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20. (9分)如图16,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度$DE=3.5\ \mathrm{m}$,点F到地面的高度$CF=1.5\ \mathrm{m}$,灯泡到木板的水平距离$AC=5.4\ \mathrm{m}$,墙到木板的水平距离为$CD=4\ \mathrm{m}$.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角,图中点A,B,C,D在同一水平面上.
(1)求BC的长;
(2)求灯泡到地面的高度AG.
(1)求BC的长;
(2)求灯泡到地面的高度AG.
答案
解：
(1) 由题意得：$DE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，已知$CD=4\ \mathrm{m}$，则$BD=BC+CD=(x+4)\ \mathrm{m}$，代入$DE=3.5\ \mathrm{m}$，$CF=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{3.5}=\frac{x}{x+4}$
解得$x=3$，
经检验，$x=3$是原分式方程的解且符合实际意义，
$\therefore BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
(2) 由光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ AGB=∠ CFB$，
又$\because AG⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ AGB ∽ △ CFB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
$\because AC=5.4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.4-3=2.4\ \mathrm{m}$，
代入得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
答：(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{m}$；(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$。
(1) 由题意得：$DE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，已知$CD=4\ \mathrm{m}$，则$BD=BC+CD=(x+4)\ \mathrm{m}$，代入$DE=3.5\ \mathrm{m}$，$CF=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{3.5}=\frac{x}{x+4}$
解得$x=3$，
经检验，$x=3$是原分式方程的解且符合实际意义，
$\therefore BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
(2) 由光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ AGB=∠ CFB$，
又$\because AG⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ AGB ∽ △ CFB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
$\because AC=5.4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.4-3=2.4\ \mathrm{m}$，
代入得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
答：(1) $BC$的长为$3\ \mathrm{m}$；(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 首先观察到DE、CF均垂直于地面AD，可推出DE与CF平行，进而得到△BCF和△BDE相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，设BC的长度为未知数，代入已知边长列分式方程求解，注意分式方程需要检验是否符合实际意义。
(2) 根据光的反射定律中入射角等于反射角，可得∠ABG=∠CBF，再结合AG、CF均垂直于AD，可证明△AGB与△CFB相似，先计算出AB的长度，再利用相似三角形对应边成比例列等式，即可求出AG的高度。
【解析】
(1) 由题意得：$DE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，已知$CD=4\ \mathrm{m}$，则$BD=BC+CD=(x+4)\ \mathrm{m}$，代入$DE=3.5\ \mathrm{m}$，$CF=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{3.5}=\frac{x}{x+4}$
解得$x=3$，
经检验，$x=3$是原分式方程的解且符合实际意义，
$\therefore BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
(2) 由光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ ABG=∠ CBF$，
又$\because AG⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ AGB ∽ △ CFB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
$\because AC=5.4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.4-3=2.4\ \mathrm{m}$，
代入得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$\boldsymbol{1.2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，分式方程的应用，光的反射定律
【点评】
本题结合生活中的光学实验场景，考查了相似三角形的实际应用，解题的核心是从实际问题中抽象出几何模型，找准相似三角形的对应边列比例式计算，同时要注意分式方程求解后需要检验是否符合实际意义，是一道兼顾基础应用和跨学科知识结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察到DE、CF均垂直于地面AD，可推出DE与CF平行，进而得到△BCF和△BDE相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，设BC的长度为未知数，代入已知边长列分式方程求解，注意分式方程需要检验是否符合实际意义。
(2) 根据光的反射定律中入射角等于反射角，可得∠ABG=∠CBF，再结合AG、CF均垂直于AD，可证明△AGB与△CFB相似，先计算出AB的长度，再利用相似三角形对应边成比例列等式，即可求出AG的高度。
