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22. (10分)有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6 kg,6 kg,7 kg,7 kg,8 kg. 现将这五个纸箱随机摆放.
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6 kg的概率是;
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15 kg的概率.
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6 kg的概率是;
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15 kg的概率.
答案
解：
(1) 总共有5个纸箱，其中西瓜重量为6 kg的纸箱有2个，
所以所选纸箱里西瓜的重量为6 kg的概率是 $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$。
(2) 将5个纸箱内西瓜的重量分别标记为$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$，画树状图：
第一次抽取的结果共5种：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$6_1$延伸的第二次抽取结果：$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$6_2$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$7_1$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_2$，$8$
从$7_2$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$8$
从$8$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜重量之和为15 kg的结果有4种：$(7_1,8)$，$(7_2,8)$，$(8,7_1)$，$(8,7_2)$。
所以所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15 kg的概率为 $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
(1) 总共有5个纸箱，其中西瓜重量为6 kg的纸箱有2个，
所以所选纸箱里西瓜的重量为6 kg的概率是 $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$。
(2) 将5个纸箱内西瓜的重量分别标记为$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$，画树状图：
第一次抽取的结果共5种：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$6_1$延伸的第二次抽取结果：$6_2$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$6_2$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$7_1$，$7_2$，$8$
从$7_1$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_2$，$8$
从$7_2$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$8$
从$8$延伸的第二次抽取结果：$6_1$，$6_2$，$7_1$，$7_2$
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜重量之和为15 kg的结果有4种：$(7_1,8)$，$(7_2,8)$，$(8,7_1)$，$(8,7_2)$。
所以所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15 kg的概率为 $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
（1）本问考查简单概率计算，解题思路为：先确定总等可能结果数，从5个纸箱中随机选1个，总共有5种等可能结果；再确定符合“重量为6kg”的结果数，重量为6kg的纸箱共2个，对应2种符合条件的结果；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
（2）本问考查不放回抽样的概率计算，解题思路为：首先对重量相同的西瓜做不同标记，避免列举时出现重复或遗漏；再通过画树状图的方法列举出所有等可能的抽取结果；接着筛选出两个西瓜重量之和为15kg的结果；最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）从5个纸箱中随机选1个，共有5种等可能的结果，其中所选纸箱内西瓜重量为6kg的结果有2种，
因此所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率为$2÷5=\frac{2}{5}$。
（2）先将5个西瓜按重量标记为：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$，本次抽取为不放回抽取，画树状图如下：
第一次抽取共有5种可能：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$
若第一次抽中$6_1$，第二次可抽：$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$6_2$，第二次可抽：$6_1$、$7_1$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$7_1$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$7_2$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$8$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$，共4种结果
由树状图可知，总共有$5×4=20$种等可能的结果。其中两个西瓜重量之和为15kg的情况为7kg和8kg的组合，对应结果有：$(7_1,8)$、$(7_2,8)$、$(8,7_1)$、$(8,7_2)$，共4种。
因此所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为$4÷20=\frac{1}{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础常规考题，第一问直接套用概率公式即可快速求解，第二问的解题核心是对相同重量的样本进行标记，再通过树状图不重不漏地列举所有等可能结果，掌握列举法求概率的步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.75
（1）本问考查简单概率计算，解题思路为：先确定总等可能结果数，从5个纸箱中随机选1个，总共有5种等可能结果；再确定符合“重量为6kg”的结果数，重量为6kg的纸箱共2个，对应2种符合条件的结果；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
（2）本问考查不放回抽样的概率计算，解题思路为：首先对重量相同的西瓜做不同标记，避免列举时出现重复或遗漏；再通过画树状图的方法列举出所有等可能的抽取结果；接着筛选出两个西瓜重量之和为15kg的结果；最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）从5个纸箱中随机选1个，共有5种等可能的结果，其中所选纸箱内西瓜重量为6kg的结果有2种，
因此所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率为$2÷5=\frac{2}{5}$。
（2）先将5个西瓜按重量标记为：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$，本次抽取为不放回抽取，画树状图如下：
第一次抽取共有5种可能：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$
若第一次抽中$6_1$，第二次可抽：$6_2$、$7_1$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$6_2$，第二次可抽：$6_1$、$7_1$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$7_1$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_2$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$7_2$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$8$，共4种结果
若第一次抽中$8$，第二次可抽：$6_1$、$6_2$、$7_1$、$7_2$，共4种结果
由树状图可知，总共有$5×4=20$种等可能的结果。其中两个西瓜重量之和为15kg的情况为7kg和8kg的组合，对应结果有：$(7_1,8)$、$(7_2,8)$、$(8,7_1)$、$(8,7_2)$，共4种。
因此所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为$4÷20=\frac{1}{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率的基础常规考题，第一问直接套用概率公式即可快速求解，第二问的解题核心是对相同重量的样本进行标记，再通过树状图不重不漏地列举所有等可能结果，掌握列举法求概率的步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.75
23. (10分)已知在锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图18,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E和F分别在AB和AC边上,EF交AD于点K.
①求$\frac{EF}{AK}$的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值.
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
(1)如图18,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E和F分别在AB和AC边上,EF交AD于点K.
①求$\frac{EF}{AK}$的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值.
