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8.用五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，若大长方形的周长是80 cm，则小长方形的面积是
75 cm²
。答案
8. 75 cm²
分析:设小长方形的宽为 x cm，则长为 3x cm。根据题意,得 2(3x+3x+2x)=80,解得 x=5,所以小长方形的长为15 cm,宽为 5 cm,面积为 15×5=75(cm²)。
分析:设小长方形的宽为 x cm，则长为 3x cm。根据题意,得 2(3x+3x+2x)=80,解得 x=5,所以小长方形的长为15 cm,宽为 5 cm,面积为 15×5=75(cm²)。
解析
【分析】
首先观察图形的拼接特征，可得到隐藏的等量关系：小长方形的长等于3倍小长方形的宽。我们可以通过设未知数表示小长方形的长和宽，再进一步表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长已知的条件，列方程求解出小长方形的长和宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，由图形拼接关系可知，小长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$。
观察大长方形可得：大长方形的长为$3x + x + x = 5x\ \mathrm{cm}$，大长方形的宽等于小长方形的长，即$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，结合大长方形周长为$80\ \mathrm{cm}$，列方程：
$2×(5x + 3x) = 80$
化简得：$16x = 80$
解得：$x = 5$
所以小长方形的宽为$5\ \mathrm{cm}$，长为$3×5=15\ \mathrm{cm}$，
小长方形的面积为$15×5=75\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$75\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是从拼接图形中挖掘出小长方形长和宽的数量关系，再结合周长公式列方程求解，有助于培养学生的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形的拼接特征，可得到隐藏的等量关系：小长方形的长等于3倍小长方形的宽。我们可以通过设未知数表示小长方形的长和宽，再进一步表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长已知的条件，列方程求解出小长方形的长和宽，最后计算面积即可。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，由图形拼接关系可知，小长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$。
观察大长方形可得：大长方形的长为$3x + x + x = 5x\ \mathrm{cm}$，大长方形的宽等于小长方形的长，即$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，结合大长方形周长为$80\ \mathrm{cm}$，列方程：
$2×(5x + 3x) = 80$
化简得：$16x = 80$
解得：$x = 5$
所以小长方形的宽为$5\ \mathrm{cm}$，长为$3×5=15\ \mathrm{cm}$，
小长方形的面积为$15×5=75\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$75\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是从拼接图形中挖掘出小长方形长和宽的数量关系，再结合周长公式列方程求解，有助于培养学生的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为80 cm²,100 cm²,且甲容器装满水,乙容器是空的。若将甲容器中的水全部倒入乙容器中,则乙容器中的水位高度比原先甲容器中的水位高度低了8 cm,则甲容器的容积为(
A.2 800 cm³
B.3 000 cm³
C.3 200 cm³
D.3 600 cm³
C
)。A.2 800 cm³
B.3 000 cm³
C.3 200 cm³
D.3 600 cm³
答案
9. C
解析
【分析】
这是等积变换类应用题，解题核心是抓住“水的体积始终不变”这一关键等量关系。我们可以先设甲容器原来的水位高度为未知数，先表示出甲容器中水的体积（即甲的容积），再推导出水倒入乙容器后乙的水位高度，结合“乙的水位比甲原先水位低8cm”的条件列方程求解，最后用圆柱体积公式计算甲的容积即可。
【解析】
解：设甲容器中原先的水位高度为$ h \, \mathrm{cm} $，则甲容器的容积（即水的体积）为$ 80h \, \mathrm{cm}^3 $。
