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12. 如图9所示,观察下面的几何体,从上面看到的是,从左面看到的是,从正面看到的是.
①
②
③
①
②
③
答案
解：从上面看到的是③，从左面看到的是②，从正面看到的是①。
解析
【分析】
解决本题首先要明确三视图的基本定义：从正面观察得到的图形为主视图，从左面观察得到的图形为左视图，从上面观察得到的图形为俯视图。接下来分别从三个指定方向观察几何体，确定每个方向看到的小正方形的数量、排列行数、列数以及位置，再和给出的三个图形逐一匹配即可。
【解析】
1. 从上面观察：看到的图形分为上下两行，上行有3个横向排列的小正方形，下行仅最左侧有1个小正方形，对应图形③；
2. 从左面观察：看到的图形分为左右两列，左列有2个上下排列的小正方形，右列仅下层有1个小正方形，对应图形②；
3. 从正面观察：看到的图形分为上下两层，下层有3个横向排列的小正方形，上层仅最左侧有1个小正方形，对应图形①。
【答案】
③；②；①
【知识点】
简单组合体的三视图，三视图识别
【点评】
本题是三视图相关的基础题型，主要考查空间想象能力，解题关键是准确判断不同观察方向下小正方形的位置和排列规律，熟练掌握三视图的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三视图的基本定义：从正面观察得到的图形为主视图，从左面观察得到的图形为左视图，从上面观察得到的图形为俯视图。接下来分别从三个指定方向观察几何体，确定每个方向看到的小正方形的数量、排列行数、列数以及位置，再和给出的三个图形逐一匹配即可。
【解析】
1. 从上面观察：看到的图形分为上下两行，上行有3个横向排列的小正方形，下行仅最左侧有1个小正方形，对应图形③；
2. 从左面观察：看到的图形分为左右两列，左列有2个上下排列的小正方形，右列仅下层有1个小正方形，对应图形②；
3. 从正面观察：看到的图形分为上下两层，下层有3个横向排列的小正方形，上层仅最左侧有1个小正方形，对应图形①。
【答案】
③；②；①
【知识点】
简单组合体的三视图，三视图识别
【点评】
本题是三视图相关的基础题型，主要考查空间想象能力，解题关键是准确判断不同观察方向下小正方形的位置和排列规律，熟练掌握三视图的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 如图10，$△ ABC$的顶点$B$和$C$的坐标分别是$(1,0)$和$(0,\sqrt{3})$，且$∠ ABC=90°$，$∠ A=30°$，则顶点$A$的坐标是。
答案
解：
已知点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
$\therefore OB=1$，$OC=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=2BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$\sin∠ OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ OBC=60°$。
又$\because ∠ ACB=90°-∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OBC=60°$，
$\therefore AC// x$轴。
因此点$A$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等，为$\sqrt{3}$，
结合$AC=4$，点$C$的横坐标为$0$，可得点$A$的横坐标为$0+4=4$。
则顶点$A$的坐标是$\boldsymbol{(4,\sqrt{3})}$。
已知点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
$\therefore OB=1$，$OC=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=2BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$\sin∠ OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ OBC=60°$。
又$\because ∠ ACB=90°-∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OBC=60°$，
$\therefore AC// x$轴。
因此点$A$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等，为$\sqrt{3}$，
结合$AC=4$，点$C$的横坐标为$0$，可得点$A$的横坐标为$0+4=4$。
则顶点$A$的坐标是$\boldsymbol{(4,\sqrt{3})}$。
解析
【分析】
解题时首先根据B、C两点的坐标计算线段BC的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长度；接着通过计算∠OBC和∠ACB的度数，判定AC与x轴平行，即可得到点A的纵坐标，结合AC的长度就能求出点A的横坐标，最终得到A点坐标。
【解析】
已知点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
$\therefore OB=1$，$OC=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=2BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$\sin∠ OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ OBC=60°$。
又$\because ∠ ACB=90°-∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OBC=60°$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AC// x$轴。
因此点$A$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等，为$\sqrt{3}$，
结合$AC=4$，点$C$的横坐标为$0$，可得点$A$的横坐标为$0+4=4$。
【答案】
$(4,\sqrt{3})$
【知识点】
勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形性质结合的基础综合题，解题的核心是通过角度关系判断出AC与x轴平行，将求点坐标的问题转化为求线段长度的问题，能很好地考察学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据B、C两点的坐标计算线段BC的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长度；接着通过计算∠OBC和∠ACB的度数，判定AC与x轴平行，即可得到点A的纵坐标，结合AC的长度就能求出点A的横坐标，最终得到A点坐标。
