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7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（）
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要计算两人恰好选同一个主题的概率，属于两步随机事件的概率计算问题，可按以下思路推导：首先明确每人都有3种主题可选，我们可以通过列举法（列表或树状图）找出所有等可能的选择结果，再统计出两人选择同一主题的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们把“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C。
第一步，列举所有等可能的选择结果：
小明有3种选择：A、B、C，对应小明的每一种选择，小亮也有A、B、C3种选择，因此总共有3×3=9种等可能的结果，分别是：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
第二步，统计符合“恰好选择同一个主题”的结果：共有(A,A)、(B,B)、(C,C)3种。
第三步，计算概率：$P(两人选同一主题)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查两步试验的概率求解，熟练掌握用列表或树状图梳理所有等可能结果的方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要计算两人恰好选同一个主题的概率，属于两步随机事件的概率计算问题，可按以下思路推导：首先明确每人都有3种主题可选，我们可以通过列举法（列表或树状图）找出所有等可能的选择结果，再统计出两人选择同一主题的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们把“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C。
第一步，列举所有等可能的选择结果：
小明有3种选择：A、B、C，对应小明的每一种选择，小亮也有A、B、C3种选择，因此总共有3×3=9种等可能的结果，分别是：(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
第二步，统计符合“恰好选择同一个主题”的结果：共有(A,A)、(B,B)、(C,C)3种。
第三步，计算概率：$P(两人选同一主题)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查两步试验的概率求解，熟练掌握用列表或树状图梳理所有等可能结果的方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
8. 如图6,在平面直角坐标系中,点光源位于点P(2,2)处,木杆AB//x轴,点A的坐标为(0,1),木杆AB在x轴上的投影长度为6,则点B的坐标为 ()
A.(2,1)
B.(3,1)
C.(4,1)
D.(5,1)
A.(2,1)
B.(3,1)
C.(4,1)
D.(5,1)
答案
B
解析
【分析】
首先由AB平行于x轴，结合A点坐标可知B点纵坐标为1，因此只需计算B点横坐标即可。本题属于中心投影类问题，点光源P发出的光线经过A、B两点后，与x轴的两个交点之间的线段长度就是AB的投影长度6。我们可以利用相似三角形的性质，先求出光线PA与x轴的交点坐标，再结合投影长度求出光线PB与x轴的交点坐标，最后再次利用相似三角形求出B点的横坐标。
【解析】
解：
∵AB//x轴，点A坐标为(0,1)，
∴点B的纵坐标为1，设点B的坐标为$(b,1)$。
过点P作$PH ⊥ x$轴于点H，可知$H(2,0)$，$PH=2$。
1. 求光线PA与x轴的交点C的坐标：
过A作$AE ⊥ PH$于点E，则$AE=2-0=2$，$PE=2-1=1$。
∵$AE // x$轴，
∴$△ PAE ∽ △ PCH$，
∴$\frac{PE}{PH}=\frac{AE}{CH}$，代入得$\frac{1}{2}=\frac{2}{CH}$，解得$CH=4$。
∴点C的横坐标为$2-4=-2$，即$C(-2,0)$。
2. 求光线PB与x轴的交点F的坐标：
已知投影长度$CF=6$，
∴点F的横坐标为$-2+6=4$，即$F(4,0)$，可得$FH=4-2=2$。
过B作$BG ⊥ PH$于点G，则$PG=2-1=1$，$BG=|b-2|$。
∵$BG // x$轴，
∴$△ PBG ∽ △ PFH$，
∴$\frac{PG}{PH}=\frac{BG}{FH}$，代入得$\frac{1}{2}=\frac{|b-2|}{2}$，解得$|b-2|=1$。
由题意可知B在A右侧，故$b＞0$，$b-2=1$，得$b=3$。
∴点B的坐标为$(3,1)$。
【答案】
B
【知识点】
中心投影的性质，相似三角形的应用，平面直角坐标系
【点评】
本题将中心投影与相似三角形结合考查，解题的关键是明确投影长度的几何意义，利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可。
【难度系数】
0.6
首先由AB平行于x轴，结合A点坐标可知B点纵坐标为1，因此只需计算B点横坐标即可。本题属于中心投影类问题，点光源P发出的光线经过A、B两点后，与x轴的两个交点之间的线段长度就是AB的投影长度6。我们可以利用相似三角形的性质，先求出光线PA与x轴的交点坐标，再结合投影长度求出光线PB与x轴的交点坐标，最后再次利用相似三角形求出B点的横坐标。
【解析】
解：
∵AB//x轴，点A坐标为(0,1)，
∴点B的纵坐标为1，设点B的坐标为$(b,1)$。
过点P作$PH ⊥ x$轴于点H，可知$H(2,0)$，$PH=2$。