【解析】
(1) 由题意得：$DE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore DE// CF$，
$\therefore △ BCF ∽ △ BDE$，
$\therefore \frac{CF}{DE}=\frac{BC}{BD}$。
设$BC=x\ \mathrm{m}$，已知$CD=4\ \mathrm{m}$，则$BD=BC+CD=(x+4)\ \mathrm{m}$，代入$DE=3.5\ \mathrm{m}$，$CF=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1.5}{3.5}=\frac{x}{x+4}$
解得$x=3$，
经检验，$x=3$是原分式方程的解且符合实际意义，
$\therefore BC$的长为$3\ \mathrm{m}$。
(2) 由光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ ABG=∠ CBF$，
又$\because AG⊥ AD$，$CF⊥ AD$，$\therefore ∠ GAB=∠ FCB=90°$，
$\therefore △ AGB ∽ △ CFB$，
$\therefore \frac{AG}{CF}=\frac{AB}{BC}$。
$\because AC=5.4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AC-BC=5.4-3=2.4\ \mathrm{m}$，
代入得：
$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$
解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$\boldsymbol{1.2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，分式方程的应用，光的反射定律
【点评】
本题结合生活中的光学实验场景，考查了相似三角形的实际应用，解题的核心是从实际问题中抽象出几何模型，找准相似三角形的对应边列比例式计算，同时要注意分式方程求解后需要检验是否符合实际意义，是一道兼顾基础应用和跨学科知识结合的典型习题。
【难度系数】
0.7
21.(9分)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.如图17所示,某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°;沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.(结果精确到1 m.参考数据:$\sin70°\approx0.94,\cos70°\approx0.34,\tan70°\approx2.75,\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
解：
过点O作OM⊥AC，垂足为M，过点E作EN⊥OF，交OF的延长线于点N。
由题意得：$OM=60\ \mathrm{m}$，$OF=24\ \mathrm{m}$，观测点A的俯角为$70°$，故$∠ OAM=70°$，观测点E的俯角分别为$∠ EON=30°$，$∠ EFN=60°$。
在$△ OEF$中：
$∠ OEF = ∠ EFN - ∠ EON = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ EON = ∠ OEF$，
$\therefore OF = EF = 24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFN$中，$∠ ENF=90°$：
$FN = EF·\cos60° = 24 × \frac{1}{2} = 12\ \mathrm{m}$，
$EN = EF·\sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore ON = OF + FN = 24 + 12 = 36\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$∠ AMO=90°$：
$\tan70° = \frac{OM}{AM}$，
$\therefore AM = \frac{OM}{\tan70°} \approx \frac{60}{2.75} \approx 21.82\ \mathrm{m}$。
$\because OM⊥ AC$，$OF// AC$，$\therefore OM⊥ OF$，
又$\because EN⊥ OF$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$OMCN$是矩形，
$\therefore MC = ON = 36\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AM + MC \approx 21.82 + 36 \approx 58\ \mathrm{m}$。
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m。
过点O作OM⊥AC，垂足为M，过点E作EN⊥OF，交OF的延长线于点N。
由题意得：$OM=60\ \mathrm{m}$，$OF=24\ \mathrm{m}$，观测点A的俯角为$70°$，故$∠ OAM=70°$，观测点E的俯角分别为$∠ EON=30°$，$∠ EFN=60°$。
在$△ OEF$中：
$∠ OEF = ∠ EFN - ∠ EON = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ EON = ∠ OEF$，
$\therefore OF = EF = 24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFN$中，$∠ ENF=90°$：
$FN = EF·\cos60° = 24 × \frac{1}{2} = 12\ \mathrm{m}$，
$EN = EF·\sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore ON = OF + FN = 24 + 12 = 36\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$∠ AMO=90°$：
$\tan70° = \frac{OM}{AM}$，
$\therefore AM = \frac{OM}{\tan70°} \approx \frac{60}{2.75} \approx 21.82\ \mathrm{m}$。
$\because OM⊥ AC$，$OF// AC$，$\therefore OM⊥ OF$，
又$\because EN⊥ OF$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$OMCN$是矩形，
$\therefore MC = ON = 36\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AM + MC \approx 21.82 + 36 \approx 58\ \mathrm{m}$。