【解析】
已知点$B(1,0)$，点$C(0,\sqrt{3})$，
$\therefore OB=1$，$OC=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
$\because ∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=2BC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$\sin∠ OBC=\frac{OC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ OBC=60°$。
又$\because ∠ ACB=90°-∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ OBC=60°$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AC// x$轴。
因此点$A$的纵坐标与点$C$的纵坐标相等，为$\sqrt{3}$，
结合$AC=4$，点$C$的横坐标为$0$，可得点$A$的横坐标为$0+4=4$。
【答案】
$(4,\sqrt{3})$
【知识点】
勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形性质结合的基础综合题，解题的核心是通过角度关系判断出AC与x轴平行，将求点坐标的问题转化为求线段长度的问题，能很好地考察学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 我们给出定义:如果两个锐角的和为$45°$,那么称这两个角互为半余角.如图11,在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B$互为半余角,且$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,则$\tan A=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
解析
【分析】
首先理解“互为半余角”的新定义，可得$∠ A + ∠ B = 45°$；结合三角形外角的性质，$∠ ACB$的外角等于$∠ A+∠ B=45°$。我们通过作辅助线构造直角三角形：过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D，即可得到等腰直角$△ BCD$。设出等腰直角三角形的直角边长，结合已知的边的比值，表示出AC的长度，最后在$Rt△ ABD$中根据正切的定义即可求出$\tan A$的值。
【解析】
根据“半余角”的定义，得$∠ A + ∠ B = 45°$。
由三角形外角的性质，$∠ ACB$的外角$∠ BCD = ∠ A + ∠ B = 45°$。
过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D，可知$△ BCD$为等腰直角三角形，因此$BD=CD$。
设$BD=CD=x$，在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$
已知$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，将$BC=\sqrt{2}x$代入得：
$\frac{\sqrt{2}x}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
约分化简得$AC=\frac{3}{2}x$。
因此$AD=AC+CD=\frac{3}{2}x + x=\frac{5}{2}x$。
在$Rt△ ABD$中，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BD}{AD}=\frac{x}{\frac{5}{2}x}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
【知识点】
新定义理解，三角形外角性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合新定义考查几何与锐角三角函数的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造特殊直角三角形，将已知的边的比例关系转化为可计算的线段长度，既考查了学生对新定义的理解能力，也考查了辅助线构造和三角函数运算的能力。
【难度系数】
0.6
首先理解“互为半余角”的新定义，可得$∠ A + ∠ B = 45°$；结合三角形外角的性质，$∠ ACB$的外角等于$∠ A+∠ B=45°$。我们通过作辅助线构造直角三角形：过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D，即可得到等腰直角$△ BCD$。设出等腰直角三角形的直角边长，结合已知的边的比值，表示出AC的长度，最后在$Rt△ ABD$中根据正切的定义即可求出$\tan A$的值。
【解析】
根据“半余角”的定义，得$∠ A + ∠ B = 45°$。
由三角形外角的性质，$∠ ACB$的外角$∠ BCD = ∠ A + ∠ B = 45°$。
过点B作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D，可知$△ BCD$为等腰直角三角形，因此$BD=CD$。
设$BD=CD=x$，在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$
已知$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，将$BC=\sqrt{2}x$代入得：
$\frac{\sqrt{2}x}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
约分化简得$AC=\frac{3}{2}x$。
因此$AD=AC+CD=\frac{3}{2}x + x=\frac{5}{2}x$。
在$Rt△ ABD$中，根据正切的定义：
$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BD}{AD}=\frac{x}{\frac{5}{2}x}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
【知识点】
新定义理解，三角形外角性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合新定义考查几何与锐角三角函数的综合应用，解题的核心是通过作辅助线构造特殊直角三角形，将已知的边的比例关系转化为可计算的线段长度，既考查了学生对新定义的理解能力，也考查了辅助线构造和三角函数运算的能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图12,在$△ ABC$中,$AB=8$,$BC=10$,点$P$是$AB$边的中点,点$Q$是$BC$边上一动点,若$B$,$P$,$Q$三点组成的三角形与$△ BAC$相似,则$CQ$的长为________.