1. 求光线PA与x轴的交点C的坐标：
过A作$AE ⊥ PH$于点E，则$AE=2-0=2$，$PE=2-1=1$。
∵$AE // x$轴，
∴$△ PAE ∽ △ PCH$，
∴$\frac{PE}{PH}=\frac{AE}{CH}$，代入得$\frac{1}{2}=\frac{2}{CH}$，解得$CH=4$。
∴点C的横坐标为$2-4=-2$，即$C(-2,0)$。
2. 求光线PB与x轴的交点F的坐标：
已知投影长度$CF=6$，
∴点F的横坐标为$-2+6=4$，即$F(4,0)$，可得$FH=4-2=2$。
过B作$BG ⊥ PH$于点G，则$PG=2-1=1$，$BG=|b-2|$。
∵$BG // x$轴，
∴$△ PBG ∽ △ PFH$，
∴$\frac{PG}{PH}=\frac{BG}{FH}$，代入得$\frac{1}{2}=\frac{|b-2|}{2}$，解得$|b-2|=1$。
由题意可知B在A右侧，故$b＞0$，$b-2=1$，得$b=3$。
∴点B的坐标为$(3,1)$。
【答案】
B
【知识点】
中心投影的性质，相似三角形的应用，平面直角坐标系
【点评】
本题将中心投影与相似三角形结合考查，解题的关键是明确投影长度的几何意义，利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质列式计算即可。
【难度系数】
0.6
9. 如图7,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别为BC,CD的中点,BF,DE相交于点G,过点E作EH//CD,交BF于点H,则线段GH的长度是 ()
A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
A
解析
【分析】
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，可按以下思路推导：第一步先利用矩形边长和勾股定理求出线段BF的总长度；第二步结合EH//CD、E是BC中点的条件，判定EH为△BCF的中位线，得到H是BF中点，同时求出EH的长度；第三步由EH//CD推出△EHG与△FDG相似，得到对应边的比例关系，结合HF的长度即可求出GH的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=CD=6，BC=AD=4，∠C=90°。
∵点F是CD中点，
∴$CF=DF=\frac{CD}{2}=3$。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵EH//CD，E是BC中点，
∴EH是△BCF的中位线，
∴H是BF的中点，$EH=\frac{CF}{2}=\frac{3}{2}$，$BH=HF=\frac{BF}{2}=\frac{5}{2}$。
∵EH//CD，
∴∠HEG=∠FDG，∠EHG=∠DFG，
∴△EHG∽△FDG，
∴$\frac{HG}{DG}=\frac{EH}{DF}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，即$DG=2HG$。
又
∵$HG+DG=HF=\frac{5}{2}$，
∴$HG+2HG=\frac{5}{2}$，
解得$HG=\frac{5}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、三角形中位线、相似三角形的相关知识，解题的关键是合理利用平行线构造相似三角形，再结合线段比例关系求解，属于几何综合的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题是矩形背景下的线段长度求解问题，可按以下思路推导：第一步先利用矩形边长和勾股定理求出线段BF的总长度；第二步结合EH//CD、E是BC中点的条件，判定EH为△BCF的中位线，得到H是BF中点，同时求出EH的长度；第三步由EH//CD推出△EHG与△FDG相似，得到对应边的比例关系，结合HF的长度即可求出GH的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=CD=6，BC=AD=4，∠C=90°。
∵点F是CD中点，
∴$CF=DF=\frac{CD}{2}=3$。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：$BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵EH//CD，E是BC中点，
∴EH是△BCF的中位线，
∴H是BF的中点，$EH=\frac{CF}{2}=\frac{3}{2}$，$BH=HF=\frac{BF}{2}=\frac{5}{2}$。
∵EH//CD，
∴∠HEG=∠FDG，∠EHG=∠DFG，
∴△EHG∽△FDG，
∴$\frac{HG}{DG}=\frac{EH}{DF}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，即$DG=2HG$。
又
∵$HG+DG=HF=\frac{5}{2}$，
∴$HG+2HG=\frac{5}{2}$，
解得$HG=\frac{5}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形、三角形中位线、相似三角形的相关知识，解题的关键是合理利用平行线构造相似三角形，再结合线段比例关系求解，属于几何综合的基础题型。
【难度系数】
0.6
10. 如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CE是斜边AB上的中线,过点E作$EF⊥ AB$交AC于点F.若$BC=4$,$△ AEF$的面积为5,则$\sin∠ CEF$的值为（）