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
答案
解：
(1)① ∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$，
又∵ $AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
已知$BC=12$，$AD=8$，
∴ $\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
② ∵ $EH=x$，四边形EFGH是矩形，
∴ $KD=EH=x$，
∴ $AK=AD-KD=8-x$，
由①得 $\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，即 $EF=\frac{3}{2}(8-x)$，
矩形面积 $S=EF· EH = x· \frac{3}{2}(8-x)$，
整理得 $S=-\frac{3}{2}x^2+12x\quad(0＜x＜8)$，
∵ $a=-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，当$x=-\frac{12}{2×(-\frac{3}{2})}=4$时，
$S$取得最大值，最大值为$24$。
(2) 正方形PQMN的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$。
(1)① ∵ 四边形EFGH是矩形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$，
又∵ $AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
已知$BC=12$，$AD=8$，
∴ $\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
② ∵ $EH=x$，四边形EFGH是矩形，
∴ $KD=EH=x$，
∴ $AK=AD-KD=8-x$，
由①得 $\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，即 $EF=\frac{3}{2}(8-x)$，
矩形面积 $S=EF· EH = x· \frac{3}{2}(8-x)$，
整理得 $S=-\frac{3}{2}x^2+12x\quad(0＜x＜8)$，
∵ $a=-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，当$x=-\frac{12}{2×(-\frac{3}{2})}=4$时，
$S$取得最大值，最大值为$24$。
(2) 正方形PQMN的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$。
解析
【分析】
(1)①求$\frac{EF}{AK}$的值时，先根据矩形对边平行的性质得$EF// BC$，可证$△ AEF∼△ ABC$，再结合相似三角形对应高的比等于相似比，代入已知的BC、AD长度即可求出比值。
②已知$EH=x$，由矩形性质得$KD=EH=x$，进而可得$AK=8-x$，结合①的结论用含x的式子表示EF，再根据矩形面积公式得到S与x的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可。
(2)需分两种情况讨论：第一种是正方形的边在BC边上，沿用(1)的思路列方程求解；第二种是正方形的边在AB（或AC，AB=AC时结果一致）边上，先求腰长和腰上的高，再利用相似三角形性质列方程求解。
【解析】
(1)①
∵四边形EFGH是矩形，
∴$EF// BC$，
∴$△ AEF∽△ ABC$，
又
∵$AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
已知$BC=12$，$AD=8$，
∴$\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
②
∵$EH=x$，四边形EFGH是矩形，
∴$KD=EH=x$，
∴$AK=AD-KD=8-x$，
由①得$\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，即$EF=\frac{3}{2}(8-x)$，
矩形面积$S=EF· EH = x· \frac{3}{2}(8-x)$，
整理得 $S=-\frac{3}{2}x^2+12x\quad(0＜x＜8)$，
∵$a=-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，当$x=-\frac{12}{2×(-\frac{3}{2})}=4$时，
$S$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×4^2+12×4=24$。
(2)分两种情况：
情况1：正方形边在BC边上，设边长为a，可得$\frac{3}{2}(8-a)=a$，解得$a=\frac{24}{5}$；
情况2：正方形边在AB/AC边上，先求得$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$，AB边上的高为$\frac{48}{5}$，设边长为b，由相似得$\frac{\frac{48}{5}-b}{\frac{48}{5}}=\frac{b}{10}$，解得$b=\frac{240}{49}$。
【答案】
(1)①$\frac{3}{2}$；②$S=-\frac{3}{2}x^2+12x(0＜x＜8)$，S的最大值为24；
(2)正方形PQMN的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，特殊四边形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形、二次函数与特殊四边形的相关知识，解题核心是利用相似三角形对应线段成比例得到边长关系，第(2)问需要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)①求$\frac{EF}{AK}$的值时，先根据矩形对边平行的性质得$EF// BC$，可证$△ AEF∼△ ABC$，再结合相似三角形对应高的比等于相似比，代入已知的BC、AD长度即可求出比值。
②已知$EH=x$，由矩形性质得$KD=EH=x$，进而可得$AK=8-x$，结合①的结论用含x的式子表示EF，再根据矩形面积公式得到S与x的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可。
(2)需分两种情况讨论：第一种是正方形的边在BC边上，沿用(1)的思路列方程求解；第二种是正方形的边在AB（或AC，AB=AC时结果一致）边上，先求腰长和腰上的高，再利用相似三角形性质列方程求解。
【解析】
(1)①
∵四边形EFGH是矩形，
∴$EF// BC$，
∴$△ AEF∽△ ABC$，
又
∵$AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
已知$BC=12$，$AD=8$，
∴$\frac{EF}{AK}=\frac{BC}{AD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
②
∵$EH=x$，四边形EFGH是矩形，
∴$KD=EH=x$，
∴$AK=AD-KD=8-x$，
由①得$\frac{EF}{AK}=\frac{3}{2}$，即$EF=\frac{3}{2}(8-x)$，
矩形面积$S=EF· EH = x· \frac{3}{2}(8-x)$，
整理得 $S=-\frac{3}{2}x^2+12x\quad(0＜x＜8)$，
∵$a=-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，当$x=-\frac{12}{2×(-\frac{3}{2})}=4$时，
$S$取得最大值，最大值为$-\frac{3}{2}×4^2+12×4=24$。
(2)分两种情况：
情况1：正方形边在BC边上，设边长为a，可得$\frac{3}{2}(8-a)=a$，解得$a=\frac{24}{5}$；
情况2：正方形边在AB/AC边上，先求得$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$，AB边上的高为$\frac{48}{5}$，设边长为b，由相似得$\frac{\frac{48}{5}-b}{\frac{48}{5}}=\frac{b}{10}$，解得$b=\frac{240}{49}$。
【答案】
(1)①$\frac{3}{2}$；②$S=-\frac{3}{2}x^2+12x(0＜x＜8)$，S的最大值为24；
(2)正方形PQMN的边长为$\frac{24}{5}$或$\frac{240}{49}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，特殊四边形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形、二次函数与特殊四边形的相关知识，解题核心是利用相似三角形对应线段成比例得到边长关系，第(2)问需要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