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m。
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是将俯角条件转化为直角三角形的内角，通过辅助线分割待求线段分步计算：
1. 辅助线构造：过点O作OM⊥AC于M，过点E作EN⊥OF的延长线于N，这样就把待求的AC拆分为AM和MC两段，同时将俯角转化为直角三角形的内角，便于使用三角函数计算。
2. 计算右侧MC长度：观察对E点的两个俯角，∠EFN是△OEF的外角，可得∠OEF=60°-30°=30°，即∠OEF=∠EON，因此△OEF为等腰三角形，EF=OF=24m；接下来在Rt△EFN中用三角函数求出FN的长度，即可得到ON的总长度；再根据OM、OF、EN、AC的垂直平行关系，可证四边形OMCN是矩形，因此MC=ON。
3. 计算左侧AM长度：在Rt△AOM中，已知OM=60m，∠OAM等于俯角70°，利用正切三角函数即可求出AM的长度。
4. 最终AC=AM+MC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点O作OM⊥AC，垂足为M，过点E作EN⊥OF，交OF的延长线于点N。
由题意得：$OM=60\ \mathrm{m}$，$OF=24\ \mathrm{m}$，观测点A的俯角为$70°$，故$∠ OAM=70°$，观测点E的俯角分别为$∠ EON=30°$，$∠ EFN=60°$。
在$△ OEF$中：
$∠ OEF = ∠ EFN - ∠ EON = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ EON = ∠ OEF$，
$\therefore OF = EF = 24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFN$中，$∠ ENF=90°$：
$FN = EF·\cos60° = 24 × \frac{1}{2} = 12\ \mathrm{m}$，
$EN = EF·\sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore ON = OF + FN = 24 + 12 = 36\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$∠ AMO=90°$：
$\tan70° = \frac{OM}{AM}$，
$\therefore AM = \frac{OM}{\tan70°} \approx \frac{60}{2.75} \approx 21.82\ \mathrm{m}$。
$\because OM⊥ AC$，$OF// AC$，$\therefore OM⊥ OF$，
又$\because EN⊥ OF$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$OMCN$是矩形，
$\therefore MC = ON = 36\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AM + MC \approx 21.82 + 36 \approx 58\ \mathrm{m}$。
【答案】
楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m。
【知识点】
解直角三角形的俯角应用、等腰三角形的判定、矩形的性质
【点评】
本题结合无人机测量的生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题中的角度、长度条件转化为几何图形中的边角关系，同时灵活运用等腰三角形、矩形的性质简化计算，能够很好地考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是将俯角条件转化为直角三角形的内角，通过辅助线分割待求线段分步计算：
1. 辅助线构造：过点O作OM⊥AC于M，过点E作EN⊥OF的延长线于N，这样就把待求的AC拆分为AM和MC两段，同时将俯角转化为直角三角形的内角，便于使用三角函数计算。
2. 计算右侧MC长度：观察对E点的两个俯角，∠EFN是△OEF的外角，可得∠OEF=60°-30°=30°，即∠OEF=∠EON，因此△OEF为等腰三角形，EF=OF=24m；接下来在Rt△EFN中用三角函数求出FN的长度，即可得到ON的总长度；再根据OM、OF、EN、AC的垂直平行关系，可证四边形OMCN是矩形，因此MC=ON。
3. 计算左侧AM长度：在Rt△AOM中，已知OM=60m，∠OAM等于俯角70°，利用正切三角函数即可求出AM的长度。
4. 最终AC=AM+MC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
过点O作OM⊥AC，垂足为M，过点E作EN⊥OF，交OF的延长线于点N。
由题意得：$OM=60\ \mathrm{m}$，$OF=24\ \mathrm{m}$，观测点A的俯角为$70°$，故$∠ OAM=70°$，观测点E的俯角分别为$∠ EON=30°$，$∠ EFN=60°$。
在$△ OEF$中：
$∠ OEF = ∠ EFN - ∠ EON = 60° - 30° = 30°$，
$\therefore ∠ EON = ∠ OEF$，
$\therefore OF = EF = 24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFN$中，$∠ ENF=90°$：
$FN = EF·\cos60° = 24 × \frac{1}{2} = 12\ \mathrm{m}$，
$EN = EF·\sin60° = 24 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore ON = OF + FN = 24 + 12 = 36\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$∠ AMO=90°$：
$\tan70° = \frac{OM}{AM}$，
$\therefore AM = \frac{OM}{\tan70°} \approx \frac{60}{2.75} \approx 21.82\ \mathrm{m}$。
$\because OM⊥ AC$，$OF// AC$，$\therefore OM⊥ OF$，
又$\because EN⊥ OF$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$OMCN$是矩形，
$\therefore MC = ON = 36\ \mathrm{m}$。
$\therefore AC = AM + MC \approx 21.82 + 36 \approx 58\ \mathrm{m}$。
【答案】
楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m。
【知识点】
解直角三角形的俯角应用、等腰三角形的判定、矩形的性质
【点评】
本题结合无人机测量的生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题中的角度、长度条件转化为几何图形中的边角关系，同时灵活运用等腰三角形、矩形的性质简化计算，能够很好地考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
