知识点一 中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点旋转，
如果旋转后的图形能够与原来的图形，
那么这个图形叫作，
这个点就是它的。

1. 180°
2. 重合
3. 中心对称图形
4. 对称中心

【分析】
本题考查中心对称图形的基础概念，解题时需回忆教材中中心对称图形的定义内容，明确定义的四个核心要素：旋转角度、旋转后的图形关系、图形名称、对应点的名称，按照定义的表述顺序依次对应填空即可。
【解析】
根据中心对称图形的标准定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心，按照空的顺序依次填入对应内容即可。
【答案】
1. 180°；2. 重合；3. 中心对称图形；4. 对称中心
【知识点】
中心对称图形的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对核心概念的掌握程度，只要熟记教材中的基础定义即可正确作答，作答时需注意表述规范准确，不要混淆相关概念。
【难度系数】
0.9

练习1 下列图形中，是中心对称图形的有（）。


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解题通法 中心对称图形的识别

练习1 B

【分析】
解题时首先要明确中心对称图形的判定依据：平面内一个图形绕某点旋转180°后，若旋转后的图形与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。接下来只需对题中的4个图形逐一按该标准验证，统计符合要求的图形数量，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形。
对题中4个图形逐一判断：
1. 第一个图形绕中心旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形；
2. 第二个图形绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形；
3. 第三个图形绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形；
4. 第四个图形绕中心旋转180°后与原图形重合，属于中心对称图形。
综上，共有2个中心对称图形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称图形的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对中心对称图形定义的理解和应用，解题时注意区分中心对称图形与轴对称图形的判定标准，避免概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.8

·练习2 如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O.若AE=3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm²，则CF=cm，四边形EDCF的面积为cm².

知识拓展 经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全等的图形.

1. 3
2. 15

【分析】
解题思路可分为两步：①求CF的长度：平行四边形是中心对称图形，对角线交点O是对称中心，可通过证明△AOE与△COF全等，得到CF与AE相等；②求四边形EDCF的面积：根据中心对称图形的性质，过对称中心的直线将中心对称图形分成两个全等的图形，因此两个四边形的面积相等。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于点O，
∴平行四边形ABCD是中心对称图形，O为对称中心，AO=CO，且AB//DC，
∴∠OAE=∠OCF。
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCF\\ AO=CO\\ ∠ AOE=∠ COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF=AE=3 cm。
又
∵直线EF经过对称中心O，
∴直线EF将平行四边形ABCD分成的两部分全等，
∴$S_{四边形EDCF}=S_{四边形AEFB}=15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
3；15
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重对基础性质的考查，解题的核心是掌握平行四边形的中心对称性，理解过对称中心的直线平分中心对称图形的面积，且对应线段相等，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

•练习3 在正八边形、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是。
温馨提示 区分两种图形的关键：中心对称图形是绕对称中心旋转$180°$与自身重合，轴对称图形是翻折后两部分重合。

练习3 正八边形、矩形

【分析】
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线翻折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形。接下来我们逐个分析题干给出的5个图形，判断每个图形是否同时满足两种对称图形的条件，筛选出符合要求的即可。
【解析】
我们对每个图形逐一判断：
1. 正八边形：沿过中心的对称轴翻折后两部分完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，符合要求。
2. 等腰三角形：沿底边上的高翻折后两部分重合，是轴对称图形；绕任意点旋转180°都无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求。
3. 等腰梯形：沿上下底中点的连线翻折后两部分重合，是轴对称图形；旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求。
4. 平行四边形：绕对角线交点旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，不符合要求。
5. 矩形：沿两组对边中点的连线翻折后两部分重合，是轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是正八边形、矩形。
【答案】
正八边形、矩形
【知识点】
1. 轴对称图形判定
2. 中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分两种对称图形的判断标准，解题时要注意特殊图形的对称性差异，避免混淆平行四边形、正多边形等图形的对称属性。
【难度系数】
0.8

1.(教材P104习题T2变式)下面的图形是用数学家名字命名的,其中是中心对称图形,但不是轴对称图形的是().

1. C

【分析】
要解决本题，首先要明确两个核心概念：轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某个定点旋转180°后，能与自身完全重合的图形。解题时可逐一分析四个选项，先判断图形是否为轴对称图形，再判断是否为中心对称图形，最终筛选出符合“是中心对称图形、但不是轴对称图形”要求的选项。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 选项A（科赫曲线）：存在多条过中心的直线，沿直线折叠后两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；同时绕中心旋转180°后也能与自身重合，也属于中心对称图形，不符合题意。
2. 选项B（笛卡儿心形线）：沿过中心的竖直线折叠后两侧可完全重合，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后无法与原图重合，不属于中心对称图形，不符合题意。
3. 选项C（赵爽弦图）：不存在任意一条直线使得折叠后两侧部分完全重合，不属于轴对称图形；绕中心旋转180°后能与自身完全重合，属于中心对称图形，符合题意。
4. 选项D（斐波那契螺旋线）：既无对称轴无法折叠重合，旋转180°后也不能与原图重合，既不属于轴对称图形也不属于中心对称图形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题结合数学文化中的经典图形考查对称图形的判定，解题关键是准确把握两类对称图形的核心特征，判断时可通过模拟折叠、旋转180°的操作来验证，避免混淆两类对称的判定标准。
【难度系数】
0.8

2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.下列结论:
①$OA=OC$; ②$∠ BAD=∠ BCD$; ③$AC⊥ BD$; ④平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.其中一定正确的个数是().

A.1
B.2
C.3
D.4

2. B

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质，以及轴对称、中心对称图形的定义，再逐一判断4个结论是否符合普通平行四边形的性质，统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各个结论：
1. 对于结论①：平行四边形的对角线互相平分，因此对角线交点O平分AC，即$OA=OC$，该结论正确；
2. 对于结论②：平行四边形的两组对角分别相等，因此$∠BAD=∠BCD$，该结论正确；
3. 对于结论③：只有菱形、正方形这类特殊的平行四边形对角线才互相垂直，普通平行四边形对角线仅互相平分，不一定垂直，该结论错误；
4. 对于结论④：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点O，但普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形，该结论错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题易错点是混淆普通平行四边形和特殊平行四边形的性质，要注意普通平行四边形仅具备对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、是中心对称图形这些性质，对角线垂直、是轴对称图形属于特殊平行四边形的性质，不能随意套用。
【难度系数】
0.7

3.如图是一个中心对称图形，A为对称中心.若∠C=90°,∠B=30°,BC=2√3,则BB'的长为.

3. 8

【分析】
解题思路分为两步：① 利用中心对称的性质：对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分，可得BB'=2AB，因此只需先求出AB的长度即可；② 在Rt△ABC中，已知∠B=30°、BC的长度，可通过特殊角的三角函数值求出AB的长度，进而求出BB'的长。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=2√3，
根据余弦的定义：$\cos B=\frac{BC}{AB}$，
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{AB}$，
解得：$AB=\frac{2\sqrt{3}×2}{\sqrt{3}}=4$。
∵ 图形是中心对称图形，A为对称中心，
∴ 点B与点B'关于点A对称，即$AB=AB'$，
∴ $BB'=AB+AB'=2AB=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
中心对称的性质；特殊角的三角函数值；解直角三角形
【点评】
本题属于基础常考题，将中心对称的性质与解直角三角形结合考查，解题的关键是利用中心对称的性质，将待求线段长度转化为直角三角形斜边的2倍，再结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.7