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) △PCD是等边三角形，理由如下：
∵ ∠ADP=60°，
∴ ∠PDC=60°，∠PDB=180°-∠ADP=120°。
∵ △ACP∽△PDB，
∴ ∠ACP=∠PDB=120°，
∴ ∠PCD=180°-∠ACP=60°。
在△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，
∴ ∠CPD=180°-60°-60°=60°，
即∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴ △PCD是等边三角形。
(2) 解：
∵ △ACP∽△PDB，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，即 $PC· PD = AC· BD$。
由(1)知△PCD是等边三角形，故 $PC=PD=CD$，代入得：
$CD^2 = AC· BD = 2×3 = 6$，
∵ $CD＞0$，
∴ $CD=\sqrt{6}$。
过点P作$PH⊥ AB$于点H，
∵ △PCD是等边三角形，$PH⊥ CD$，
∴ $PH = PC· \sin60° = CD· \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
又
∵ $AB = AC + CD + BD = 2+\sqrt{6}+3 = 5+\sqrt{6}$，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}· AB· PH = \frac{1}{2}×(5+\sqrt{6})×\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) △PCD是等边三角形；(2) $\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考察相似三角形和特殊三角形的相关知识，解题的核心是灵活运用相似三角形的角、边对应关系，结合等边三角形的性质推导所求量，对学生的逻辑推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）判定△PCD形状时，先从已知∠ADP=60°推导∠PDC、∠PDB的度数，再结合△ACP∽△PDB的性质得到对应角∠ACP的度数，进而求出∠PCD的度数，最后通过三角形内角和验证△PCD的三个内角均为60°即可判定形状。
（2）求△ABP面积时，先利用相似三角形对应边成比例的性质，结合（1）中等边三角形三边相等的结论求出CD的长度，再作AB边上的高PH，利用等边三角形的性质求出高PH的长度，最后算出AB的总长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) △PCD是等边三角形，理由如下：
∵ ∠ADP=60°，
∴ ∠PDC=60°，∠PDB=180°-∠ADP=120°。
∵ △ACP∽△PDB，
∴ ∠ACP=∠PDB=120°，
∴ ∠PCD=180°-∠ACP=60°。
在△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，
∴ ∠CPD=180°-60°-60°=60°，
即∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴ △PCD是等边三角形。
(2) 解：
∵ △ACP∽△PDB，
∴ $\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，即 $PC· PD = AC· BD$。
由(1)知△PCD是等边三角形，故 $PC=PD=CD$，代入得：
$CD^2 = AC· BD = 2×3 = 6$，
∵ $CD＞0$，
∴ $CD=\sqrt{6}$。
过点P作$PH⊥ AB$于点H，
∵ △PCD是等边三角形，$PH⊥ CD$，
∴ $PH = PC· \sin60° = CD· \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
又
∵ $AB = AC + CD + BD = 2+\sqrt{6}+3 = 5+\sqrt{6}$，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}· AB· PH = \frac{1}{2}×(5+\sqrt{6})×\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) △PCD是等边三角形；(2) $\frac{15\sqrt{2}+6\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考察相似三角形和特殊三角形的相关知识，解题的核心是灵活运用相似三角形的角、边对应关系，结合等边三角形的性质推导所求量，对学生的逻辑推理和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
18.(9分)如图15①是一个组合几何体,图15②是它的两种从不同方向看的图形,根据两种图形中尺寸,计算这个组合几何体的表面积和体积.(结果保留π)
答案
解：
由三视图可知，该组合几何体由下方长为8、宽为5、高为2的长方体，和上方底面直径为4、高为6的圆柱组成。
计算表面积：
长方体的表面积为：
$2×(8×5 + 8×2 + 5×2) = 2×66 = 132$
圆柱的侧面积为：
$π×4×6 = 24π$
由于圆柱与长方体重合的圆形面相互抵消，组合几何体的总表面积等于长方体表面积与圆柱侧面积之和：
$S_{\mathrm{总}} = 132 + 24π$
计算体积：
长方体的体积为：
$8×5×2 = 80$
圆柱的体积为：
$π×(\frac{4}{2})^2×6 = 24π$
组合几何体的总体积为两部分体积之和：
$V_{\mathrm{总}} = 80 + 24π$
答：这个组合几何体的表面积为$132+24π$，体积为$80+24π$。
由三视图可知，该组合几何体由下方长为8、宽为5、高为2的长方体，和上方底面直径为4、高为6的圆柱组成。
计算表面积：
长方体的表面积为：
$2×(8×5 + 8×2 + 5×2) = 2×66 = 132$
圆柱的侧面积为：
$π×4×6 = 24π$
由于圆柱与长方体重合的圆形面相互抵消，组合几何体的总表面积等于长方体表面积与圆柱侧面积之和：