答案
解：
∵ 点P是AB边的中点，AB=8，
∴ $BP = \frac{1}{2}AB = 4$。
∵ ∠B是△BPQ和△BAC的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，
有 $\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$，
代入$BP=4$，$BA=8$，$BC=10$，得：
$\frac{4}{8} = \frac{BQ}{10}$，解得$BQ=5$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - 5 = 5$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，
有 $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}$，
代入$BP=4$，$BC=10$，$BA=8$，得：
$\frac{4}{10} = \frac{BQ}{8}$，解得$BQ=\frac{16}{5}$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - \frac{16}{5} = \frac{34}{5}$。
综上，CQ的长为$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$。
∵ 点P是AB边的中点，AB=8，
∴ $BP = \frac{1}{2}AB = 4$。
∵ ∠B是△BPQ和△BAC的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，
有 $\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$，
代入$BP=4$，$BA=8$，$BC=10$，得：
$\frac{4}{8} = \frac{BQ}{10}$，解得$BQ=5$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - 5 = 5$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，
有 $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}$，
代入$BP=4$，$BC=10$，$BA=8$，得：
$\frac{4}{10} = \frac{BQ}{8}$，解得$BQ=\frac{16}{5}$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - \frac{16}{5} = \frac{34}{5}$。
综上，CQ的长为$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$。
解析
【分析】
本题考查相似三角形的分类讨论求解，解题思路如下：首先根据中点定义求出BP的长度，由于△BPQ和△BAC有公共角∠B，因此两个三角形相似时存在两种不同的对应关系：①△BPQ∽△BAC，②△BPQ∽△BCA，针对两种情况分别根据相似三角形对应边成比例列等式求出BQ的长度，再用BC的长度减去BQ即可得到CQ的长度，解题时注意不要遗漏任何一种相似情况。
【解析】
解：
∵点P是AB边的中点，AB=8，
∴ $BP = \frac{1}{2}AB = 4$。
∵∠B是△BPQ和△BAC的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，
有 $\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$，
代入$BP=4$，$BA=8$，$BC=10$，得：
$\frac{4}{8} = \frac{BQ}{10}$，解得$BQ=5$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - 5 = 5$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，
有 $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}$，
代入$BP=4$，$BC=10$，$BA=8$，得：
$\frac{4}{10} = \frac{BQ}{8}$，解得$BQ=\frac{16}{5}$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - \frac{16}{5} = \frac{34}{5}$。
综上，CQ的长为5或$\frac{34}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想；线段中点定义
【点评】
本题是相似三角形的典型分类讨论题型，解题的关键是明确两个三角形有公共角时，对应边存在两种不同的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查相似三角形的分类讨论求解，解题思路如下：首先根据中点定义求出BP的长度，由于△BPQ和△BAC有公共角∠B，因此两个三角形相似时存在两种不同的对应关系：①△BPQ∽△BAC，②△BPQ∽△BCA，针对两种情况分别根据相似三角形对应边成比例列等式求出BQ的长度，再用BC的长度减去BQ即可得到CQ的长度，解题时注意不要遗漏任何一种相似情况。
【解析】
解：
∵点P是AB边的中点，AB=8，
∴ $BP = \frac{1}{2}AB = 4$。
∵∠B是△BPQ和△BAC的公共角，分两种相似情况讨论：
① 当$△ BPQ ∽ △ BAC$时，
有 $\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$，
代入$BP=4$，$BA=8$，$BC=10$，得：
$\frac{4}{8} = \frac{BQ}{10}$，解得$BQ=5$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - 5 = 5$；
② 当$△ BPQ ∽ △ BCA$时，
有 $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}$，
代入$BP=4$，$BC=10$，$BA=8$，得：
$\frac{4}{10} = \frac{BQ}{8}$，解得$BQ=\frac{16}{5}$，
∴ $CQ = BC - BQ = 10 - \frac{16}{5} = \frac{34}{5}$。
综上，CQ的长为5或$\frac{34}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{34}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想；线段中点定义