水全部倒入乙容器后体积不变，因此乙容器内水位高度为$ \frac{80h}{100} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ h - \frac{80h}{100} = 8 $
化简得：
$ 0.2h = 8 $
解得：$ h = 40 $
因此甲容器的容积为$ 80 × 40 = 3200 \, \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程的应用，等积变换
【点评】
本题是等体积变换的典型题型，解题关键是找准不变量，以不变的水体积为桥梁建立等量关系列方程，梳理清楚两个容器水位高度的差值关系即可顺利求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是等积变换类应用题，解题核心是抓住“水的体积始终不变”这一关键等量关系。我们可以先设甲容器原来的水位高度为未知数，先表示出甲容器中水的体积（即甲的容积），再推导出水倒入乙容器后乙的水位高度，结合“乙的水位比甲原先水位低8cm”的条件列方程求解，最后用圆柱体积公式计算甲的容积即可。
【解析】
解：设甲容器中原先的水位高度为$ h \, \mathrm{cm} $，则甲容器的容积（即水的体积）为$ 80h \, \mathrm{cm}^3 $。
水全部倒入乙容器后体积不变，因此乙容器内水位高度为$ \frac{80h}{100} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$ h - \frac{80h}{100} = 8 $
化简得：
$ 0.2h = 8 $
解得：$ h = 40 $
因此甲容器的容积为$ 80 × 40 = 3200 \, \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程的应用，等积变换
【点评】
本题是等体积变换的典型题型，解题关键是找准不变量，以不变的水体积为桥梁建立等量关系列方程，梳理清楚两个容器水位高度的差值关系即可顺利求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
10.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15 cm，各装有10 cm高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5。若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为（
| | 甲杯 | 乙杯 | 丙杯 |
| --- | --- | --- | --- |
| 底面积/$cm^2$ |
| 80 | 100 |
A.5.4 cm
B.5.7 cm
C.7.2 cm
D.7.5 cm
C
）。| | 甲杯 | 乙杯 | 丙杯 |
| --- | --- | --- | --- |
| 底面积/$cm^2$ |
| 80 | 100 |A.5.4 cm
B.5.7 cm
C.7.2 cm
D.7.5 cm
答案
10. C
解析
【分析】
解题的核心是抓住倒水前后水的总体积不变的特点。首先计算出三个杯子原有水的总体积，再根据最终三杯的高度比为3:4:5设未知数表示三杯最终的高度，利用圆柱体积=底面积×高的公式分别表示出三杯最终的水的体积，根据总体积相等列方程求解，最后验证丙杯的高度不超过杯深15cm，确认解有效即可得到甲杯的高度。
【解析】
解：第一步：计算原有水的总体积
原来三杯的水高均为10cm，总体积为：
$V_总 = 60×10 + 80×10 + 100×10 = 600 + 800 + 1000 = 2400 \ \mathrm{cm^3}$
第二步：根据高度比设未知数
设最终甲、乙、丙三杯的水高分别为$3x \ \mathrm{cm}$、$4x \ \mathrm{cm}$、$5x \ \mathrm{cm}$。
第三步：根据总体积不变列方程
$60×3x + 80×4x + 100×5x = 2400$
化简得：$180x + 320x + 500x = 2400$
合并同类项得：$1000x = 2400$
解得：$x = 2.4$
第四步：验证并计算甲杯高度
丙杯高度为$5×2.4 = 12 \ \mathrm{cm} ＜ 15 \ \mathrm{cm}$，水没有溢出，解有效。
甲杯高度为$3x = 3×2.4 = 7.2 \ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程应用；等积变形
【点评】
本题解题的关键是找到“水的总体积不变”这一隐含条件，结合比例设未知数建立方程求解，求解后要注意验证最终水的高度不超过杯子深度，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住倒水前后水的总体积不变的特点。首先计算出三个杯子原有水的总体积，再根据最终三杯的高度比为3:4:5设未知数表示三杯最终的高度，利用圆柱体积=底面积×高的公式分别表示出三杯最终的水的体积，根据总体积相等列方程求解，最后验证丙杯的高度不超过杯深15cm，确认解有效即可得到甲杯的高度。