$S_{\mathrm{总}} = 132 + 24π$
计算体积：
长方体的体积为：
$8×5×2 = 80$
圆柱的体积为：
$π×(\frac{4}{2})^2×6 = 24π$
组合几何体的总体积为两部分体积之和：
$V_{\mathrm{总}} = 80 + 24π$
答：这个组合几何体的表面积为$132+24π$，体积为$80+24π$。
解析
【分析】
首先结合立体图和给出的三视图，还原组合几何体的构成：该几何体由下方的长方体和上方的圆柱组合而成。第一步先从三视图中提取两个几何体的参数：长方体的长为8、宽为5、高为2；圆柱的底面直径为4、高为6。计算表面积时，需注意圆柱下底面与长方体上表面重合，这两部分面积均不属于外露表面积，因此总表面积为长方体的完整表面积加上圆柱的侧面积即可，无需额外计算圆柱的底面积。计算体积时，组合体体积为长方体体积与圆柱体积之和，分别计算后相加即可。
【解析】
由已知视图可知，该组合几何体由长8、宽5、高2的长方体，和底面直径为4、高为6的圆柱组成。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S_{\mathrm{长方体}}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入数据得：
$S_{\mathrm{长方体}}=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)=2×66=132$
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{圆柱侧}}=πdh$（$d$为底面直径，$h$为高），代入数据得：
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=π×4×6=24π$
由于圆柱与长方体重合的面积相互抵消，组合体总表面积为两者之和：
$S_{\mathrm{总}}=132+24π$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高$，代入数据得：
$V_{\mathrm{长方体}}=8×5×2=80$
圆柱体积公式为$V_{\mathrm{圆柱}}=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），$r=\frac{4}{2}=2$，代入数据得：
$V_{\mathrm{圆柱}}=π×2^2×6=24π$
组合体总体积为两者之和：
$V_{\mathrm{总}}=80+24π$
【答案】
表面积为$132+24π$，体积为$80+24π$
【知识点】
1. 三视图识别
2. 组合体表面积计算
3. 组合体体积计算
【点评】
本题考查根据三视图还原几何体并计算组合体的表面积与体积，解题的易错点是计算表面积时忽略圆柱与长方体的重合面，多计算圆柱的底面积，解题时需结合几何体的实际组合结构分析外露的面。
【难度系数】
0.7
首先结合立体图和给出的三视图，还原组合几何体的构成：该几何体由下方的长方体和上方的圆柱组合而成。第一步先从三视图中提取两个几何体的参数：长方体的长为8、宽为5、高为2；圆柱的底面直径为4、高为6。计算表面积时，需注意圆柱下底面与长方体上表面重合，这两部分面积均不属于外露表面积，因此总表面积为长方体的完整表面积加上圆柱的侧面积即可，无需额外计算圆柱的底面积。计算体积时，组合体体积为长方体体积与圆柱体积之和，分别计算后相加即可。
【解析】
由已知视图可知，该组合几何体由长8、宽5、高2的长方体，和底面直径为4、高为6的圆柱组成。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S_{\mathrm{长方体}}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入数据得：
$S_{\mathrm{长方体}}=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)=2×66=132$
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{圆柱侧}}=πdh$（$d$为底面直径，$h$为高），代入数据得：
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=π×4×6=24π$
由于圆柱与长方体重合的面积相互抵消，组合体总表面积为两者之和：
$S_{\mathrm{总}}=132+24π$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高$，代入数据得：
$V_{\mathrm{长方体}}=8×5×2=80$
圆柱体积公式为$V_{\mathrm{圆柱}}=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为高），$r=\frac{4}{2}=2$，代入数据得：
$V_{\mathrm{圆柱}}=π×2^2×6=24π$
组合体总体积为两者之和：
$V_{\mathrm{总}}=80+24π$
【答案】
表面积为$132+24π$，体积为$80+24π$
【知识点】
1. 三视图识别
2. 组合体表面积计算
3. 组合体体积计算
【点评】
本题考查根据三视图还原几何体并计算组合体的表面积与体积，解题的易错点是计算表面积时忽略圆柱与长方体的重合面，多计算圆柱的底面积，解题时需结合几何体的实际组合结构分析外露的面。
【难度系数】
0.7
19. (9分)一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球,每个小球除颜色外其他完全相同. 每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球,记下颜色后再放回箱子里,通过大量重复试验后,发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.
(1)请你估计箱子里白色小球的个数;
(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).
(1)请你估计箱子里白色小球的个数;
(2)现从该箱子里摸出1个小球,记下颜色后放回箱子里,摇匀后,再摸出1个小球,求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法).