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①直角三角形斜边中线CE，可得CE=AE=BE，得到角的等量关系；②EF⊥AB与∠ACB=90°结合，可证△AEF∽△ACB，结合△AEF的面积和BC的长度，利用相似性质和勾股定理求出△ABC的各边长；③要求sin∠CEF，可通过作AB边上的高CD，利用平行线的性质将∠CEF转化为∠ECD，再通过线段长度计算正弦值即可。
【解析】
1. 由Rt△ABC中∠ACB=90°，CE是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线性质得：$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$，故$∠ A=∠ ACE$。
2. 因为$EF⊥ AB$，所以$∠ AEF=∠ ACB=90°$，又$∠ A$为公共角，故$△ AEF ∽ △ ACB$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$。
3. 设$AE=x$，则$AB=2x$。已知$S_{△ AEF}=5$，由直角三角形面积公式得：$\frac{1}{2}· AE· EF=5$，即$x· EF=10$，整理得$EF=\frac{10}{x}$。
4. 将$EF=\frac{10}{x}$、$BC=4$代入相似比$\frac{x}{AC}=\frac{\frac{10}{x}}{4}$，解得$AC=\frac{2x^2}{5}$。
5. 在Rt△ABC中，由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AC=\frac{2x^2}{5}$、$BC=4$、$AB=2x$得：
$(\frac{2x^2}{5})^2 + 4^2 = (2x)^2$
整理得$x^4-25x^2+100=0$，令$y=x^2$，解得$y=20$或$y=5$。
6. 过点C作$CD⊥ AB$于点D，因为$EF⊥ AB$、$CD⊥ AB$，所以$EF// CD$，故$∠ CEF=∠ ECD$，即$\sin∠ CEF=\sin∠ ECD=\frac{ED}{CE}$。
7. 分两种情况计算：
当$x^2=20$时，$x=2\sqrt{5}$，$AB=4\sqrt{5}$，$AC=\frac{2×20}{5}=8$。由面积法得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×4}{4\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，由射影定理得$AD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{64}{4\sqrt{5}}=\frac{16}{\sqrt{5}}$。$AE=2\sqrt{5}=\frac{10}{\sqrt{5}}$，故$ED=AD-AE=\frac{6}{\sqrt{5}}$，$CE=AE=2\sqrt{5}=\frac{10}{\sqrt{5}}$，因此$\sin∠ CEF=\frac{ED}{CE}=\frac{3}{5}$。
当$x^2=5$时，$x=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\frac{2×5}{5}=2$。同理得$CD=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$AD=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$ED=AE-AD=\sqrt{5}-\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，$CE=\sqrt{5}$，因此$\sin∠ CEF=\frac{ED}{CE}=\frac{3}{5}$。
综上，$\sin∠ CEF$的值为$\frac{3}{5}$。
【答案】A
【知识点】
直角三角形性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查了直角三角形的相关性质、相似三角形的应用及锐角三角函数的计算，解题的关键是通过相似关系求出边长，再利用等角转化将所求角转化为直角三角形的内角进行计算，对综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①直角三角形斜边中线CE，可得CE=AE=BE，得到角的等量关系；②EF⊥AB与∠ACB=90°结合，可证△AEF∽△ACB，结合△AEF的面积和BC的长度，利用相似性质和勾股定理求出△ABC的各边长；③要求sin∠CEF，可通过作AB边上的高CD，利用平行线的性质将∠CEF转化为∠ECD，再通过线段长度计算正弦值即可。
【解析】
1. 由Rt△ABC中∠ACB=90°，CE是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线性质得：$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$，故$∠ A=∠ ACE$。
2. 因为$EF⊥ AB$，所以$∠ AEF=∠ ACB=90°$，又$∠ A$为公共角，故$△ AEF ∽ △ ACB$，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$。
3. 设$AE=x$，则$AB=2x$。已知$S_{△ AEF}=5$，由直角三角形面积公式得：$\frac{1}{2}· AE· EF=5$，即$x· EF=10$，整理得$EF=\frac{10}{x}$。