【解析】
解：第一步：计算原有水的总体积
原来三杯的水高均为10cm，总体积为：
$V_总 = 60×10 + 80×10 + 100×10 = 600 + 800 + 1000 = 2400 \ \mathrm{cm^3}$
第二步：根据高度比设未知数
设最终甲、乙、丙三杯的水高分别为$3x \ \mathrm{cm}$、$4x \ \mathrm{cm}$、$5x \ \mathrm{cm}$。
第三步：根据总体积不变列方程
$60×3x + 80×4x + 100×5x = 2400$
化简得：$180x + 320x + 500x = 2400$
合并同类项得：$1000x = 2400$
解得：$x = 2.4$
第四步：验证并计算甲杯高度
丙杯高度为$5×2.4 = 12 \ \mathrm{cm} ＜ 15 \ \mathrm{cm}$，水没有溢出，解有效。
甲杯高度为$3x = 3×2.4 = 7.2 \ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程应用；等积变形
【点评】
本题解题的关键是找到“水的总体积不变”这一隐含条件，结合比例设未知数建立方程求解，求解后要注意验证最终水的高度不超过杯子深度，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.7
11.【综合与实践】某实验中学七年级“项目学习小组”的同学，利用课余时间用19 m长的篱笆在墙边围成一个长方形菜地（长方形的一条长边是墙，墙足够长），使宽比长少5 m，但在宽的一边有一扇1 m宽的门，则同学们围成的菜地的面积是多少？
答案
解:设长方形菜地的宽为 x m,则长为(x+5)m。根据题意,得 x+(x+5)+(x-1)=19,解得 x=5, 所以 5×(5+5)=50(m²),所以同学们围成的菜地的面积是50 m²。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时首先明确篱笆的围建情况：长方形长边靠墙，因此仅需围1条长和2条宽，又因为宽的一侧有1米宽的门，门不需要使用篱笆，所以总篱笆长度=长+1条宽的长度+（另1条宽的长度-门的宽度）。我们可以先设宽为未知数，根据宽和长的数量关系表示出长，再根据篱笆总长度为19m的等量关系列方程求解，最后用长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设长方形菜地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
根据篱笆总长度为19m的等量关系，列方程得：
$ x + (x+5) + (x - 1) = 19 $
合并同类项，得：$ 3x + 4 = 19 $
移项计算，得：$ 3x = 15 $
解得：$ x = 5 $
则长方形的长为$ x + 5 = 5 + 5 = 10 \, \mathrm{m} $
菜地面积为长×宽，即$ 5 × 10 = 50 \, (\mathrm{m}^2) $
【答案】
$ 50 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题属于常见的篱笆围建类实际问题，解题的核心是结合题干给出的靠墙、门的特殊条件，准确梳理出篱笆长度对应的边长总和，不要直接套用长方形周长公式，同时要注意最终所求为面积，避免解出边长后漏算最终结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时首先明确篱笆的围建情况：长方形长边靠墙，因此仅需围1条长和2条宽，又因为宽的一侧有1米宽的门，门不需要使用篱笆，所以总篱笆长度=长+1条宽的长度+（另1条宽的长度-门的宽度）。我们可以先设宽为未知数，根据宽和长的数量关系表示出长，再根据篱笆总长度为19m的等量关系列方程求解，最后用长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设长方形菜地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
根据篱笆总长度为19m的等量关系，列方程得：
$ x + (x+5) + (x - 1) = 19 $
合并同类项，得：$ 3x + 4 = 19 $
移项计算，得：$ 3x = 15 $
解得：$ x = 5 $
则长方形的长为$ x + 5 = 5 + 5 = 10 \, \mathrm{m} $
菜地面积为长×宽，即$ 5 × 10 = 50 \, (\mathrm{m}^2) $
【答案】
$ 50 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题属于常见的篱笆围建类实际问题，解题的核心是结合题干给出的靠墙、门的特殊条件，准确梳理出篱笆长度对应的边长总和，不要直接套用长方形周长公式，同时要注意最终所求为面积，避免解出边长后漏算最终结果。
【难度系数】
0.7