【点评】
本题是相似三角形的典型分类讨论题型，解题的关键是明确两个三角形有公共角时，对应边存在两种不同的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (10分)如图13,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)若$a:c=2:3$,求$\sin A$和$\sin B$的值.
(2)若$\sin A=\frac{4}{5}$,$BC=6$,求$△ ABC$的周长.
16. (10分)如图13,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)若$a:c=2:3$,求$\sin A$和$\sin B$的值.
(2)若$\sin A=\frac{4}{5}$,$BC=6$,求$△ ABC$的周长.
答案
解：
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$a:c=2:3$
设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=6$
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=\frac{15}{2}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-6^2}=\frac{9}{2}$
$\therefore △ ABC$的周长为$6+\frac{15}{2}+\frac{9}{2}=18$
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$a:c=2:3$
设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=6$
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=\frac{15}{2}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-6^2}=\frac{9}{2}$
$\therefore △ ABC$的周长为$6+\frac{15}{2}+\frac{9}{2}=18$
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 求锐角的正弦值，首先明确直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知a与c的比例，可通过设参数的方式表示a和c的长度，再利用勾股定理求出第三边b的长度，最后代入正弦定义计算即可。
(2) 求三角形周长，需要先求出三边的长度。首先根据sinA的定义结合已知BC的长度求出斜边AB的长，再用勾股定理求出直角边AC的长度，最后将三边相加得到周长。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$a:c=2:3$
设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=6$
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=\frac{15}{2}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-6^2}=\frac{9}{2}$
$\therefore △ ABC$的周长为$6+\frac{15}{2}+\frac{9}{2}=18$
【答案】
(1) $\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$；(2) $△ ABC$的周长为$18$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形周长计算
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形结合的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和勾股定理的应用，解题时注意参数法的合理使用，计算过程中要注意分数、根式运算的准确性。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，解题思路如下：
(1) 求锐角的正弦值，首先明确直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。已知a与c的比例，可通过设参数的方式表示a和c的长度，再利用勾股定理求出第三边b的长度，最后代入正弦定义计算即可。
(2) 求三角形周长，需要先求出三边的长度。首先根据sinA的定义结合已知BC的长度求出斜边AB的长，再用勾股定理求出直角边AC的长度，最后将三边相加得到周长。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$a:c=2:3$
设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$），
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{5}k$
$\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $\because \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=6$
$\therefore \frac{6}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=\frac{15}{2}$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-6^2}=\frac{9}{2}$
$\therefore △ ABC$的周长为$6+\frac{15}{2}+\frac{9}{2}=18$
【答案】
(1) $\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$；(2) $△ ABC$的周长为$18$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，直角三角形周长计算
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形结合的基础题型，重点考查对正弦定义的理解和勾股定理的应用，解题时注意参数法的合理使用，计算过程中要注意分数、根式运算的准确性。
【难度系数】
0.8