4. 将$EF=\frac{10}{x}$、$BC=4$代入相似比$\frac{x}{AC}=\frac{\frac{10}{x}}{4}$，解得$AC=\frac{2x^2}{5}$。
5. 在Rt△ABC中，由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AC=\frac{2x^2}{5}$、$BC=4$、$AB=2x$得：
$(\frac{2x^2}{5})^2 + 4^2 = (2x)^2$
整理得$x^4-25x^2+100=0$，令$y=x^2$，解得$y=20$或$y=5$。
6. 过点C作$CD⊥ AB$于点D，因为$EF⊥ AB$、$CD⊥ AB$，所以$EF// CD$，故$∠ CEF=∠ ECD$，即$\sin∠ CEF=\sin∠ ECD=\frac{ED}{CE}$。
7. 分两种情况计算：
当$x^2=20$时，$x=2\sqrt{5}$，$AB=4\sqrt{5}$，$AC=\frac{2×20}{5}=8$。由面积法得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×4}{4\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，由射影定理得$AD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{64}{4\sqrt{5}}=\frac{16}{\sqrt{5}}$。$AE=2\sqrt{5}=\frac{10}{\sqrt{5}}$，故$ED=AD-AE=\frac{6}{\sqrt{5}}$，$CE=AE=2\sqrt{5}=\frac{10}{\sqrt{5}}$，因此$\sin∠ CEF=\frac{ED}{CE}=\frac{3}{5}$。
当$x^2=5$时，$x=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\frac{2×5}{5}=2$。同理得$CD=\frac{2×4}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$AD=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$ED=AE-AD=\sqrt{5}-\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，$CE=\sqrt{5}$，因此$\sin∠ CEF=\frac{ED}{CE}=\frac{3}{5}$。
综上，$\sin∠ CEF$的值为$\frac{3}{5}$。
【答案】A
【知识点】
直角三角形性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题综合考查了直角三角形的相关性质、相似三角形的应用及锐角三角函数的计算，解题的关键是通过相似关系求出边长，再利用等角转化将所求角转化为直角三角形的内角进行计算，对综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.一个不透明的盒子里有$n$个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,估计盒子中小球的个数$n=$.
11.一个不透明的盒子里有$n$个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,估计盒子中小球的个数$n=$.
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个数值附近时，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值，因此可得摸到黄球的概率为30%；再根据简单事件的概率计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比，代入黄球个数和黄球概率，即可列方程求出总球数n。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到黄球的频率稳定在30%，
∴估计摸到黄球的概率为30% = 0.3。
根据概率公式可得：$\frac{9}{n}=0.3$
解得：$n=9÷0.3=30$
经检验，$n=30$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
频率与概率的关系；概率公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”这一结论，结合概率公式列算式或方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题考查利用频率估计概率的应用，解题思路如下：首先明确大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个数值附近时，这个数值就可以作为该事件发生概率的估计值，因此可得摸到黄球的概率为30%；再根据简单事件的概率计算公式：概率=所求情况数与总情况数之比，代入黄球个数和黄球概率，即可列方程求出总球数n。
【解析】
解：
∵大量重复摸球试验后，摸到黄球的频率稳定在30%，
∴估计摸到黄球的概率为30% = 0.3。
根据概率公式可得：$\frac{9}{n}=0.3$
解得：$n=9÷0.3=30$
经检验，$n=30$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
频率与概率的关系；概率公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”这一结论，结合概率公式列算式或方程求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