答案
解：
(1) 设箱子里白色小球的个数为$x$个。
由大量重复试验后频率稳定于概率，可知摸到红球的概率约为$0.75$，列方程：
$\frac{3}{3+x}=0.75$
解得$x=1$，经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
估计箱子里白色小球的个数为1个。
(2) 将3个红球分别记为红₁、红₂、红₃，1个白球记为白，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | (红₁,红₁) | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,白) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | (红₂,红₂) | (红₂,红₃) | (红₂,白) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | (红₃,红₃) | (红₃,白) |
| 白 | (白,红₁) | (白,红₂) | (白,红₃) | (白,白) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出小球颜色恰好不同的结果共6种。
因此两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：
$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
(1) 设箱子里白色小球的个数为$x$个。
由大量重复试验后频率稳定于概率，可知摸到红球的概率约为$0.75$，列方程：
$\frac{3}{3+x}=0.75$
解得$x=1$，经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
估计箱子里白色小球的个数为1个。
(2) 将3个红球分别记为红₁、红₂、红₃，1个白球记为白，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | (红₁,红₁) | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,白) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | (红₂,红₂) | (红₂,红₃) | (红₂,白) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | (红₃,红₃) | (红₃,白) |
| 白 | (白,红₁) | (白,红₂) | (白,红₃) | (白,白) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出小球颜色恰好不同的结果共6种。
因此两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：
$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据大量重复试验中频率稳定于概率的规律，确定摸到红色小球的概率为0.75；接下来设白色小球个数为x，根据概率公式“某事件发生概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，以摸到红球的概率为等量关系列分式方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，即可得到白球个数。
(2) 解题思路：本题是放回型的两步概率计算问题，适合用列表法求解：先将所有小球做好标记，通过列表列出两次摸球的所有等可能结果，再从中筛选出两次摸出小球颜色恰好不同的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 设箱子里白色小球的个数为$x$个。
根据大量重复试验中频率稳定于概率的性质，可知摸到红球的概率约为$0.75$，结合概率公式列方程：
$\frac{3}{3+x}=0.75$
解得$x=1$，经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
即估计箱子里白色小球的个数为1个。
(2) 将3个红球分别记为红₁、红₂、红₃，1个白球记为白，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | (红₁,红₁) | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,白) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | (红₂,红₂) | (红₂,红₃) | (红₂,白) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | (红₃,红₃) | (红₃,白) |
| 白 | (白,红₁) | (白,红₂) | (白,红₃) | (白,白) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出小球颜色恰好不同的结果共6种。
因此两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：
$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
【答案】
(1) 1个；(2) $\frac{3}{8}$
【知识点】
频率估计概率；分式方程的应用；列表法求概率
【点评】
本题是概率与方程结合的基础综合题，既考查了对频率与概率关系的理解，也考查了分式方程的求解和两步概率的计算方法，解题时要注意分式方程需检验，列举所有等可能结果时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.75
(1) 解题思路：首先根据大量重复试验中频率稳定于概率的规律，确定摸到红色小球的概率为0.75；接下来设白色小球个数为x，根据概率公式“某事件发生概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，以摸到红球的概率为等量关系列分式方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义，即可得到白球个数。
(2) 解题思路：本题是放回型的两步概率计算问题，适合用列表法求解：先将所有小球做好标记，通过列表列出两次摸球的所有等可能结果，再从中筛选出两次摸出小球颜色恰好不同的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 设箱子里白色小球的个数为$x$个。
根据大量重复试验中频率稳定于概率的性质，可知摸到红球的概率约为$0.75$，结合概率公式列方程：
$\frac{3}{3+x}=0.75$
解得$x=1$，经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合题意。
即估计箱子里白色小球的个数为1个。
(2) 将3个红球分别记为红₁、红₂、红₃，1个白球记为白，列表如下：
| 第一次\第二次 | 红₁ | 红₂ | 红₃ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红₁ | (红₁,红₁) | (红₁,红₂) | (红₁,红₃) | (红₁,白) |
| 红₂ | (红₂,红₁) | (红₂,红₂) | (红₂,红₃) | (红₂,白) |
| 红₃ | (红₃,红₁) | (红₃,红₂) | (红₃,红₃) | (红₃,白) |
| 白 | (白,红₁) | (白,红₂) | (白,红₃) | (白,白) |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出小球颜色恰好不同的结果共6种。
因此两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为：
$P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
【答案】
(1) 1个；(2) $\frac{3}{8}$
【知识点】
频率估计概率；分式方程的应用；列表法求概率
【点评】
本题是概率与方程结合的基础综合题，既考查了对频率与概率关系的理解，也考查了分式方程的求解和两步概率的计算方法，解题时要注意分式方程需检验，列举所有等可能结果时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.75
